兩種非常見簡(jiǎn)諧振動(dòng)的分析

李景琴

摘 要：本文主要分析了兩種非常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，包括超導(dǎo)線圈在磁場(chǎng)中的振動(dòng)、空氣團(tuán)在溫度變化時(shí)的振動(dòng)等。

關(guān)鍵詞：平衡位置、回復(fù)力、振幅、周期

中圖分類號(hào)：O321? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2021）10-0005-02

1 引言

做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體，若以平衡位置為原點(diǎn)，用x表示質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的位移，則回復(fù)力為f=-kx，其中k是一個(gè)正的常數(shù)。

2 超導(dǎo)圓環(huán)線圈在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

處于超導(dǎo)態(tài)、半徑為r₀、質(zhì)量為m、自感為L(zhǎng)的超導(dǎo)細(xì)圓環(huán)處在豎直放置的柱形磁棒上方，其對(duì)稱軸與磁棒的對(duì)稱軸重合。圓環(huán)附近的磁場(chǎng)具有柱對(duì)稱性。磁感應(yīng)強(qiáng)度B可用一個(gè)豎直分量B_z=B₀（1-2αz）和一個(gè)徑向分量Br=B0？琢r近似的描述。這里B₀、α為大于0的常數(shù)，z、r分別為豎直和徑向位置坐標(biāo)，在t=0時(shí)刻，環(huán)心坐標(biāo)為z=0、r=0，環(huán)上電流為I₀（規(guī)定圓環(huán)中電流的正方向與z軸正向滿足右手規(guī)則），此時(shí)把圓環(huán)釋放，圓環(huán)開始向下運(yùn)動(dòng)，其對(duì)稱軸仍然保持豎直。下面討論超導(dǎo)圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

設(shè)某時(shí)刻t，環(huán)上的電流為I，位置坐標(biāo)為z，由于為超導(dǎo)環(huán)，不存在電阻，故環(huán)上總電動(dòng)勢(shì)為0，穿過超導(dǎo)細(xì)圓環(huán)的磁通量保持不變。則有：

從以上分析可以看出，將一個(gè)超導(dǎo)線圈放在圓柱形磁棒上方，圓環(huán)將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)^[3]。

3 空氣團(tuán)的運(yùn)動(dòng)

靜止的大氣中不同高度處氣體的溫度、密度都是不同的。對(duì)于干燥的靜止的空氣，大氣的溫度T_E隨高度的增大而降低，已知其變化率可表示為：

現(xiàn)分析大氣層中的一微小空氣團(tuán)，當(dāng)該氣團(tuán)發(fā)生向上的小位移的過程中，其體積要膨脹，溫度變化。微氣團(tuán)內(nèi)氣體壓強(qiáng)可認(rèn)為與周圍大氣的壓強(qiáng)相等，且與周圍大氣未來得及發(fā)生熱交換，該過程視為絕熱過程。已知空氣的摩爾質(zhì)量μ=0.029kg，重力加速度g=9.8m/s²，z=0處大氣溫度T₀=300k，空氣比熱容比為γ=1.4，下面在上述條件下定量討論微氣團(tuán)以后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律^[4]。

設(shè)氣團(tuán)在z=0處的體積量為m。則在坐標(biāo)z處時(shí)氣團(tuán)的加速度為：

對(duì)該氣團(tuán)由于可理解為理想氣體，根據(jù)克拉伯龍方程有：

通過以上兩例分析可以看出，除了比較有代表性的簡(jiǎn)諧振動(dòng)外，還存在一些不太常見的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其分析方法都是一樣的，但其分析過程更為復(fù)雜一些。

參考文獻(xiàn)：

〔1〕東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，201-202.

〔2〕張三慧.大學(xué)物理學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社， 190-192.

〔3〕梁燦彬，梁竹健.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，126-127.

〔4〕嚴(yán)軍.國際國內(nèi)物理奧林匹克競(jìng)賽優(yōu)化解題題典[M].長(zhǎng)春：吉林教育出版社，246-247.