依托幾何直觀 理解意義本質

【摘要】本文以“一個數除以分數”的教學為例，論述借助幾何直觀幫助學生理解算理和掌握算法的方法，建議教師在深刻解讀教材的基礎上，設置課堂前測環(huán)節(jié)，基于學生學情，在具體的教學題境中借助幾何直觀幫助學生更好理解算理、掌握算法，從而優(yōu)化教學效果。

【關鍵詞】小學數學 幾何直觀 意義本質

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）13-0142-04

人教版小學數學六年級上冊第三單元《分數除法》第三課時“一個數除以分數”的計算教學是小學數學教學的重點與難點。如何讓學生形象理解“除以一個分數，等于乘這個分數的倒數”的算理呢？筆者在實踐中發(fā)現(xiàn)，學生掌握和運用計算方法相對而言比較容易，然而在理解算理方面遇到了比較大的困難。那么，學生學習“一個數除以分數”的知識儲備和認知起點是怎樣的？它的教學目標應該如何定位？它的計算教學到底關注點在哪里？筆者認為，有必要對學生關于“一個數除以分數”的認知水平做一次前測，以便更好地進行教學。下面，筆者結合多教材的對比溝通，基于學生基礎，試圖在具體的教學題境中借助幾何直觀幫助學生更好地理解算理、掌握算法，優(yōu)化教學效果。

一、教材解讀

以生為本，關注學生生活經驗和認知基礎是教學本課需要貫徹的原則。學生在學習“一個數除以分數”之前，到底有怎樣的邏輯起點和現(xiàn)實起點？這正是教師首先要考慮的問題。筆者拜讀了省數學特級教師袁曉萍、呂立峰的相關文章，發(fā)現(xiàn)針對不同的學生需要不同的學習過程，有些策略即使很好，也可能不適合本班學生，不能全部照搬。針對該教學內容，筆者研讀了幾套不同版本的教材，發(fā)現(xiàn)編委的意圖均有所側重，各不相同。

北師大版教材將這部分內容安排在五年級下冊第五單元，它通過平均分4個同樣大的餅的問題情境，讓學生直觀感受“一個數除以分數”的意義理解。浙教版教材同樣將此內容安排在五年級下冊，讓學生在學習分數乘法的基礎上緊接著學習分數除法，教材借助一條綢帶，讓學生直觀理解同分母分數除法的意義，同時教材突出了算法的重要性，有刻意回避“一個數除以分數”的算理之嫌。蘇教版教材以3個不同的平均分的問題情境，借助格子圖和彩帶圖，利用數形結合思想幫助學生理解“一個數除以分數”的算理。人教版教材則呈現(xiàn)了學生熟知的行程問題。

針對不同教材同一內容的呈現(xiàn)，結合人教版教材，筆者設計了如下前測對學生的學情基礎進行調查。

調查問卷（前測）

班級：? ? ? ?姓名：

親愛的同學，老師想了解你在分數除法學習過程中的情況，請你按要求認真回答以下問題。記住，獨立完成哦！

問題1：3÷[12]=

（1）你會算嗎？（? ）A.會? B.不會

（2）如果你會算，那么請你用自己想到的方法進行計算。寫一寫、畫一畫，你是怎么想的？

問題2：小明[310]小時行了[910]千米，他每小時行了多少千米？

（1）你能列出算式來解決這個問題嗎？（? ）

（2）上面的算式你會計算嗎？請你用自己想到的方法進行計算。寫一寫、畫一畫，你是怎么想的？

前測的兩個問題分別指向“整數除以分數”和“同分母分數除法”的教學內容。教學前一天，筆者隨機調查了本年級兩個班共82名學生。通過調查發(fā)現(xiàn)，兩個問題的計算正確率均達到了90%以上。

通過調查，筆者還發(fā)現(xiàn)，學生在解決這類題目時所用的計算方法多樣，從圖形的描述中也能基本看出學生對算理的理解是比較清晰的?；谶@樣的學生基礎，初步敲定了本節(jié)課的教學流程，并制訂了課時目標。筆者簡單通過前測鞏固理解“整數除以分數”和“同分母分數除法”兩種計算題的意義，把異分母分數除法作為本節(jié)課的重點進行教學。通過環(huán)環(huán)相扣、層層推進的流程，基于同分母分數除法，打通異分母分數除法，從而幫助學生更好地理解分數除法的算理，使學習最優(yōu)化。

教學流程

基于前測3÷[12]，理解“整數除以分數”的算法和算理

題境互譯[910]÷[310]，掌握“同分母分數除法”的計算意義

類比遷移[95]÷[310]，鞏固“異分母分數除法”的法理相通

歸納“一個數除以分數”的算法

二、教學實踐

基于學生的現(xiàn)實起點和邏輯起點，重組“一個數除以分數”的教學設計，以此優(yōu)化學生對此計算的意義理解，促進算法和算理的真正溝通，達到深度學習的目的。

（一）基于前測，理解“整數除以分數”的算法和算理

【片段一】

1.出示題目，自主探索

前測題目1：3÷[12]

師：同學們，課前我們進行了兩道題目的練習，這是第一個題目（出示問題1），答案是幾？猜一猜咱們班的正確率是多少？（39÷41≈95.12%）

師：正確率這么高，那你們再猜一下，解決這道計算題，我們班一共有多少種做法？我們一起看看吧。

2.作品展示，互動交流

方法一：乘倒數

師：第一種方法是同學們用得最多的，請×××同學說說想法。

生：我們知道，除以一個數就等于乘這個數的倒數，所以3÷[12]=3×2=6。

師：評價一下他的方法怎么樣？

（板書方法）

方法二：商不變性質

師：我們來看這種方法，你看懂了嗎？

出示：3÷[12]=（3×2）÷（[12]×2）=6÷1=6

生：我們把被除數和除數同時乘2，利用以前學過的商不變性質，這樣就變成了6÷1=6，所以3÷[12]=6。

師：大家都聽明白了嗎？這是把分數除法轉化成? ？

生：把分數除法轉化成整數除法來計算。

師：你評價一下他的方法怎么樣？同學們利用商不變性質方法可以嗎？

（板書方法）

方法三：分數與除法的關系

師：再來看第三種，請×××同學來說。

出示：3÷[12]=3÷（1÷2）=3÷1×2=6

生：我們以前學過分數與除法的關系，[12]=1÷2，所以3÷[12]=3÷（1÷2）=3÷1×2=6。

師：利用分數與除法的關系，我們把這樣的分數除法轉化成整數除法來計算，確實是一種好辦法。

（板書方法）

方法四：分數化小數

師：再來看第四種，請×××同學來說。

生：我們可以把[12]化成小數0.5，然后3÷[12]=3÷0.5=6。

師：把分數除法轉化成小數除法來計算，很不錯哦。

（板書方法）

方法五：畫圖形

師：再來看第五種，畫圖來解釋計算，請×××同學來說。

生：我先畫3個圓代表3，畫半個圓代表二分之一，再把3個圓都平均分成兩份，一共就有這樣的6個半圓，6個半圓剛好是1個半圓的6倍。

師：你是把分數除法轉化成? ?？

生：我是把分數除法轉化成畫圖來計算的。

師：利用畫圖的方法也是可行的。

（板書方法）

方法六：線段圖

師：再來看第六種，畫線段圖來解釋計算，請×××同學來說。

生1：我先畫3條線段代表3，再畫半條線段代表二分之一，把3條線段都平均分成2份，一共就有這樣的6個半條線段，所以是6倍。

師：誰聽明白了？

生2：他是把分數除法轉化成線段圖來計算的。

師：聽明白了嗎？這里單位1是什么？為什么要平均分成2份？最后這個計算就是在求什么？

數的轉化

形的轉化

3.對比溝通，適當概括

師：同學們，原來可以有這么多方法，你想到了嗎？我們不但可以從數的角度，也可以從圖形的角度來考慮解決這個問題，都是將新的知識轉化成已經學過的知識。看來，集體的智慧就是強大，給聰明的自己鼓鼓掌吧。

（二）題境互譯，掌握“同分母分數除法”的計算意義

【片段二】

1.出示題目，進行探索

前測題目2：小明[310]小時行了[910]千米，他每小時行了多少千米？

師：我們來看一下，這道題你當時是怎么列式解決的？

生：[910]÷[310]。

師：是的，我們也來看一下，這道計算題，我們班的同學是怎么解決的？

2.作品展示，互動交流

（依次出示學生的計算方法，簡單交流）

方法一：[910]÷[310]=[910][×103]=3（千米/時）

方法二：[910]÷[310]=（[910]×10）÷（[310]×10）=9÷3=3（千米/時）

方法三：[910]÷[310]=0.9÷0.3=3（千米/時）

方法四：

師：有的同學用了這樣一個線段圖來解釋計算，你看懂了嗎？

生：這里的一條線段就表示1小時，把它平均分成10份，每一份就是[110]小時，這樣的3份就是[310]小時。根據題目意思，[310]小時行了[910]千米，從線段圖上我們可以很清楚地看到，1份也就是[110]小時行了[910]千米÷3，也就是[310]千米。然后1小時有這樣的10個[110]小時，也就是[310]千米×10=3千米。所以說，小明[310]小時行了[910]千米，他每小時行了3千米。

師：同學們，你們聽明白了嗎？

（教師此時再請一名學生說一遍，并根據學生說的及時形成板書）

板書：[910]÷[310]=[910]÷3×10=[910]×[13]×10=[910×103]=3（千米/時）

3.對比溝通，內在求聯(lián)

師：同學們，我們不但用了這么多的方法來計算[910]÷[310]，更可貴的是我們還發(fā)現(xiàn)了它們之間的內在聯(lián)系，大家真的很厲害。

（三）類比遷移，鞏固“異分母分數除法”的法理相通

【片段三】

1.出示題目，有效探索

題目：小丁[310]小時行了[95]千米，他每小時行了多少千米？

師：同學們，這個問題又該怎么解決呢？它和剛才的算式不一樣在哪里？你會計算嗎？

出示合作要求：在作業(yè)紙上畫一畫、寫一寫，做完后四人小組說一說做法。

2.操作交流，內化算法

方法一：[95]÷[310]=[95×103]=6（千米/時）

方法二：

3.對比溝通，自然求聯(lián)

師：[95]×[13]是什么意思？你能用粉筆表示求的這一部分嗎？再乘10是什么意思？同學們請看這一步。

生：就是乘倒數。

師：是啊，所以線段圖其實就是在幫助解釋“為什么除以一個數等于乘這個數的倒數”。

板書：[95]÷[310]=[95]÷3×10=[95]×[13]×10=[95×][103]=6（千米/時）

師（小結）：同學們，乘倒數這么受大家喜歡是因為它簡單實用，它就是分數除法的計算方法。線段圖是對算法的一種解釋，是算法背后的算理，為我們解釋了分數除法的原理。

三、課后思考

本節(jié)課的教學，充分借助幾何直觀，降低思維難度，讓學生在形象感知的基礎上理解“一個數除以分數”的抽象意義，進一步掌握算法、理法通融。

（一）依托幾何直觀，意義理解應景而生

《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱“課標”）指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。課標通過闡述幾何直觀的本質，非常清楚地揭示了幾何直觀的重要性和必要性。幾何直觀是數學計算教學中必不可少的有效工具。

通過本節(jié)課的前測，筆者發(fā)現(xiàn)學生基本掌握了“整數除以分數”和“同分母分數除法”類的計算題的算法。學生想到了用6種方法解決3÷[12]和[910]÷[310]。基于這樣的學生基礎，筆者在課始就出示學生的學前情況，通過題境“小明[310]小時行了[910]千米，他每小時行了多少千米”讓學生充分理解[910]÷[310]=[910]÷3×10=[910]×[13]×10=[910]×[103]=3的計算過程，然后在此基礎上通過“小丁[310]小時行了[95]千米，他每小時行了多少千米”這個題境慢慢推進“異分母分數除法”的意義理解，層次清楚，有效突破了“除以一個數等于乘這個數的倒數”的教學難點，從而促進學生對知識的深度學習。

（二）依托幾何直觀，知識體系自然求聯(lián)

從教材體系中，我們不難發(fā)現(xiàn)，整數除以分數會用到分數除以整數算法的經驗，如教學3÷[12]時，學生想到的種種方法都是可以用包含除的意義去解決的，即3÷[12]就是表示3里面有幾個[12]。以此類推，同分母分數除法、異分母分數除法如果用這個方法去解決，表面上看似沒有問題，實質上卻和題目的意義（速度時間路程）有了矛盾。

那么，究竟應該怎樣緩解這對矛盾，溝通新舊知識的聯(lián)系，在新舊知識的連接點上發(fā)展新知，打通知識關聯(lián)的體系？本節(jié)課在探索“一個數除以分數”的計算方法中，教師充分借助線段圖，幫助學生進行自主探索，學生在具體可見的線段圖中對“除以一個數等于乘這個數的倒數”的計算法則有了直觀的理解。通過不斷地表達、質疑，讓學生在充分理解“除以一個數等于乘這個數的倒數”的算理的基礎上，掌握法則，驅動學生從“算法”走向“算理”，進而打通了三類分數除法計算題之間的內在聯(lián)系。

（三）依托幾何直觀，數形之間有機結合

數形結合思想是一種重要的數學思想方法。著名數學家華羅庚非常重視“數形結合”，他認為：數無形是少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。借助直觀形象模型理解抽象的數學概念，體會數學計算的意義，顯然是小學生學習數學的重要方法。

在本節(jié)課[95]÷[310]的教學中，筆者借助線段圖，讓學生在自主探索中發(fā)現(xiàn)，這里的一條線段就表示1小時，把它平均分成10份，每一份就是[110]小時，這樣的3份就是[310]小時。根據題目意思，[310]小時行了[95]千米，從線段圖上可以很清楚地看到，1份也就是[110]小時行了[95]千米÷3，也就是[35]千米。然后1小時有這樣的10個[110]小時，也就是[35]千米×10=6千米。所以說，小明[310]小時行了[95]千米，他每小時行了6千米。借助線段圖來理解算法，讓學生知其然，更知其所以然，讓學生的思維在整個幾何直觀的理解中走向深度，從而促進學生對分數除法意義的深入理解，同時鞏固算法。

【參考文獻】

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[3]袁曉萍.“分數乘、除法”單元重組的思路與課時劃分[J].小學數學教育，2020（1-2）.

[4]劉穎.幾何直觀在小學數學計算教學中的應用策略[J].小學數學教育，2020（5）.

[5]顧曉東.數形結合思想的內涵意蘊及培養(yǎng)策略[J].教學月刊，2020（6）.

【作者簡介】袁春胭，浙江省杭州市濱江實驗小學數學教師，大學本科學歷，一級教師，杭州市教壇新秀、區(qū)優(yōu)秀人民教師、區(qū)名師名校長培養(yǎng)對象，主要從事教師隊伍建設、學科教學與教育研究。

（責編 楊 春）