一道填空題的探究之旅

閔駿祥

也許是對數(shù)學(xué)情有獨(dú)鐘，自從我進(jìn)高中以來，我從未放棄過遇到的任何一道難題.通法解不了的，多觀察，用特殊的方法解.代數(shù)方法解不了的，就用圖象來輔助求解.多做嘗試，多轉(zhuǎn)換思路，多變動(dòng)審題視角.哪怕實(shí)在解不出，我也會將其記錄下來，在日后的學(xué)習(xí)過程中將其攻克.好的數(shù)學(xué)思維絕不是短時(shí)間形成的，只有通過長期的思考和積累才能鍛煉出來.如果不是天才，那么我們只有思考得比別人多，花的時(shí)間比別人長，才可能擁有比別人好的數(shù)學(xué)成績.

下面我就通過學(xué)習(xí)過程中遇到的一道難題，在探究解決的過程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)特別的方法，與同學(xué)們分享交流--下.

題目已知函數(shù)f（x）=|ax-1|（a>1）的圖象為曲線C，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若P為曲線C上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與原點(diǎn)0重合），曲線C上存在點(diǎn)Q使得OP⊥OQ，則實(shí)數(shù)a的取值集合是

★一、解題歷程

分析一將y=ax（a>1）的圖象向下平移1個(gè)單位長度得到y(tǒng)=ax-1的圖象，再將x軸下方的圖象沿x軸對稱翻折到上方得到f（x）的圖象，取點(diǎn)Q，點(diǎn)P，使OP⊥OQ，如圖1.由垂直得到兩直線的斜率乘積等于一1，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出斜率。

探索一

先討論下點(diǎn)P，Q關(guān)于y軸的位置：

①點(diǎn)P，Q在y軸的同側(cè)：

則kop與ko同號，乘積取不到負(fù)1，所以不成立.

②點(diǎn)P，Q在y軸的異側(cè)：

不妨先設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1<0

由于x≠0，所以無法確認(rèn)函數(shù)的單調(diào)性.

于是我便去尋求幫助，先是借助了網(wǎng)絡(luò)，看了下網(wǎng)，上的解題過程，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上直接由①g（x）在{x|x≠0}上單調(diào)遞減，②g（x|）=1/g（x2），得出a=e，我并不理解也不認(rèn)可這一步過程.用幾何畫板畫出g（x）=x/ex-1的圖象后發(fā)現(xiàn)，對于任意g（x1）（x1<0）都有一個(gè)g（x2）（x2>0）與之互為倒數(shù)，但僅憑這個(gè)函數(shù)圖象并不能幫助我解決最初的難題.

看來我必須要回過頭來，再好好想--想.

疑問：網(wǎng)上的答案a=e是正確解嗎？如果正確，為什么會具有唯一性？這道題這么復(fù)雜，是不是可以簡化呢？是不是有什么條件我沒有利用到，沒有看透呢？

分析二絕對值的存在使得函數(shù)的性質(zhì)及其圖象變得相當(dāng)復(fù)雜，這一點(diǎn)很不利于我的分析思考，那如果將絕對值去掉可不可行呢？這樣做又會有什么效果呢？雖然這種嘗試有些盲目，但是化繁為簡的數(shù)學(xué)思想是起到了一-定的引領(lǐng)作用的.我似乎抓住了什么，有了一點(diǎn)新的思路.趕緊試--試！

探索二之前的探索并非無功而返，P，Q-定是在y軸兩側(cè)取點(diǎn)，即P，Q在原點(diǎn)0的兩側(cè).

不妨令P（x1，y1）在原點(diǎn)左側(cè)，Q（x2，y2）在原點(diǎn)右側(cè)，即x1<0

我們想一下，對于脫去了絕對值的函數(shù)y=a°-1而言，P的位置發(fā)生了變化，不妨記之為P，即將P（x1，y1）變?yōu)镻（x1，-y1），如圖3，此時(shí)kop'·koe=1，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)了P在原點(diǎn)左側(cè)，如果P在右側(cè)，則Q的位置相應(yīng)地變化為Q'（x2，-y2），最后類似得到kOP·kOQ1=1.

既然跟斜率、跟原點(diǎn)都有關(guān)系，我又試著在原點(diǎn)處作切線l1，記l1的斜率為k，k=f'（0）=lna.此時(shí)我腦海中靈光一現(xiàn)，聯(lián)想到a=e，使我想到了Ine=1.瞬間接上了，斜率乘積等于1.

此刻我的內(nèi)心無比激動(dòng)，很顯然，之前的努力并沒有白費(fèi).由斜率想到切線，打通了我的思路.

我們先簡化下原題：

[等價(jià)題]巳知函數(shù)y=ax-1（a>1）的圖象為曲線C，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若P為曲線C上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與原點(diǎn)O重合），曲線C上存在點(diǎn)Q使得kOP·kOQ=1，則實(shí)數(shù)a的取值集合是_______.

我們根據(jù)兩點(diǎn)P，Q的相對位置分兩種情況思考：

（1）點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)Q在原點(diǎn)右側(cè)，連結(jié)OP，OQ，如圖4.

此時(shí)kOP與kOQ的乘積為1，過原點(diǎn)的切線斜率為Ina，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)kOPlna.

i）當(dāng)a>e時(shí)，Ina>1，kopIna>1，不妨取點(diǎn)P。使kor。∈（1，Ina），則若存在Qo，必有

所以當(dāng)a≤e時(shí)，對于任意點(diǎn)P，都有一個(gè)與之對應(yīng)的點(diǎn)Q使得kOPkOQ=1.

（2）點(diǎn)P在原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)Q在原點(diǎn)左側(cè)，連結(jié)OP，OQ，如圖5.

根據(jù)（1）（2）可得當(dāng)且僅當(dāng)a=e時(shí)，對于任意--點(diǎn)P（點(diǎn)P不與原點(diǎn)0重合），曲線C上存在點(diǎn)Q使得kOPkOQ=1.

終于探究完了，看著上面的詳細(xì)分析與解答，很難想象，這是由我自己獨(dú)立完成的.我很自豪，也很開心。

二、推廣拓展

看著這題目，我是越看越喜歡，就想著是否可以推廣，我相信，我找到的這個(gè)方法具有一定的普適性.

推廣一：改變a的范圍.

當(dāng)0

推廣二：從指數(shù)函數(shù)推廣到對數(shù)函數(shù).

推廣三：從已知函數(shù)推廣到含冪函數(shù)y=xa的函數(shù)

對于此類帶絕對值的函數(shù)，以轉(zhuǎn)折點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，另外兩點(diǎn)分別在兩段曲線上的題目，都可以先去絕對值，再用作切線的方法處理.在解決這個(gè)問題的過程中，思考時(shí)的緊張，探索時(shí)的專注，解決問題后的成就感和推廣之后的滿足感，無--不使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿樂趣.