Zeilberger算法與二項(xiàng)分布

張雅恬， 劉世鳳， 張亞南

(天津理工大學(xué) 理學(xué)院，天津300384)

1 引 言

20世紀(jì)90年代，組合學(xué)家Wilf和Zeilberger給出了WZ理論[1]，該理論是證明組合恒等式的一種機(jī)械化方法.其中的Zeilberger算法是尋找和式的線性遞推關(guān)系的一種方法，利用和式的遞推關(guān)系可以對(duì)和式進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明.

首先，需要找到一個(gè)關(guān)于n,k的有理函數(shù)R(n,k)和關(guān)于n的多項(xiàng)式系數(shù)c0(n),c1(n),…,cp(n)滿足

c0(n)F(n,k)+c1(n)F(n+1,k)+…+cp(n)F(n+p,k)=g(n,k+1)-g(n,k),

(1)

其中p為自然數(shù)，g(n,k)=R(n,k)F(n,k).

可利用maple軟件包hsum15.mpl(可以從http:∥www.mathematik.uni-kassel.de/～koepf/hsum15.mpl下載)求得R(n,k),c0(n),c1(n),…,cp(n).

然后，上式兩邊關(guān)于k從0到n+p求和，即

整理得

c0(n)[f(n)+F(n,n+1)+…+F(n,n+p)]+…+cp(n)f(n+p)=g(n,n+p+1)-g(n,0).

于是得到一個(gè)僅跟n有關(guān)的遞推關(guān)系

c0(n)f(n)+c1(n)f(n+1)+…+cp(n)f(n+p)=-g(n,0),

當(dāng)p=1,g(n,0)=0時(shí)，可遞歸算得f(n).

2 二項(xiàng)分布的高階矩

在概率論中高階矩[4]是一個(gè)常見且非常重要的概念，它主要被用來衡量誤差的大小.其中一階矩被稱為數(shù)學(xué)期望，二階中心矩被稱為方差.

設(shè)X服從二項(xiàng)分布B(n,p), 分布律為

定理1設(shè)X服從二項(xiàng)分布B(n,p), 則E(X)=np.

證令

利用hsum15.mpl軟件包中的sumrecursion命令求解，得到

-nF(n+1,k)+(n+1)F(n,k)=g(n,k+1)-g(n,k),

其中g(shù)(n,k)=R(n,k)F(n,k), 上述等式兩邊對(duì)k從0到n+1求和可得

定理2設(shè)X服從二項(xiàng)分布B(n,p), 則方差D(X)=np(1-p).

證令

由sumrecursion命令求得

-n(pn-p+1)F(n+1,k)+(pn+1)(n+1)F(n,k)=g(n,k+1)-g(n,k),

其中g(shù)(n,k)=R(n,k)F(n,k). 上式兩邊對(duì)k求和，得

-n(pn-p+1)f(n+1)+(pn+1)(n+1)f(n)=0，

則

由遞推關(guān)系可知：f(n)=n(pn-p+1)f(1). 由于f(1)=p, 則f(n)=n(n-1)p2+np.

即E(X2)=n(n-1)p2+np. 由定理1知E2(X)=n2p2, 所以

D(X)=E(X2)-(E(X))2=n(n-1)p2+np-n2p2=-np2+np=np(1-p).

由同樣的方法可得超幾何分布的期望和方差，并且還可求得二項(xiàng)分布的m階矩，比利用m階矩的遞推公式[5-6]計(jì)算更直接.

表1

3 探究形如的和式

計(jì)算得到f(n+1)=(1+q)f(n),f(1)=1+q. 由此遞推得出f(n)=(1+q)n.

利用sumrecursion命令，部分結(jié)果如下表：

表2

證由于

是k的m次多項(xiàng)式，則

其中c0,c1,…,cm與k無關(guān).

-(-n-1+l)(lσ1-nσ1+n)F(n+1,k,l)+(n+1)(l-n)F(n,k,l)=g(n,k+1,l)-g(n,k,l),

其中σ1是自由量，令σ1=0, 得

(n+1-l)nF(n+1,k,l)+(n+1)(l-n)F(n,k,l)=g(n,k+1,l)-g(n,k,l).

l=1時(shí)，f(n,l)=0.

令

由sumrecursion命令求得

-(n+1)(α2n-2αnx+nx2-x2+x)F(n+1,k)+n(α2n-2αnx+nx2+α2-2αx+x)F(n,k)
=g(n,k+1)-g(n,k)

+4α2kn2x-2αkn2x2-2α3kn+2α3n2+α2k2n+4α2knx-3α2n2x-α2nx2-2αk2nx

+2αn2x2+k2nx2+2α3n+α2k2-2α2kn-α2kx-2α2nx-2αk2x+2αknx+2αkx2

-2knx2-α2k+α2x+2αkx-2αx2+k2x-kx2+nx2-kx+x2)(-1+x)kn)，

其中g(shù)(n,k)=R(n,k)F(n,k). 上式兩邊對(duì)k求和，得

-(n+1)(α2n-2αnx+nx2-x2+x)f(n+1)+n(α2n-2αnx+nx2+α2-2αx+x)f(n)=0,

則

由遞推關(guān)系可知

其中f(1)=α2+x-2αx.則

注 [7]中將該求和項(xiàng)中的(k-nα)2分解成三項(xiàng)之和

(k-nα)2=n2α2-(2nα-1)k+k(k-1)，

5 結(jié) 論

利用Zeilberger算法尋找遞推關(guān)系式，從而求解和式.這一方法可以用來計(jì)算概率分布中的k階矩，以及解決高等數(shù)學(xué)中一些級(jí)數(shù)求和問題.本文主要給出二項(xiàng)分布的高階矩求解，這一方法還可以用來求解超幾何分布和其他離散型分布的高階矩.對(duì)于復(fù)雜的和式求解問題也可以參考該算法.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.