Hilbert空間中的廣義K-框架

陶 蕊， 李春艷

(重慶科技學(xué)院 數(shù)理與大數(shù)據(jù)學(xué)院， 重慶401331)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

1946年，Gabor在文獻(xiàn)[1]中討論了信號(hào)關(guān)于基本信號(hào)的分解問題.1952年，Duffin等人[2]對(duì)Gabor的思想進(jìn)行了推廣，在非調(diào)和Fourier分析中引入了框架的概念.但是，他們的工作并沒有引起太多學(xué)者們的重視. 直到1986年，Daubechies等[3]將框架理論應(yīng)用到小波分析和Gabor變換中，才引發(fā)了大量學(xué)者關(guān)于框架理論的深入研究.隨后，框架理論被廣泛地應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮以及抽樣理論等領(lǐng)域.

最近20年來(lái)，在Hilbert空間中，各種不同的框架概念被相繼提出，例如，一般框架，子空間框架，廣義框架和K-框架等等.關(guān)于這些框架的主要研究工作，可以參見文獻(xiàn)[4-9].在上述的框架概念中，Sun等[6]提出的廣義框架和Gavruta[7]提出的K-框架將算子理論與框架理論進(jìn)行了結(jié)合，極大地延伸了框架理論的研究范圍.本文將在Hilbert空間中引入廣義K-框架及其對(duì)偶框架的概念.廣義K-框架是廣義框架和K-框架的一種自然推廣.利用廣義K-框架及其對(duì)偶框架可以實(shí)現(xiàn)對(duì)算子K的值域的重構(gòu).

本文將采用如下記號(hào)：F表示復(fù)數(shù)域或?qū)崝?shù)域，H表示定義在數(shù)域F上的可分Hilbert空間，L(H1,H2)表示從Hilbert空間H1到Hilbert空間H2上全體有界線性算子的集合.特別地，當(dāng)H=H1=H2時(shí)，記為L(zhǎng)(H). 對(duì)H中的任意兩個(gè)元素f,g，利用〈f,g〉表示f與g的內(nèi)積.

且其內(nèi)積為

顯然，⊕Hi在此內(nèi)積下仍然是一個(gè)Hilbert空間.特別地，對(duì)任意的i，當(dāng)Hi=H時(shí)，記l2(H)=⊕Hi.

下面，先回顧廣義框架和K-框架的概念.

由廣義Bessel序列的定義可知RΛ是一個(gè)有界線性算子.此時(shí)，稱RΛ為Λ的解析算子.此外，通過(guò)計(jì)算可以得到算子RΛ的伴隨算子為

則稱G為H的K-框架.其中，常數(shù)A,B分別稱為G的框架下界和上界.

2 廣義K-框架與廣義K-原子系統(tǒng)

則稱Λ是緊的廣義K-框架.

由上述定義可知，廣義框架一定是一個(gè)廣義K-框架，其中K=IH，IH是定義在Hilbert空間H上的恒等算子.

在文獻(xiàn)[10]中，Neyshaburi等已經(jīng)討論了Hilbert空間中K-框架的構(gòu)造問題，給出了K-框架的一些具體例子.下面，利用K-框架構(gòu)造一個(gè)廣義K-框架.

Λi∶H→Hi，Λif=〈f,fi〉ei， ?f∈H，i=1,2,…

事實(shí)上，對(duì)任意f∈H，有

下面，給出廣義K-原子系統(tǒng)的概念.

下列結(jié)論表明，可分的Hilbert空間總是存在一個(gè)關(guān)于l2(H)的廣義K-原子系統(tǒng).

定理1設(shè)H是一個(gè)可分的Hilbert空間，且K∈L(H)，則H存在一個(gè)關(guān)于l2(H)的廣義K-原子系統(tǒng).

此時(shí)，令fi=Kei，且定義算子：

Λif=〈f,fi〉ei， ?f∈H.

且

因此，Λ是H關(guān)于l2(H)的一個(gè)廣義K-原子系統(tǒng).

注 上述定理證明過(guò)程中得到的算子序列Λ也可以成為H的一個(gè)關(guān)于l2(H)的緊的廣義K-框架. 事實(shí)上，對(duì)任意的f∈H，有

因此，Λ成為了H的一個(gè)緊的廣義K-框架.

下面，討論廣義K-原子系統(tǒng)與廣義K-框架之間的關(guān)系.

引理1(R.G. Douglas[11]) 設(shè)H,H1,H2為Hilbert空間，L1∈L(H1,H),L2∈L(H2,H),則下列命題等價(jià)：

(i)R(L1)?R(L2);

(iii) 存在有界算子C使得L1=L2C.

定理2設(shè)H,H1,H2,…,Hi,…是一列可分的Hilbert空間，且K∈L(H)，Λi∈L(H,Hi),i=1,2,…，則下列命題等價(jià)：

證(i) ? (ii) 設(shè)Λ是一個(gè)廣義K-原子系統(tǒng)，則下列算子：

另一方面，?f∈H，有

因此，Λ是一個(gè)廣義K-框架.

其中T是Λ的合成算子.因此，有

A〈K*f,K*f〉=A〈KK*f,f〉≤〈T*f,T*f〉=〈TT*f,f〉.

下面定理表明，任意一個(gè)廣義Bessel列，都可以成為一個(gè)廣義K-框架.

(1)

3 廣義K-框架的對(duì)偶性

為了建立基于廣義K-框架的元素重構(gòu)理論，本節(jié)將討論廣義K-框架的對(duì)偶性.

命題1如果(Γ,Λ)是一個(gè)廣義K-對(duì)偶對(duì)，則Λ是一個(gè)廣義K-框架，且Γ是一個(gè)廣義K*-框架.

證設(shè)Bessel列Λ的界為B1，Bessel列Γ的界為B2，則

即

這就證明了Λ是一個(gè)廣義K-框架.

同理可證，Γ是一個(gè)廣義K*-框架.

注 由命題1的結(jié)論，也稱一個(gè)廣義K-對(duì)偶對(duì)(Γ,Λ)為一個(gè)廣義K-對(duì)偶框架對(duì).此時(shí)，稱Γ為Λ的K*-對(duì)偶框架，稱Λ為Γ的K-對(duì)偶框架.

設(shè)Λ是一個(gè)廣義K-框架，文獻(xiàn)[7]中定義了算子S：

且S是一個(gè)有界線性算子，即S∈L(H)，且S是自伴的，稱算子S為Λ的框架算子.設(shè)R(K)是算子K的值域，當(dāng)R(K)是閉子空間時(shí)，記P為從H到R(K)的正交投影算子.

證設(shè)S為Λ的框架算子，并且記SR(K)為S在R(K)上的限制.因?yàn)樗阕覭具有閉值域，所以,算子K的伴隨算子K*是下有界的，即存在ε>0，使得

‖K*f‖≥ε‖f‖， ?f∈H.

因?yàn)?/p>

和

所以有

A‖K*f‖2≤〈Sf,f〉≤B‖f‖2.

同時(shí)有

Aε2‖f‖2≤A‖K*f‖2≤〈Sf,f〉≤‖Sf‖·‖f‖，

即Aε2‖f‖≤‖Sf‖. 這就說(shuō)明算子S是一個(gè)單射且具有閉值域R(S). 又因?yàn)镾是自伴算子，所以S是可逆的.

這說(shuō)明Γ是一個(gè)廣義Bessel列.此外，對(duì)任意的f∈H，還有

和

因此，(Γ,Λ)是一個(gè)廣義K-對(duì)偶對(duì)，即Γ是Λ的一個(gè)K*-對(duì)偶框架.

盡管命題2表明，在算子K有閉值域的前提下，任意一個(gè)廣義K-框架的對(duì)偶框架總是存在的，但是，要精確地算出對(duì)偶框架是件非常困難的事情.早在2011年，Christensen等就在文獻(xiàn)[13]中對(duì)Hilbert空間中一般框架的對(duì)偶框架的近似問題進(jìn)行了研究，提出了逼近對(duì)偶的概念.下面，給出廣義K-框架的逼近對(duì)偶的概念.

注 上述定義中，用常數(shù)ε來(lái)刻畫對(duì)偶的逼近程度.通常假設(shè)ε是一個(gè)小于1的常數(shù)，即ε<1. 此時(shí)，可以利用廣義Bessel列Λ,Γ的解析算子和合成算子定義廣義逼近K-對(duì)偶對(duì).

(2)

且滿足對(duì)任意的自然數(shù)n，有

(3)

則 (r,Λ)是一個(gè)廣義逼近K-對(duì)偶對(duì).

即有

當(dāng)n→∞時(shí)，有

則容易驗(yàn)證Tr是一個(gè)有界線性算子，且

設(shè)Rr是r的解析算子，則‖Rr‖=‖Tr‖.

4 結(jié) 論

本文推廣了Hilbert空間中的廣義框架和K-框架的概念，引入了一種新的框架——廣義K-框架，從而給出了Hilbert空間上線性有界算子K的值域的一種新的重構(gòu)方式.這種重構(gòu)方式與基于一般K-框架的元素重構(gòu)方式不同，它是一種基于算子序列的重構(gòu).同時(shí)，本文引入了廣義K-原子系統(tǒng)的概念，討論了廣義K-框架與廣義K-原子系統(tǒng)之間的關(guān)系.此外，為了建立基于廣義K-框架的重構(gòu)理論，我們還引入了廣義K-對(duì)偶對(duì)和廣義逼近K-對(duì)偶對(duì)的概念，并給出了廣義K-對(duì)偶對(duì)存在的充分條件，研究了廣義K-對(duì)偶對(duì)和廣義逼近K-對(duì)偶對(duì)之間的關(guān)系.

致謝作者非常感謝編輯和審稿人對(duì)本文提出的修改建議，并且感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā).