“全稱量詞與存在量詞”大主題教學研究

【編者按】承接2020年第8期，我們繼續(xù)刊登任念兵老師的“高中數(shù)學中觀教學設(shè)計研究”系列文章。這又是一篇關(guān)于“整合型單元”教學的文章，繼續(xù)凸顯、落實《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》強調(diào)數(shù)學知識整體性、聯(lián)系性的理念。

摘要：“全稱量詞與存在量詞”直接影響著高中數(shù)學眾多核心內(nèi)容的表達和理解。從理解數(shù)學、理解學生、理解教學三個層面研究“全稱量詞與存在量詞”的大主題教學。重點梳理函數(shù)知識與題目中的全稱量詞與存在量詞。從命題的論域、命題的否定和二元命題中全稱量詞與存在量詞出現(xiàn)的次序三個方面分析學生學習的具體困難。重點聚焦“用全稱量詞與存在量詞表述的不等式或等式恒成立與能成立問題”這一常見題型，按照“一個一元函數(shù)—兩個一元函數(shù)—一個多元函數(shù)”的脈絡由易到難設(shè)計問題串，給出相應的教學建議。

關(guān)鍵詞：大主題教學;全稱量詞;存在量詞

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“2017年版課標”）在“課程內(nèi)容”中指出：“常用邏輯用語是數(shù)學語言的重要組成部分，是數(shù)學表達和交流的工具，是邏輯思維的基本語言。本單元的學習，可以幫助學生使用常用邏輯用語表達數(shù)學對象、進行數(shù)學推理，體會常用邏輯用語在表述數(shù)學內(nèi)容和論證數(shù)學結(jié)論中的作用，提高交流的嚴謹性與準確性。”

據(jù)此，各版本高中數(shù)學新教材（因為目前基于實驗版課標和基于2017年版課標編寫的教材都在相應年級使用，所以這里稱基于2017年版課標編寫的教材為新教材）都安排了有關(guān)常用邏輯用語的單元（比如，人教A版高中數(shù)學新教材必修第一冊第一章是《集合與常用邏輯用語》，蘇教版高中數(shù)學新教材必修第一冊第二章是《常用邏輯用語》），引導學生集中學習有關(guān)常用邏輯用語的知識。

但是，作為數(shù)學語言的重要組成部分，常用邏輯用語幾乎貫穿于高中數(shù)學的所有核心內(nèi)容中。考慮到2017年版課標強調(diào)數(shù)學知識的整體性、聯(lián)系性，倡導大主題（大單元）教學，即按照某種線索（可以是核心概念或結(jié)論、重要思想或方法、基本問題等）重構(gòu)教學內(nèi)容展開教學，我們可以常用邏輯用語為線索組織有關(guān)內(nèi)容來展開大主題教學。

高中數(shù)學常用邏輯用語的內(nèi)容，主要包括“充分條件與必要條件”和“全稱量詞與存在量詞”兩個部分。全稱量詞（常見的有“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”等）和存在量詞（常見的有“有些”“有一個”“有的”等）不僅更直接地影響著高中數(shù)學眾多核心內(nèi)容的表達和理解，而且對后續(xù)大學數(shù)學的學習也有著深遠的影響（有大學教師撰文指出，大一新生在學習數(shù)學分析時，對“確界”“極限”等概念的理解水平往往是由對“任意”“存在”這兩個關(guān)鍵詞的理解程度決定的，邏輯詞的重疊使用是導致這些數(shù)學概念成為學習難點的重要原因）。因此，本文主要從理解數(shù)學、理解學生、理解教學三個層面研究“全稱量詞與存在量詞”的大主題教學。

一、理解數(shù)學：全稱量詞與存在量詞的有關(guān)內(nèi)容

在“曲線與方程”中刻畫曲線上的點與方程的解的對應關(guān)系、在“直線與平面”中證明線面垂直的判定定理等，都需要借助包括全稱量詞與存在量詞在內(nèi)的數(shù)學語言系統(tǒng)。其中，“函數(shù)”是最能體現(xiàn)全稱量詞與存在量詞理解難點所在的內(nèi)容。下面，重點梳理函數(shù)內(nèi)容中的全稱量詞與存在量詞。

（一）知識中的全稱量詞與存在量詞

函數(shù)內(nèi)容中眾多概念、性質(zhì)、定理等的嚴格表述離不開全稱量詞與存在量詞。

如函數(shù)概念（其中，加點詞語為全稱量詞，畫波浪線詞語為存在量詞，下同）：

設(shè)A、B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。

當然，全稱量詞與存在量詞的理解不可能一步到位，除了專門設(shè)計相應的大主題教學之外，也應在日常教學中不斷滲透和累積。

*本文系上海市第四期雙名工程攻關(guān)課題“數(shù)字環(huán)境下數(shù)學教學變革與研究”（編號：SMGC201904B94）、上海市浦東新區(qū)2018年教育科學研究項目重點課題“基于高中數(shù)學核心素養(yǎng)的中觀教學設(shè)計與實踐研究”（編號：A201806）的階段性研究成果。

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