算兩次，顯奇效

徐子茗

在高中一年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我印象最深刻的當(dāng)屬向量了，作為一-種溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的利器，向量在處理很多問題時有著無與倫比的優(yōu)越性.如三角形重心問題，我們知道三角形中三條中線交于一點稱為重心，并且重心分中線形成的線段長度之比為2：1，如何證明這一-結(jié)論，用傳統(tǒng)的方法證明大費周章，而用向量法則簡單明了.

如圖，E，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點，G為△ABC的重心.

上述證明方法中，我們從兩種路徑分解向量AG，最后“殊途同歸”（①式與②式相等），老師告訴我這種方法叫做“算兩次”，即對同一事物從兩個不同視角計算使之相等的方法.奇妙的是，上述方法可以拓展，如將F點換成三等分點，我們可以用同樣的辦法證得G分BE得到的線段之比為定值（與△ABC的形狀無關(guān)），是不是感覺很奇妙？

而后的學(xué)習(xí)中，我們又多次與“算兩次”不期而遇：

例1如圖，巳知點G是△ABC的重心，過點G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且AM=xAB，AN=yAC，求

例2 兩角差的余弦公式的推導(dǎo)證明.

例3 數(shù)列中的子數(shù)列問題.

通過上面的例子，想必同學(xué)們對“算兩次”有了更深人的理解：對同一個數(shù)學(xué)問題，從兩個不同的角度，運用兩種不同的方式計算兩次，借助“殊途同歸”的等量關(guān)系，達到出奇制勝的效果.簡單的說，我理解的“算兩次”就是“一方面，另一方面，綜合可得”.其實，我們對“算兩次”思想并不陌生，早在小學(xué)時我們就自覺使用過，如做算術(shù)題時要保證正確率我們需要再算--次，但如果只是循規(guī)蹈矩完全重復(fù)算--遍是很難發(fā)現(xiàn)錯誤的，所以要盡可能采取不同的路徑（如減法用加法檢驗，除法用乘法檢驗等）;又如初中計算如圖3所示的正方形面積時，一方面看整體，面積為（a+b）2;另一方面，化整為零，四個矩形的面積和為a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，于是得到平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，是不是很直觀？