乘方的指數與其冪的位數的關系

劉耕滔， 謝子康

(1.浙江師范大學 數學與計算機科學學院，浙江 金華321004；2.浙江師范大學 物理與電子信息工程學院，浙江 金華321004)

1 引 言

眾所周知，bn(b>1，n∈)中隨著n的增大，其冪呈爆炸式增長.但經過研究發(fā)現，對應于某些底數b，隨著n的增大其冪的數位呈某種周期循環(huán)規(guī)律(如附錄中的例子)，目前尚無理論明確指出其間到底存在怎樣的規(guī)律.于是我們由此展開研究，探究了其背后的理論體系，并將其推廣到了更一般的情況.

2 預備知識

定義1位數：一個自然數數位的個數. 進制：即進位計數制，帶進位的計數方法.

定義2定義一種函數：取位函數(長度函數)

f(x)=lenA(x) (A為大于1的常數，x∈+).

該函數表示在A進制下x的整數部分的位數為f(x).

根據定義，當x∈[1,+∞)存在取位函數恒等式： lenA(x)= [logAx]+1.

定義3在A進制下，若以b為底的冪bn的整數部分位數相同的乘方的個數是其指數的一個周期函數時，則稱A進制下bn的進位定律存在.在該周期函數的最小正周期內統(tǒng)計每一個位數所對應的指數的個數，將其數字按先后順序記下，便構成了一個進位循環(huán)組.進位循環(huán)組中每一個數字(自然數)為進位循環(huán)段.表示進位循環(huán)組時，數字以西文逗號隔開，寫在括號內.(如附錄中的例子)(A,b∈且A,b>1，n∈).

進位循環(huán)組表示進位定律存在的乘方的冪的整數部分的周期性的進位模式.

例1(100.3)n(n∈) 隨n增大時存在進位定律，進位循環(huán)組為 (4,3,3).

3 兩個定理

定理1(滿進定理) 設A,a>1，n∈，當且僅當A=a時，lenA(an)=n+1.

該定理結合數學歸納法易證.稱A進制下an=An這種進位的模式為“滿進”.由定理指出，一種進制下只存在一種滿進情況.同樣結合數學歸納法，可以由定理1推得以下五個等價命題：A,a∈且A,a>1，n∈.在A進制下，

(i)an為滿進；

(ii)A=a；

(iii)an的冪的位數等于其乘方的指數+1；

(iv)an的進位循環(huán)組為(1)；

(v)an的冪分別為“1，10，100，…(A進制)”.

實際上遇到的更多情況并非是滿進的，下面給出一條描述“非滿進”(即b≠A)情況的定理.

定理2(非滿進定理) 設A,b∈且A,b>1，n,l∈且l≥2，在A進制下：

若b>A，則存在n，l，使得lenA(bn+1)=lenA(bn)+l；

若b

證當b>A時，設A=a，r,m∈+，則?r(r>1)，使得b=r·a，進而有b0=r0·a0，bn=rn·an.又因為r>1，所以rn>1且rn單調遞增.顯然，?m∈，使得rm>10(A進制)，則有bm>10·am(A進制)根據鴿巢原理與定理1，?n≥m，使得lenA(bn+1)=lenA(bn)+l(l∈且l≥2).

同理可證b

4 指律因子

定義4在A進制下，對于底數為b的乘方，將logAb稱為指律因子.

由定義可知，在A進制下的指律因子與乘方的底數是一一對應的.

定理3(進位定律存在判別法) 在A進制下，bn進位定律存在的充要條件為指律因子logAb為有理數(A,b∈且A,b>1).

證必要性.若進位定律存在，則由定義該周期循環(huán)關系必可被一個固定的進位循環(huán)組描述，且該進位循環(huán)組的兩個參數：進位循環(huán)組中數字的個數=g，進位循環(huán)組中數字之和=k，為兩個有限大的正整數.由進位循環(huán)組的定義可知，g為經歷一個進位循環(huán)組時數位的增加量，k為經歷一個進位循環(huán)組時冪的指數的增加量，即Ag=bk(在A進制下，An滿進).

對于必要性的證明可逆，因此充分性可證.定理3證畢.

推論A進制下，bn進位定律存在的充要條件：互質的兩參數g(進位循環(huán)組中數字的個數),k(進位循環(huán)組中數字之和)惟一存在且不為無窮.

根據上述理論，有以下求進位循環(huán)組的方法.

在A進制下，設指律因子α為有理數.

求解p·α<1(p∈)中p的最大取值p1，則進位循環(huán)組中第1個進位循環(huán)段為p1+ 1；

再求解p·α<2(p∈)中p的最大取值p2，則進位循環(huán)組中第2個進位循環(huán)段為p2-p1；

再求解p·α<3(p∈)中p的最大取值p3，則進位循環(huán)組中第3個進位循環(huán)段為p3-p2；

…… ……

依此類推，進位循環(huán)組中除第1個進位循環(huán)段為p1+ 1外，其余第m個進位循環(huán)段為pm-pm-1.

該方法可整理為如下方程組

其中p∈，xi∈(i=1,2,3，…，g)，xi為進位循環(huán)組中第i個進位循環(huán)段.

注 當指律因子為無理數時，進位循環(huán)組不存在，但亦可將進位循環(huán)組看作是周期為無窮大，再由上法求出足夠多的進位循環(huán)段，以提高精確度，達到應用目的.

5 相關性質

設A,b,d∈且A,b,d>1，n∈，A進制下bn進位定律存在，則有以下四條性質：

性質1(周期循環(huán)性)bn的整數部分位數相同的乘方的個數是其指數的一個周期函數.

性質2(組合性質) 在A進制下，若bn，dn都存在進位定律，則(b·d)n也存在進位定律，且其指律因子為logAb+logAd.

推論(i)在A進制下，若bn存在進位定律，dn不存在進位定律，則(b·d)n不存在進位定律；

(ii)在A進制下，若bn，(b·d)n存在進位定律，則dn一定存在進位定律；

(iii)在A進制下，若(b·d)n不存在進位定律，則bn，dn至少有一個不存在進位定律.

性質3(進位循環(huán)段的有界性) 進位循環(huán)組中，第j個進位循環(huán)段xj(j∈{2,3,…，g})僅有2個可能的數值：xj=x1或xj=x1-1.

證此性質的證明過程借助以下引理.

引理1對于第3部分中求進位循環(huán)組的方法中的條件，有以下等價形式

引理1可將第3部分中求進位循環(huán)組的方程組改寫為如下形式(其它條件相同)

取j∈{2,3,…，g}，則由方程組有

(1)

以及

(2)

聯立(1)，(2)兩個不等式可以得出結論-1

性質3證畢.

性質4(進位循環(huán)組的弱對稱性) 設進位循環(huán)組為(x1,x2,…,xg)，則有x1=xg+1且x2=xg-1，x3=xg-2，…成立.

證bk=Ak·α=Ag為g+1位數，b0=A0=1為1位數，因此第3部分中求進位循環(huán)組的方程組中p∈[0,k)∩.去除左端點，則p∈(0,k)∩，(0,k)為關于對稱的區(qū)間，對應方程組的解中x1應改為x′1=p1=x1-1

又由該方程組等價形式可得另一等價形式

兩等價形式的解相同.而后一等價形式的解的意義依次為：在區(qū)間(0,k)上的進位循環(huán)組中由末至初的進位循環(huán)段，與前一等價形式的解的意義恰好相逆(前一等價形式的解依次代表對稱區(qū)間(0,k)上進位循環(huán)組中由初至末的進位循環(huán)段)，因此有x1=xg+1且x2=xg-1，x3=xg-2，…成立.

性質4證畢.

6 結 論

本文研究了在一定進制下，乘方的指數與其冪的位數的相關規(guī)律.其中定理1和定理2描述了乘方的指數與其冪的位數之間規(guī)律的框架，在定義了指律因子后便對規(guī)律的存在性以及規(guī)律的求解方法進行了討論，最后給出四條規(guī)律存在時的相關性質，在某些情況下，判定進位定律存在后，可以直接根據性質求出進位循環(huán)組.本文研究方法基于初等數論，采用數論中的方法，可對本文內容繼續(xù)拓展延伸.

致謝感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴建議，感謝浙江師范大學數學與計算機科學學院朱偉義教授的細心指導！

附 錄

以(100.3)為底的乘方當指數n=0,1,2,…時，其對應冪如下表

表1 (100.3)n的指數與其冪的數字位數的關系表

除上表所列可以繼續(xù)向下驗算，不難發(fā)現，從n=0至n=9十個數可以作為一個最小正周期，其中整數部分為一位數的有4個、兩位數的有3個、三位數的有3個，則其進位循環(huán)組為(4,3,3)，此進位循環(huán)組中有三個進位循環(huán)段，分別為“4”“3”“3”.另外，當以2為底時，雖然大多數也為“4,3,3”的規(guī)律，但在n=103，n=196，n=299等(len10(2103)=32，len10(2196)=60，len10(2299)=91)情況下失去了規(guī)律.

由前文定義可知進位循環(huán)組、進位循環(huán)段的意義：進位循環(huán)組代表了一個冪的整數部分位數與其乘方的指數之間的規(guī)律性關系，進位循環(huán)組中每一個數字為進位循環(huán)段，表示整數部分同處于某一對應位數下的冪的個數，進位循環(huán)段的個數表示經過一個進位循環(huán)冪的整數部分所進的位數，進位循環(huán)組中數字之和表示一個進位循環(huán)所占的乘方的指數的個數.