學(xué)習(xí)策略的心理學(xué)研究及其對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

劉旭晨 喻平

摘要：心理學(xué)對學(xué)習(xí)策略的研究主要集中在學(xué)習(xí)策略與學(xué)業(yè)成就的關(guān)系、學(xué)習(xí)策略的使用特點(diǎn)和發(fā)展規(guī)律、學(xué)習(xí)策略的訓(xùn)練干預(yù)等方面。將一些研究成果應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，可以得到一些教學(xué)啟示：突出數(shù)學(xué)閱讀策略的教學(xué)，加強(qiáng)反思性學(xué)習(xí)策略的教學(xué)，注重通性通法的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)策略;數(shù)學(xué)閱讀;反思性學(xué)習(xí);通性通法;中學(xué)數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)策略概念來源于1956年美國心理學(xué)家布魯納提出的“認(rèn)知策略”。由于學(xué)習(xí)策略的內(nèi)隱性質(zhì)，人們難以對其直接概括，因此，目前還沒有統(tǒng)一的界定。綜合國內(nèi)外心理學(xué)家對學(xué)習(xí)策略內(nèi)涵的理解，主要有以下三種觀點(diǎn)：（1）學(xué)習(xí)策略是學(xué)習(xí)的程序、方法及規(guī)則;（2）學(xué)習(xí)策略是學(xué)習(xí)的信息加工方法;（3）學(xué)習(xí)策略是學(xué)習(xí)監(jiān)控和學(xué)習(xí)方法的結(jié)合。總的來說，學(xué)習(xí)策略是學(xué)習(xí)者為提高學(xué)習(xí)的效果和效率，有目的、有意識地制訂的有關(guān)學(xué)習(xí)過程的復(fù)雜的方案。學(xué)習(xí)策略是決定學(xué)業(yè)成就的一個(gè)重要指標(biāo)。在心理學(xué)領(lǐng)域，大量關(guān)于學(xué)習(xí)策略的研究表明，在教學(xué)中有意識地培養(yǎng)或有目的地干預(yù)學(xué)生的學(xué)習(xí)策略，對其學(xué)習(xí)效果有重要的影響。本文簡單介紹心理學(xué)關(guān)于學(xué)習(xí)策略的一些研究，并由此思考如何將一些研究成果應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、心理學(xué)關(guān)于學(xué)習(xí)策略的一些研究

（一）學(xué)習(xí)策略與學(xué)業(yè)成就的關(guān)系

關(guān)于學(xué)習(xí)策略與學(xué)業(yè)成就關(guān)系的實(shí)證研究，可以分為學(xué)習(xí)策略與學(xué)業(yè)成就的相關(guān)性研究和學(xué)習(xí)策略對學(xué)業(yè)成就的影響研究兩個(gè)方面。要開展上述研究，就涉及對學(xué)習(xí)策略的測量，因此，制作學(xué)習(xí)策略的量表就顯得尤為重要。事實(shí)上，在這一方面，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開展了許多研究。比如Weinstein等在1987年編制了“學(xué)習(xí)策略量表——高中版”，所測內(nèi)容包括態(tài)度、動機(jī)、時(shí)間管理、焦慮、專心、信息處理、選擇要點(diǎn)、學(xué)習(xí)輔助手段、自我測查、考試策略十個(gè)維度;Yesim等編制了“學(xué)習(xí)策略問卷”，將學(xué)習(xí)策略分為淺表策略、深加工策略和元認(rèn)知策略三個(gè)維度;Pintrich等編制的“學(xué)習(xí)策略量表”由認(rèn)知策略、元認(rèn)知策略和資源管理策略三個(gè)分量表組成;周國韜等編制了“中學(xué)生學(xué)習(xí)策略量表”，將學(xué)習(xí)策略分為認(rèn)知策略和認(rèn)知調(diào)控策略兩個(gè)維度。

學(xué)習(xí)策略與學(xué)業(yè)成就的相關(guān)性研究，方法相對較為簡單，即測量被試的學(xué)習(xí)策略并收集被試的學(xué)業(yè)成就，然后計(jì)算兩者的相關(guān)系數(shù)，或?qū)蓚€(gè)變量做回歸分析，從而判斷兩者的相關(guān)性。張林等分別從初中、高中兩個(gè)階段隨機(jī)選取學(xué)生，利用“中學(xué)生學(xué)習(xí)策略量表”進(jìn)行測試，并采用協(xié)方差結(jié)構(gòu)模型考察學(xué)習(xí)策略運(yùn)用、學(xué)習(xí)效能感、學(xué)習(xí)堅(jiān)持性與學(xué)業(yè)成就之間的關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)策略運(yùn)用與學(xué)業(yè)成就之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系，且學(xué)習(xí)策略運(yùn)用直接影響學(xué)生的學(xué)業(yè)成就。谷生華等通過問卷測量初一、初二學(xué)生的學(xué)習(xí)策略，并收集他們的數(shù)學(xué)、語文期末考試成績加以分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)策略與考試成績之間存在非常顯著的正相關(guān)關(guān)系，學(xué)習(xí)歸因與學(xué)習(xí)策略之間存在非常顯著的相關(guān)關(guān)系，學(xué)習(xí)策略和年齡對學(xué)習(xí)成績的解釋率為21.8%。

學(xué)習(xí)策略對學(xué)業(yè)成就的影響研究，通常是將學(xué)習(xí)策略與其他因素聯(lián)系起來，共同作為自變量，研究它們的交互作用對學(xué)業(yè)成就的影響。王振宏等研究發(fā)現(xiàn)，高中生的動機(jī)因素、學(xué)習(xí)策略與學(xué)業(yè)成就之間存在因果關(guān)系，其中，學(xué)習(xí)策略對學(xué)業(yè)成就有顯著的回歸效應(yīng)，并直接影響學(xué)業(yè)成就;內(nèi)在動機(jī)通過直接影響學(xué)習(xí)策略而間接影響學(xué)業(yè)成就。張亞玲等選取不同學(xué)校類型和不同性別的學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，探究中學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)與學(xué)習(xí)策略之間的關(guān)系。研究結(jié)果表明，中學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)與學(xué)習(xí)策略的發(fā)展具有相似的模式，并且學(xué)習(xí)動機(jī)與學(xué)習(xí)策略有顯著的正相關(guān)關(guān)系。一般來說，成就動機(jī)和學(xué)習(xí)策略是相互促進(jìn)的：成就動機(jī)高者會相應(yīng)調(diào)整自己的學(xué)習(xí)策略，采用比較積極的策略形式，即具有較高的策略水平;學(xué)習(xí)策略運(yùn)用水平越高， 反過來會增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心， 進(jìn)而提高成就動機(jī)水平。

當(dāng)學(xué)習(xí)策略應(yīng)用于某一學(xué)科或內(nèi)容時(shí)，就存在解決具體問題的策略，可稱為具體策略。周國韜等探討了初中生在方程學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)能力感（分為數(shù)學(xué)能力感和方程能力感）、一般學(xué)習(xí)策略（分為計(jì)劃性、努力和認(rèn)知三類）、具體學(xué)習(xí)策略（分為適宜性策略和多樣性策略）與學(xué)業(yè)成就之間的關(guān)系。他們利用量表測試初二學(xué)生的一般學(xué)習(xí)策略和關(guān)于方程的具體學(xué)習(xí)策略，研究發(fā)現(xiàn)：方程成績“學(xué)優(yōu)生”和“學(xué)困生”在學(xué)習(xí)能力感和學(xué)習(xí)策略上存在顯著的差異，兩類具體學(xué)習(xí)策略和兩類學(xué)習(xí)能力感對方程成績都有顯著的影響。

（二）中學(xué)生學(xué)習(xí)策略的使用特點(diǎn)和發(fā)展規(guī)律

張向葵等運(yùn)用自編的“中學(xué)生學(xué)習(xí)策略量表”，測試中學(xué)生學(xué)習(xí)策略的應(yīng)用特點(diǎn)和發(fā)展規(guī)律。量表分為兩個(gè)維度：認(rèn)知策略和調(diào)控策略。認(rèn)知策略分為四個(gè)維度：選擇注意策略（按照輕重程度分辨學(xué)習(xí)內(nèi)容主次），表層加工策略（對新知識進(jìn)行一般性復(fù)述、加工），深層加工策略（將學(xué)過的知識進(jìn)行組織、歸納、整理和系統(tǒng)化），檢索應(yīng)用策略（正確提取和靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決新問題）。調(diào)控策略也分為四個(gè)維度：自我計(jì)劃策略（自己安排和籌劃學(xué)習(xí)活動的內(nèi)容順序），監(jiān)督檢查策略（有意識地監(jiān)督和檢查自己學(xué)習(xí)計(jì)劃的執(zhí)行情況），反饋調(diào)節(jié)策略（根據(jù)獲得的反饋信息和結(jié)果及時(shí)調(diào)整和采取補(bǔ)救措施），自我總結(jié)策略（學(xué)習(xí)活動告一段落時(shí)自己能定期回顧和總結(jié)學(xué)習(xí)中的得失）。研究結(jié)果表明，中學(xué)生在學(xué)習(xí)策略的使用上有隨年級增長而下降的趨勢;女生在調(diào)控策略的使用上顯著多于男生，男生在認(rèn)知策略的使用多于女生;初二和高二學(xué)習(xí)成績“學(xué)優(yōu)生”和“學(xué)困生”在學(xué)習(xí)策略各維度的使用上都有顯著的差異。

Zimmerman等也發(fā)現(xiàn)，“學(xué)優(yōu)生”比普通學(xué)生會更頻繁地使用某些學(xué)習(xí)策略，如組織和轉(zhuǎn)換、自我獎懲、尋求幫助以及復(fù)習(xí)記錄;學(xué)習(xí)策略的運(yùn)用次數(shù)從小學(xué)到初中逐年增長，而從初中到高中則逐年降低。

自我監(jiān)控學(xué)習(xí)策略是指對所從事的學(xué)習(xí)活動進(jìn)行自我調(diào)節(jié)與控制的策略，是元認(rèn)知策略的重要組成部分。董奇等測量從小學(xué)到高中學(xué)生的自我監(jiān)控學(xué)習(xí)策略，發(fā)現(xiàn)：隨著年齡和年級的增長，自我監(jiān)控學(xué)習(xí)策略在學(xué)生學(xué)習(xí)活動中的可能影響開始顯著地表現(xiàn)出來;學(xué)生自我監(jiān)控學(xué)習(xí)各方面的策略不斷發(fā)展和提高，在小學(xué)四年級至初中一年級期間發(fā)展較慢、提高較小，在初中一年級至高中一年級期間發(fā)展較快、提高較大。

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)用題解決占有很大的比重，學(xué)會正確地理解應(yīng)用題的問題表征尤為重要。陳英和等認(rèn)為，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的心理表征存在直接轉(zhuǎn)換和問題模型兩種策略。直接轉(zhuǎn)換策略是首先從題目中選取數(shù)字，然后對數(shù)字進(jìn)行加工，其中強(qiáng)調(diào)量的推理，即計(jì)算過程;問題模型策略是首先試圖理解問題情境，然后根據(jù)問題情境表征制訂解題計(jì)劃，其中強(qiáng)調(diào)質(zhì)的推理，即理解問題中條件之間的關(guān)系。這說明建立不同心理表征的學(xué)生所采取的問題表征策略是不同的。馮虹等采用三因素混合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，選取長時(shí)和短時(shí)兩種呈現(xiàn)方式，分別對從小學(xué)到大學(xué)4個(gè)年級（五年級、初二、高二和大二）的“學(xué)優(yōu)生”和“學(xué)困生”解比較應(yīng)用題過程中的各種指標(biāo)進(jìn)行分析。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解比較應(yīng)用題時(shí)的問題表征策略存在顯著的年級差異：初二之前，學(xué)生較多使用直譯策略;初二以后，學(xué)生更多采用數(shù)學(xué)模型策略，并且隨著年級的升高和掌握的概念性知識的增多， 數(shù)學(xué)模型策略的運(yùn)用越來越成熟。此外，數(shù)學(xué)“學(xué)優(yōu)生”和“學(xué)困生”存在不同的問題表征策略。而題目呈現(xiàn)方式對學(xué)生的問題表征策略也有顯著影響：短時(shí)呈現(xiàn)條件下， 學(xué)生多采用直譯策略;長時(shí)呈現(xiàn)條件下， 學(xué)生多采用數(shù)學(xué)模型策略。

（三）中學(xué)生學(xué)習(xí)策略的訓(xùn)練干預(yù)

既然學(xué)習(xí)策略對學(xué)習(xí)效果有重要影響，就要探討如何形成有效的學(xué)習(xí)策略。雖然中學(xué)生可能會自覺使用并發(fā)展學(xué)習(xí)策略，但是，通過教師的干預(yù)，進(jìn)行專門的學(xué)習(xí)策略訓(xùn)練，他們就能夠更好地掌握學(xué)習(xí)策略。

方平等對初二學(xué)生開展了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)研究。他們結(jié)合初二幾何、代數(shù)教材自編了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略訓(xùn)練教材，內(nèi)容包括以簡馭繁、進(jìn)退互用、數(shù)形遷移、化生為熟、正難則反、倒順互通、動靜轉(zhuǎn)換、分合相輔、引參求變、以美啟真等，主要是解決問題的策略。教學(xué)時(shí)先講解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的普遍策略，然后結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問題講解有關(guān)的特殊策略，最后讓學(xué)生對所學(xué)策略進(jìn)行討論;同時(shí)采用出聲思維、教學(xué)滲透等方法促進(jìn)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)策略。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，教師隨堂滲透的講授方法以及出聲思維與教師指導(dǎo)相結(jié)合的訓(xùn)練方式，使得學(xué)生掌握學(xué)習(xí)策略的效果很顯著。

劉敏嵐對高二學(xué)生開展了數(shù)學(xué)日記訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)研究。她要求實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生寫數(shù)學(xué)日記，內(nèi)容包括：（1）對課堂上講授的數(shù)學(xué)概念、計(jì)算方法以及推理程序的了解和運(yùn)用情況;（2）對數(shù)學(xué)教學(xué)過程與方式的評價(jià)與建議;（3）自由發(fā)表意見，可以包括自身的成就、期望以及生活或?qū)W習(xí)中存在的問題等;（4）感悟和反思，可以包括對數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)人物的感悟，對數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識的感想，對數(shù)學(xué)實(shí)踐的反思等。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)日記的運(yùn)用能夠顯著增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能感，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績;特別是對數(shù)學(xué)成績較差的學(xué)生而言，成績的提高更具顯著性。

反思性學(xué)習(xí)是指對自身學(xué)習(xí)活動的過程，以及活動過程中涉及的事物、材料、信息、思維、結(jié)果等的學(xué)習(xí)特征的反向思考。反思性學(xué)習(xí)不僅僅是對學(xué)習(xí)活動一般性的回顧或重復(fù)，而是深究學(xué)習(xí)活動中涉及的知識、方法、思路、策略等，因此，反思性學(xué)習(xí)是一種有效的學(xué)習(xí)策略。張定強(qiáng)等開展了對高中生反思能力培養(yǎng)的實(shí)驗(yàn)研究。他們采用激疑、示范、訓(xùn)練、評價(jià)四環(huán)節(jié)教學(xué)模式，使用作業(yè)錯誤歸類分析、過電影式復(fù)習(xí)、寫反思日記、用波利亞“怎樣解題表”中的提示語指導(dǎo)解題及解后反思等具體策略，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生反思能力的培養(yǎng)做了實(shí)踐探索。結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的反思能力得到了顯著提高。

元認(rèn)知策略作為一種學(xué)習(xí)策略，一般指用以計(jì)劃、管理、監(jiān)控、評估學(xué)習(xí)的策略。因此，要提高學(xué)生自我監(jiān)控和計(jì)劃的能力，元認(rèn)知策略的訓(xùn)練是很有必要的。張慶林等運(yùn)用自編的解決幾何問題思維訓(xùn)練教程，在4所中學(xué)各選取6個(gè)實(shí)驗(yàn)班和對照班，展開教學(xué)實(shí)驗(yàn)。解決幾何問題的思維策略包括：（1）在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，直覺判斷題目的類型，可以問自己，“這道題屬于哪一種類型”“它和過去解過的哪一種題目類似”。（2）充分利用已知條件進(jìn)行順向推理。（3）運(yùn)用逆向推理，使已知與未知取得聯(lián)系。（4）在雙向推理的基礎(chǔ)上作輔助線。（5）解題后反思，可以問自己，“這道題和過去學(xué)過的題目在什么地方不一樣”，這道題解題思路中的“不一般”之處就是關(guān)鍵所在，值得注意和記住，供以后在類似的情境中運(yùn)用。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，5個(gè)實(shí)驗(yàn)班解決幾何問題的成績與對照班的成績存在顯著差異。這說明訓(xùn)練效應(yīng)是顯著的。

唐衛(wèi)海等利用自編的平面幾何學(xué)習(xí)策略訓(xùn)練教程和“元認(rèn)知訓(xùn)練單”，在初中二年級隨機(jī)選取兩個(gè)班，對一個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行5課時(shí)學(xué)習(xí)策略和11課時(shí)元認(rèn)知的訓(xùn)練，對另一個(gè)班的學(xué)生按傳統(tǒng)方式教學(xué)，之后對被試進(jìn)行平面幾何內(nèi)容的后測。他們使用的學(xué)習(xí)策略與上文介紹的張慶林等使用的學(xué)習(xí)策略相同，不同的是，用5節(jié)課講完5種策略之后，第6節(jié)課開始進(jìn)行元認(rèn)知訓(xùn)練：為每位學(xué)生提供一張“平面幾何元認(rèn)知訓(xùn)練單”，結(jié)合前面課時(shí)中的兩道例題講解訓(xùn)練單的用法，并讓學(xué)生自己嘗試解決兩道習(xí)題。具體用法是，在解題時(shí)分四個(gè)階段自問。（1）在審題階段自問：這個(gè)問題是哪方面的問題？它要求我干什么？它涉及哪方面的知識？題目中的信息哪些是有用的、關(guān)鍵的？（2）在擬訂解題方法或策略階段自問：能否用老辦法解決這個(gè)問題？能否從已知條件中推出新條件？使用所有的條件了嗎？能否確立一個(gè)容易達(dá)到的中間目標(biāo)？從結(jié)果反推回去又怎樣？還有其他的辦法嗎？如果……將會……。（3）在實(shí)際解題階段自問：能按擬訂的解題方法或策略接近目標(biāo)嗎？每一步都是對的嗎？有必要修改或重新制訂方法和策略嗎？（4）在回顧階段自問：能否檢驗(yàn)結(jié)果的正確性？有無矛盾之處？擬訂的方法或策略哪些起了作用，哪些沒起作用？這道題有何奧妙之處？有沒有更好的方法？能將這個(gè)結(jié)果或方法用于其他問題嗎？研究結(jié)果表明，這樣的訓(xùn)練對提高學(xué)生的幾何成績有效，對學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)、物理有遠(yuǎn)遷移作用;對學(xué)習(xí)成績中等、較差的學(xué)生效果顯著，對“學(xué)優(yōu)生”效果不顯著;對男、女生都有非常顯著的影響。

二、對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

（一）突出數(shù)學(xué)閱讀策略的教學(xué)

閱讀是自主獲取知識的一種學(xué)習(xí)過程，它不僅僅是讀的過程，還是動口、動手、動腦有機(jī)結(jié)合、統(tǒng)一協(xié)調(diào)的過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)閱讀。數(shù)學(xué)閱讀是指對數(shù)學(xué)材料的閱讀，一般包括對數(shù)學(xué)教材的閱讀、對數(shù)學(xué)教輔資料的閱讀、對數(shù)學(xué)科普文獻(xiàn)的閱讀，還包括在問題解決中對題目的閱讀。教師應(yīng)當(dāng)有意識地將數(shù)學(xué)閱讀活動融入數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，并采用專門的方式對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀訓(xùn)練：在課內(nèi)，要引導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材，理解數(shù)學(xué)知識和方法;在課外，要引導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)科普讀物，通過數(shù)學(xué)史與傳、數(shù)學(xué)美與趣、數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用等文獻(xiàn)的閱讀，提升數(shù)學(xué)文化素養(yǎng);在解題訓(xùn)練中，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，掌握必要的審題技巧，發(fā)展問題表征水平。

數(shù)學(xué)閱讀策略的教學(xué)，可以采用以下幾種方式：（1）問題導(dǎo)向閱讀。教師可以在閱讀材料中適當(dāng)?shù)牡胤郊尤雴栴}，引導(dǎo)學(xué)生每讀一段就思考并討論。教師還可要求學(xué)生一邊閱讀，一邊自我提問——這也是訓(xùn)練學(xué)生自我監(jiān)控意識和能力的有效手段。對于閱讀中思考和討論的問題，教師可以設(shè)置輔助性提問：你對這個(gè)問題是怎么思考的？你在考慮這個(gè)問題時(shí)想到了什么？你的想法很好，你怎么會想到用這個(gè)方法的？這個(gè)知識與以前我們學(xué)習(xí)過的哪些知識有聯(lián)系？你知道你錯誤的原因嗎？你能不能換一個(gè)角度思考這個(gè)問題？……（2）提綱引領(lǐng)閱讀。教師可以根據(jù)閱讀的內(nèi)容以及提出的問題列出閱讀提綱，讓學(xué)生按提綱閱讀，同時(shí)體會閱讀提綱的編寫方法，從而使學(xué)生在閱讀前了解讀什么、怎么讀，在閱讀時(shí)具有更強(qiáng)的目的性。（3）拓展反思閱讀。學(xué)生閱讀后，教師可以根據(jù)閱讀中反饋的信息，適當(dāng)采用問題導(dǎo)向策略，即自己提問或激發(fā)學(xué)生提問，以引領(lǐng)學(xué)生拓展反思。（4）補(bǔ)全信息閱讀。教師可以提供一些信息不全的閱讀材料，如問題的條件缺失、沒有結(jié)論等，讓學(xué)生在閱讀過程中通過思考把信息補(bǔ)全。

此外，要強(qiáng)調(diào)的是，無論閱讀教材、閱讀科普讀物，還是讀題，都可以培養(yǎng)學(xué)生寫數(shù)學(xué)日記的意識和習(xí)慣。寫數(shù)學(xué)日記與數(shù)學(xué)閱讀相輔相成，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解更加深刻，提升數(shù)學(xué)閱讀水平。

（二）加強(qiáng)反思性學(xué)習(xí)策略的教學(xué)

涂榮豹教授提出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以從以下7個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生反思：反思自己的思考過程，反思學(xué)習(xí)活動涉及的知識，反思學(xué)習(xí)活動涉及的思想方法，反思學(xué)習(xí)活動中有聯(lián)系的問題，反思理解題意的過程，反思解題的思路、推理的過程、運(yùn)算的過程、語言的表述，反思學(xué)習(xí)活動的結(jié)果。由此，引導(dǎo)學(xué)生掌握必要的反思性策略。

例如，反思解題活動的結(jié)果時(shí)，可以不斷引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：問題解決的過程是否正確？是否還有更好的解答方法？這個(gè)問題可以變式嗎？這個(gè)問題可以推廣嗎？……由此，培養(yǎng)學(xué)生反思解題活動結(jié)果的意識和習(xí)慣，即從有意識的控制反思過渡到無意識的自動反思。

例1如圖1，已知圓柱的底面周長是8 m，高AB是6 m，要從A處開始繞圓柱一周建造梯子，正好到達(dá)A點(diǎn)正上方的B處，問：梯子最短多長？

變式1如圖2，在長、寬、高分別為4 cm、3 cm、2 cm的實(shí)心長方體上，一只小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點(diǎn)B處，問：怎樣走路線最短？

變式2如圖3，主視圖是等邊三角形的圓錐，底面半徑是4 cm，若B點(diǎn)處有一小蟲沿圓錐表面爬行，那么它要想吃到母線AC中點(diǎn)P處的食物，需要爬行的最短路程是多少？

學(xué)生解答例1后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)問題可以變式嗎？由此，從圖形變化的角度考慮，得到變式1和變式2。學(xué)生解決這組問題之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出解決立體圖形中最短距離問題的一般方法。

反思的本質(zhì)是自我監(jiān)控，屬于元認(rèn)知范疇。許多研究表明，使用“元認(rèn)知訓(xùn)練單”是一種有效的學(xué)習(xí)策略?！霸J(rèn)知訓(xùn)練單”大多是在波利亞“怎樣解題表”的基礎(chǔ)上修改完善的，通常將解題過程分為審題、擬訂解題方案、實(shí)際解題和回顧四個(gè)階段，并提出相應(yīng)的問題引導(dǎo)學(xué)生的解題思考。在教學(xué)中，可以由教師引導(dǎo)學(xué)生使用“元認(rèn)知訓(xùn)練單”，逐步過渡到學(xué)生自己使用“元認(rèn)知訓(xùn)練單”。

例2如圖4，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長，交DC的延長線于點(diǎn)F。

（1）求證：AB=CF;

（2）當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFC是矩形？請說明理由。

教師引導(dǎo)學(xué)生使用“元認(rèn)知訓(xùn)練單”解決此題：

在審題階段自問：（1）這道題涉及你學(xué)過的哪些知識？（涉及平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形的判定，可能涉及三角形的全等……）（2）這道題要求你干什么？（證明AB=CF，判斷BC與AF的數(shù)量關(guān)系）（3）證明線段相等時(shí)通常使用什么方法？（三角形全等的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)……）（4）這道題的已知條件是什么，未知（要證）結(jié)論是什么？（已知平行四邊形ABCD和BC的中點(diǎn)E，要證AB=CF）（5）題中有哪些基本圖形或添輔助線后能出現(xiàn)哪些基本圖形？（有平行四邊形ABCD、四邊形ABFC，還有很多三角形;感覺暫時(shí)不需要添輔助線。）

在擬訂解題方案階段自問：（1）從已知條件可以推出什么？（從平行四邊形ABCD可以得到AB∥CD，AB=CD，也就是AB∥CF，就可以得出∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠CFE）（2）這樣可以證明三角形全等嗎？（不行，還要有一條邊相等）（3）還有什么條件沒用上？（中點(diǎn)……邊相等，這樣“兩個(gè)角，一條邊”就可以證明△ABE和△FCE全等了）（4）還有其他解題方法嗎？（暫時(shí)沒想到更好的方法）

在實(shí)際解題階段自問：（1）能按擬訂的解題方法或策略接近目標(biāo)嗎？（能，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了三角形全等，利用三角形全等的性質(zhì)就可以得到結(jié)果）（2）每一步都能證明是正確的嗎？（能，由已知條件和平行四邊形的性質(zhì)推導(dǎo)出角和邊相等，再利用三角形全等得到最終結(jié)果）

在回顧階段自問：（1）下次解題有什么地方要特別注意嗎？（審題不仔細(xì)，差點(diǎn)把中點(diǎn)的條件漏掉，以后要注意充分利用已知條件）（2）可以將這個(gè)方法用于解決其他問題嗎？（以后再出現(xiàn)證明邊或角相等的問題時(shí)就可以用這個(gè)方法）

（三）注重通性通法的教學(xué)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，因此，討論數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略繞不開解題策略，即我們常說的解題思想方法?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在“學(xué)業(yè)水平考試與高考命題建議”中強(qiáng)調(diào)：“考查內(nèi)容應(yīng)……注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧?！憋@然，這是較以往過于注重解題技巧訓(xùn)練的一種突破。所謂通性通法，是指具有一定普遍意義的方法，可用于解決一類問題而不是一個(gè)問題的方法。從方法論層面看，通性通法傾向于思想層面而不是具體的方法層面，諸如抽象、歸納、類比、化歸等方法均屬于通性通法。這些方法不僅可用于解決問題，也可用于發(fā)現(xiàn)問題，這是它們與具體解決某個(gè)問題的方法技巧的本質(zhì)不同之處。例如，化歸是解決問題的基本方法，解決任何問題都是不斷化歸的過程，化復(fù)雜為簡單、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，最后實(shí)現(xiàn)目標(biāo);化歸又是發(fā)現(xiàn)新概念、新理論的重要思想，解析幾何的創(chuàng)立就是化歸的一個(gè)經(jīng)典案例，將數(shù)對（a，b）與平面上的點(diǎn)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，于是就構(gòu)建了數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化的橋梁。因此，在新知教學(xué)和解題教學(xué)中，都應(yīng)當(dāng)注重通性通法的訓(xùn)練。

例如，教學(xué)等比數(shù)列的知識時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列的有關(guān)知識進(jìn)行探究，從而體會類比這一通性通法，同時(shí)把握等比數(shù)列與等差數(shù)列的區(qū)別。具體包括：（1）概念的類比。由等差數(shù)列的概念“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”，類比得到等比數(shù)列的概念“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)”——當(dāng)然還可以得到“等和數(shù)列”“等積數(shù)列”的概念，但是會發(fā)現(xiàn)它們的研究價(jià)值不大。（2）中項(xiàng)性質(zhì)的類比。由等差中項(xiàng)的性質(zhì)“三個(gè)數(shù)a、A、b成等差數(shù)列A=a+b2=12（a+b）”，類比得到等比中項(xiàng)的性質(zhì)“三個(gè)數(shù)a、G、b成等比數(shù)列G=±ab=±（ab）12”。（3）通項(xiàng)公式的類比。由推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的累加法“an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=a1+（n-1）d”，類比得到推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的累乘法“an=anan-1·an-1an-2·…·a2a1·a1=a1qn-1”。

例3（1）設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，求證：（b-2a+c）2≥3（a-2b+c）（a-c）。

（2）求n∈N，使28+211+2n為完全平方數(shù)。

（3）在△ABC中，求證：cos2A+cos2B+cos2C+2cos Acos Bcos C=1。

把這三道看似不相關(guān)的題目放在一起，可凸顯方程思想這一通性通法的解題運(yùn)用。對于第（1）題，觀察要證明的結(jié)論，可發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)有點(diǎn)像一元二次方程判別式，于是嘗試構(gòu)造方程（a-2b+c）x2-2（b-2a+c）x+3（a-c）=0：當(dāng)a-2b+c≠0時(shí)，這是一個(gè)一元二次方程，易見x=-1是它的一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以判別式Δ≥0，所以結(jié)論成立;當(dāng)a-2b+c=0時(shí)，顯然結(jié)論成立。對于第（2）題，要使28+211+2n為完全平方數(shù)，可聯(lián)想解一元二次方程的配方法，設(shè)24=x，將原式變?yōu)閤2+27x+2n，再配方為（x+26）2+2n-（26）2，于是有Δ=2-（26）2=0，得n=12。對于第（3）題，可將cos A看作主元（未知數(shù)），構(gòu)造方程x2+2xcos Bcos C+cos2B+cos2C-1=0，則判別式Δ=4cos2Bcos2C-4（cos2B+cos2C-1）=4（1-cos2B）（1-cos2C）=4sin2Bsin2C，故根x=-cos Bcos C±sin Bsin C=-cos（B±C）。顯然，在△ABC中， 有cos A=-cos（B+C），故原式成立。

*本文系喻平教授團(tuán)隊(duì)的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”（中學(xué)）系列文章之十一。

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