探究知識根源 摭談數(shù)學教學評價
——一道碩士研究生入學考試題的解讀

陳建華， 王思雨

(揚州大學 數(shù)學科學學院，江蘇 揚州225002)

1 引 言

高質(zhì)量的數(shù)學教育呼喚高水平的數(shù)學教學.高水平的數(shù)學教學需要深入到數(shù)學知識背后的本質(zhì)、過程、思想和結(jié)構(gòu)[1]，與此同時，數(shù)學教學評價也應(yīng)與此保持良好的一致性[2].每天都在涌現(xiàn)的考題、習題是數(shù)學教學評價非常重要的方面，從知識根源角度探究考題與習題對于落實高質(zhì)量的數(shù)學教育顯然具有十分重要的意義.本文以一道碩士研究生入學考試題作為具體的案例，分析了數(shù)學教育實踐中如何讓數(shù)學試題的知識內(nèi)涵豐富，體現(xiàn)課程教學的重點、涵蓋歷史背景，通過形成自然流暢的知識鏈來提升數(shù)學解題教學的品格、格局.依據(jù)TIMSS 2015和PISA 2015測試模型(主要是測試框架的“內(nèi)容領(lǐng)域”和“過程領(lǐng)域”兩個方面)，對該題進行解讀分析，嘗試采用現(xiàn)代科學評價理念來研究大學數(shù)學試題.

2 本 論

2.1 案例描述，演算尋根

設(shè)多項式f(x)=x3-49x-120的三個根為a，b，c，求行列式

的值，其中sk=ak+bk+ck(k=0，1，2，3，…)(2020年哈爾濱工業(yè)大學碩士研究生入學考試試題).

雖然待計算的只是一個三階行列式，但每一個位置的數(shù)都是三個數(shù)之和，直接計算(利用對角線法則、行列式定義、展開定理或化三角形行列式等)結(jié)果既繁且亂.如果發(fā)現(xiàn)“每一個位置的數(shù)都是三個數(shù)之和”這一特性，就可以考慮利用乘法規(guī)則來計算，將其改寫成兩個三階矩陣乘積的行列式，且恰好對應(yīng)的是三階范德蒙行列式.即有

這樣，問題轉(zhuǎn)化為求出多項式f(x)=x3-49x-120的三個根a，b，c，進而計算行列式的值.又f(x)=x3-49x-120的根不易求得，這是顯然的事實.如果能聯(lián)想韋達定理，則可用多項式的系數(shù)來表示根，轉(zhuǎn)化實施計算.由此，問題進一步轉(zhuǎn)化為：已知a，b，c分別是多項式f(x)=x3-49x-120的三個根，在

關(guān)系下求D的值.

如何利用上述三個關(guān)系來計算D(a，b，c)=(b-a)2(c-a)2(c-b)2的值呢？因D(a，b，c)是關(guān)于a，b，c的對稱多項式，對稱多項式基本定理自然浮現(xiàn)，故可以先將D(a，b，c)用初等對稱多項式表示為

再將σ1=0，σ2=-49，σ3=120代入計算，由此可得D=81796.

本題計算具有較強的技巧性，將多項式的判別式藏匿在計算背后，別具匠心，給學生留足了思維空間.問題看似復(fù)雜無從下手，但觀察題目結(jié)構(gòu)特征從局部入手，通過一番“整容”“轉(zhuǎn)化”，龐然大物逐漸原形畢露，思路流暢.作為一道碩士研究生入學試題，它明確告誡考生數(shù)學需要拿筆來算、來思考，才能理解這個學科，扎實的數(shù)學基礎(chǔ)需要一定量的演算訓練.

2.2 追本溯源，探究關(guān)聯(lián)

解有方，題有源.事實上萬物皆有源頭，弄清問題的源頭才能把握問題的本質(zhì)，正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.

2.2.1 判別式

函數(shù)與方程是數(shù)學的重要主題[3].考題中的三階行列式

不是杜撰出來，有著重要的學科背景，它實際上是一元三次方程的判別式[4].

對于一元二次方程f(x)=x2+a1x+a2=0，若x1，x2是該方程的兩個根，考慮對稱多項式D(x1，x2)=(x1-x2)2，則

同樣地，對于一元三次方程f(x)=x3+a1x2+a2x+a3=0，若x1，x2，x3是該方程的三個根，則有判別式D(x1，x2，x3)=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2，令

用初等對稱多項式σ1，σ2，σ3表示對稱多項式D(x1，x2，x3)，則有

這就是考題研究的對象，當然它比一元二次方程的判別式復(fù)雜多了.

2.2.2 等冪和

對稱多項式sk=ak+bk+ck(k=0，1，2，3，…)被稱為等冪和(或簡稱為冪和)，它的一般形式是

關(guān)于等冪和有著名的牛頓(Newton)公式：

定理1[4]當1≤k≤n時

sk-σ1sk-1+σ2sk-2+…+(-1)k-1σk-1s1+(-1)kkσk=0；

當k>n時

sk-σ1sk-1+σ2sk-2+…+(-1)n-1σn-1sk-n+1+(-1)nσnsk-n=0.

利用牛頓公式可以先從sk-1，sk-2，…，s1，σ1，σ2，…，σn計算sk，再借助于范德蒙行列式獲得一元n次方程的判別式.比如：不完全三次方程f(x)=x3+ax+b=0，σ1=0，σ2=a，σ3=-b，據(jù)牛頓公式得s1=σ1=0，s2=-2a，s3=-3b，s4=2a2，從而

對于本文研究的考題，將a=-49，b=-120代入得

D=-4×(-49)3-27×(-120)2=81796.

設(shè)x1，x2，x3是f(x)=x3+ax+1的全部復(fù)根.

(ii) 求判別式D(x1，x2，x3)=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2的值；

同樣是按照三次方程討論的習慣，設(shè)計的三次多項式(或方程)也是缺少x2項的.當然，這里明確告知計算判別式的值，解題思路的獲得就容易多了，由根與系數(shù)的關(guān)系易知D1=0.

2.2.3 知識點剖析

本題涵蓋的知識內(nèi)容在文獻[4]和[5]中都是有的，只是命題者對相關(guān)內(nèi)容進行了有機的建構(gòu)和巧妙的編制.這里行列式的乘法規(guī)則(設(shè)A，B為n階方陣，則有|AB|=|A|·|B|)是問題解決過程中化歸的第一步，矩陣的乘法運算

是解決問題的關(guān)鍵，三階范德蒙行列式

是轉(zhuǎn)化中的意外收獲.設(shè)f(x)=x3+a1x2+a2x+a3，則有方程的根與系數(shù)的關(guān)系

即韋達定理的采用是解決方程求根遇到困難時實施第二次轉(zhuǎn)化的自然嘗試.第三次化歸轉(zhuǎn)化則是基于對稱多項式基本定理：

定理2對于任意一個n元對稱多項式f(x1，x2，…，xn)都有唯一的n元多項式φ(y1，y2，…，yn)，使得f(x1，x2，…，xn)=φ(σ1，σ2，…，σn)，其中σ1，σ2，…，σn是初等對稱多項式.

綜上分析，多項式的判別式是本題知識的源頭，通過圍繞對稱多項式基本定理周圍的知識生長點不斷推廣和延伸，考查學生解題功力和應(yīng)變能力[6].這里，雖然判別式是探究的基石，但命題者始終將“判別式”隱藏起來，希望考生自己去尋找，然后確定計算和推理的方向，更好地感知代數(shù)式的恒等變形，領(lǐng)悟數(shù)學，形成良好的思維品質(zhì).

2.3 立足素養(yǎng)，改進評價

2.3.1 TIMSS 2015 測試觀[7]下的解讀

國際教育成就評價協(xié)會組織的TIMSS測試是基于學校數(shù)學課程基礎(chǔ)的測試評價.作為“函數(shù)與方程”部分的數(shù)學內(nèi)容，本題考查學生能夠創(chuàng)造解釋，轉(zhuǎn)換行列式、對稱多項式、初等對稱多項式的多項式等這些關(guān)系的符號化表達，代數(shù)量的不同表征及其不同表征間的轉(zhuǎn)換的思維習慣的養(yǎng)成情況.依據(jù)TIMSS的觀點，本題的框架維度列表如下：

表1 TIMSS的數(shù)學測試框架維度對照表

矩陣的乘法、行列式和多項式理論等是數(shù)學內(nèi)容方面考查的對象.對多項式理論的態(tài)度、知識理解的深度、知識應(yīng)用的重視程度和具體知識背景的識別程度等信息則是對學生態(tài)度和認知的考查.

從TIMSS的課程模型看，本題也很好地反映了多項式理論的預(yù)期課程、實施課程和獲得課程三個方面[7].對照預(yù)期課程，數(shù)學專業(yè)促成學生對多項式理論及其在一元高次方程根理論中的運用，“判別式”恰是命題背景.高等代數(shù)課程老師講了什么？要求是什么？教學的效果如何？學生的習得是什么？對待數(shù)學成就(比如范德蒙行列式、韋達定理和牛頓公式等)的態(tài)度，反映了對實施課程情況的檢測.期望學生能夠進行高階的數(shù)學思維和推理，將對多項式理論的理解力，用于符號化和形式化的數(shù)學運算與數(shù)學關(guān)系，獲得問題解決的方法和策略，并準確地闡述，則是獲得課程的表現(xiàn).

2.3.2 PISA 2015 數(shù)學素養(yǎng)測試模型[8]下的思考

PISA 2015關(guān)注學生應(yīng)用數(shù)學知識和技能解決問題的能力，用“數(shù)學素養(yǎng)”來概括數(shù)學測試的內(nèi)容，從數(shù)學內(nèi)容、數(shù)學過程和數(shù)學情境三個維度描述數(shù)學素養(yǎng)(Literacy)的測評框架.所謂數(shù)學核心素養(yǎng)是個體在數(shù)學學習實踐活動中所形成的、在各種社會生活情境中積極運用數(shù)學知識和數(shù)學思維分析、解決各種問題，發(fā)揮數(shù)學應(yīng)用價值，實現(xiàn)自身與社會持續(xù)發(fā)展的最基本、最具生長性的相關(guān)數(shù)學素養(yǎng).這些素養(yǎng)涉及數(shù)學知識、能力、情感、態(tài)度、價值觀等多個方面，PISA 2015數(shù)學素養(yǎng)測試框架如圖1所示.

圖1 數(shù)學素養(yǎng)的實踐模型(OECD 2015a)

按照PISA 2015數(shù)學素養(yǎng)的觀點考察本題，對數(shù)學內(nèi)容的測量是從與初等對稱多項式、矩陣的乘法、方陣的行列式等相關(guān)知識，通過對稱多項式的初等對稱多項式表示及其計算來解決三次方程的判別式求解問題.題面的表述為多項式f(x)=x3-49x-120的三個根為a，b，c的相關(guān)量的計算，將判別式隱藏起來，但隱藏在挑戰(zhàn)背后的數(shù)學對象形成的量關(guān)系鏈：sk→D→σi→ai，這是外層.從中間層看，考查學生的符號化數(shù)學語言表達能力、轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學運算技能.從里層看，無論數(shù)學問題、數(shù)學結(jié)論，還是數(shù)學運用，數(shù)學理解深層要求涵蓋其中.雖然本題問題情境局限在數(shù)學課程層面，但對具體數(shù)學問題應(yīng)用數(shù)學概念、程序、工具，通過推理、操作和計算獲得結(jié)論，仍然是具有挑戰(zhàn)性的思維過程.“判別式及其應(yīng)用”作為隱藏的知識應(yīng)用情境，起到了將知識應(yīng)用放在更靠近數(shù)學概念中心的位置，體現(xiàn)了選拔性考試的特點.計算中的化歸是本題對考生提出的又一個認知要求，如此設(shè)計更好的起到“精熟度水平”評價，能夠從解答的過程反映考生“知道什么”“能夠做什么”“做對了什么”，從而深刻、準確地判斷考生的數(shù)學素養(yǎng)水平.

3 結(jié) 論

數(shù)學試題是數(shù)學教學評價的重要載體，直接影響評價的科學性、客觀性和發(fā)展性.綜上分析，本試題以多項式的判別式為背景，以等冪和、行列式等形式呈現(xiàn)，將范德蒙行列式、矩陣運算、對稱多項式、初等對稱多項式融為一體，綜合性強.雖然考查是數(shù)的運算，但不論從多項式根與系數(shù)的關(guān)系，還是牛頓公式思考都需要經(jīng)歷一定的轉(zhuǎn)化過程，體現(xiàn)了對課程內(nèi)容認知領(lǐng)域和認知能力考核的要求.

數(shù)學教材往往是習題的內(nèi)容之根、方法之根、思想之根.從課程教學看，本題有著極強的本質(zhì)歸屬性，源于課本又高于課本.從PISA和TIMSS數(shù)學測評看，本題很好地體現(xiàn)出以問題解決和核心素養(yǎng)為重心的測評設(shè)計理念.試題的設(shè)計以核心知識為載體，通過恰當?shù)膯栴}情境，聚焦數(shù)學學科核心素養(yǎng)，關(guān)注了學生對知識的概念性理解，達到考查學生核心能力的測量目標.“問題”中數(shù)學知識的整合引發(fā)“深學”幽靜的高境界，能發(fā)揮診斷教學效果、激勵學生學習的作用，達到競爭功能、鑒別和選擇的功能的命題目的.該題是一道高質(zhì)量的數(shù)學試題.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見，感謝潘小明教授提出的修改建議.