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    范德蒙德行列式在行列式計算中的應(yīng)用

    2020-12-30 12:11侯麗芬
    關(guān)鍵詞:公因式行列式乘積

    侯麗芬

    【摘要】范德蒙德(Vandermonde)行列式是一類重要的行列式,本文結(jié)合實例討論了范德蒙德行列式的計算,以及如何將一些特殊的行列式化為范德蒙德行列式進(jìn)行計算,以減小計算量,提高計算效率.

    【關(guān)鍵詞】范德蒙德行列式;行列式計算

    行列式的計算是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容,范德蒙德行列式是一類特殊的行列式,它具有獨特的標(biāo)準(zhǔn)形式及簡明的計算結(jié)果.本文從范德蒙德行列式的計算結(jié)果出發(fā),結(jié)合行列式的計算性質(zhì),討論了將一些特殊的、類似于范德蒙德行列式的行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙德行列式進(jìn)行計算,最終化繁為簡,使解題達(dá)到事半功倍的效果.

    下面結(jié)合實例說明一些特殊行列式的計算方法.

    1.直接利用范德蒙德行列式的結(jié)果計算

    分析 該行列式是一個四階范德蒙德行列式,其中a1=1,a2=2,a3=3,

    2.利用行列式的性質(zhì)計算

    (1)提取公因式法

    分析 該行列式中各列元素都分別是一個數(shù)自上而下按升冪順序排列,方冪次數(shù)都是從1到n.如果分別提取各列的公因數(shù),則方冪次數(shù)便成為從0到n-1,得到一個標(biāo)準(zhǔn)的n階范德蒙德行列式,其中a1=1,a2=2,…,an=n.

    (2)行、列變換法

    (3)升階法

    例4 計算n階行列式

    分析 根據(jù)n階行列式Dn的特點,通過加邊的方法添加一行一列.在第n

    行與第n-1行之間加入含有an-1i(i=1,2,…,n)的一行,再加入相應(yīng)的一列1,b,b2,…,bn,構(gòu)造一個(n+1)階范德蒙德行列式Dn+1間接求出Dn.

    解 加邊,作(n+1)階范德蒙德行列式.

    (4)拆項法

    例5 計算n階行列式

    (5)拉普拉斯展開法

    例6 計算行列式

    (6)行列式乘積變換法

    例7 計算n階行列式

    分析 由行列式的乘法規(guī)則可以將Dn化為兩個范德蒙德行列式的乘積.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]王萼芳,石生明.高等代數(shù)(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

    [2]鄭大川,吳瑞武.線性代數(shù)與概率論[M].北京:中國農(nóng)業(yè)出版社,2012,01.

    [3]楊艷麗.范德蒙行列式及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究:教研版,2015(9):136-137.

    [4]牛海軍.范德蒙行列式在行列式計算中的應(yīng)用[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2008(17):140.

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