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    用等效的思想求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期

    2016-12-19 22:03:00陳剛王金聚
    物理教學(xué)探討 2016年11期
    關(guān)鍵詞:周期單擺

    陳剛 王金聚

    摘 要:一些振動(dòng)裝置看上去雖非單擺、彈簧振子,但通過(guò)與單擺、彈簧振子模型作比較,卻可以找出與模型中的擺長(zhǎng)、重力加速度、振子質(zhì)量、勁度系數(shù)相等效的量,將這些量代入兩模型的周期公式,同樣可求出這些振動(dòng)裝置的振動(dòng)周期。

    關(guān)鍵詞:?jiǎn)螖[;彈簧振子;振動(dòng)裝置;等效量;周期

    中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1003-6148(2016)11-0051-3

    單擺、彈簧振子是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)常見的理想模型,其振動(dòng)周期分別為T=2π 和T=2π 。但有時(shí)我們會(huì)遇到一些與單擺、彈簧振子模型相類似的振動(dòng)裝置,這些裝置的振動(dòng)周期雖然不能利用上述公式直接得出,但若將它們與單擺、彈簧振子模型作比較,卻可以找到與兩模型周期公式中某些量相對(duì)應(yīng)的等效參量,如等效重力加速度、等效擺長(zhǎng)、等效質(zhì)量、等效勁度系數(shù)等;利用這些等效量同樣可以求得這些裝置的振動(dòng)周期。

    1 等效重力加速度

    真空中單擺小球的受力最為簡(jiǎn)單:擺線拉力和重力。其受力特點(diǎn)是:重力是一個(gè)恒力。但有些擺動(dòng)的物體受力雖然較多,但除了擺線的拉力外,其余各力的合力仍為一個(gè)恒力,則這一恒力就相當(dāng)于一個(gè)等效的重力,可視為mg′,則g′就是一個(gè)等效的重力加速度,將其代入單擺的周期公式,就可以求得這類擺擺動(dòng)的周期。

    例1 如圖1所示,一質(zhì)量為m的擺球固定在邊長(zhǎng)為l0、質(zhì)量不計(jì)的等邊三角支架ABC的頂角A上。三角架可繞固定邊BC自由轉(zhuǎn)動(dòng),BC邊與豎直方向的夾角為α,求小球m做小幅度振動(dòng)的周期T。

    解析 如圖2所示,過(guò)A點(diǎn)作BC的垂線交BC于O點(diǎn)。擺球做微小振動(dòng)時(shí),其軌跡處在過(guò)A點(diǎn)、垂直于BC的平面內(nèi),且在以O(shè)為圓心、OA為半徑的一段圓弧上。將重力mg沿OA和垂直于OA的方向分解,則二分力大小分別為mgsinα、mgcosα。與單擺模型相比較,可把該裝置等效于一個(gè)懸點(diǎn)在O點(diǎn)、擺長(zhǎng)為OA的單擺,其等效重力沿OA方向,大小為mg=mgsinα。所以,等效重力加速度g=gsinα,等效擺長(zhǎng)l=l0sin60 °= l0,代入單擺周期公式得該小球的振動(dòng)周期為:

    T=2π =2π 。

    2 等效擺長(zhǎng)

    單擺的擺長(zhǎng)是懸點(diǎn)到擺球重心的距離。單擺的懸點(diǎn)只有一個(gè),但對(duì)雙線擺而言,卻有兩個(gè)懸點(diǎn),如果我們想比照單擺的規(guī)律尋找雙線擺的周期,則要在腦子里把雙線擺的雙線等效轉(zhuǎn)化成單線,即把本來(lái)是兩個(gè)懸點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)懸點(diǎn)的問(wèn)題。那么,轉(zhuǎn)化后的這 “一個(gè)懸點(diǎn)”在哪里呢?就需要我們依照單擺的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去尋找。

    例2 如圖3所示,由質(zhì)點(diǎn)小球和兩根細(xì)繩組成的擺,兩繩長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1、L2,且相互垂直,不等高的懸點(diǎn)O1、O2的水平距離為L(zhǎng),求該擺在垂直于紙面方向做微小振動(dòng)的周期。

    解析 如圖4所示,連接O1、O2,作 ⊥ ,垂足為M點(diǎn)。在球擺動(dòng)的過(guò)程中,△O1O2P以O(shè)1O2為軸轉(zhuǎn)動(dòng),P點(diǎn)的軌跡是以M點(diǎn)為圓心、MP為半徑的一段圓弧。

    實(shí)際上,在例1的解析中我們不僅借助了等效加速度,同時(shí)還借助了等效擺長(zhǎng)的概念。如果沿用例1中“雙等效”的思路,則圖4中的M點(diǎn)就是我們所要尋找的“一個(gè)懸點(diǎn)”,即可以把該擺看作是以MP為擺長(zhǎng)、gcosθ為等效重力加速度的一個(gè)單擺,設(shè)∠OPM=θ,則周期就可以通過(guò)公式T=2π 來(lái)計(jì)算了。

    如果我們僅利用等效擺長(zhǎng)的概念能否解決該題呢?答案是肯定的。

    從P點(diǎn)作一豎直線交O1O2連線于O點(diǎn),在原雙線擺擺動(dòng)的過(guò)程中,PO連線上只有O點(diǎn)未發(fā)生移動(dòng),根據(jù)單擺懸點(diǎn)的特點(diǎn),O點(diǎn)就是等效單擺的懸點(diǎn),即我們所要尋找的“一個(gè)懸點(diǎn)”。OP的長(zhǎng)度就是等效擺的擺長(zhǎng),設(shè) =l,則周期為T=2π =2π ,這與上述用“雙等效”的思路推出的結(jié)果完全一致。

    3 等效質(zhì)量

    一些含有彈簧的振動(dòng)裝置,與彈簧相連的可能不是一個(gè)簡(jiǎn)單的振動(dòng)小球,而是有幾個(gè)物體構(gòu)成的連接體。要想求得在此種情況下該裝置的振動(dòng)周期,就需要把這些連接體等效轉(zhuǎn)化成一個(gè)振動(dòng)小球來(lái)看待。如果連接體內(nèi)的物體處在加速狀態(tài),我們還要借助牛頓運(yùn)動(dòng)定律來(lái)計(jì)算振動(dòng)小球的等效質(zhì)量。

    例3 一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)如圖5所示,彈簧下端固定,滑輪質(zhì)量不計(jì),繩不可伸長(zhǎng),彈簧及兩滑輪外的細(xì)繩都呈豎直狀態(tài),不計(jì)一切摩擦。已知m1、m2的質(zhì)量及彈簧的勁度系數(shù)k,求m2上下振動(dòng)的周期T。

    解析 由于題中沒有給出m1、m2的量值大小關(guān)系,故系統(tǒng)平衡時(shí)彈簧是伸長(zhǎng)還是壓縮狀態(tài)我們無(wú)法確定。在不影響最終結(jié)果的前提下,我們不妨任意假設(shè)一種情況——設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)彈簧是伸長(zhǎng)的,其伸長(zhǎng)量為x0。則對(duì)m1有

    與牛頓第二定律比照可知:式中的m1+ 可視為m1、m2組合的等效質(zhì)量。將該等效質(zhì)量代入彈簧振子的周期公式T=2π ,即可求得該裝置的振動(dòng)周期T=2π 。

    4 等效勁度系數(shù)

    在光滑水平面上振動(dòng)的彈簧振子受力最為簡(jiǎn)單:所受合力就是彈簧的彈力,其大小滿足胡克定律F=kx,其中k是彈簧的勁度系數(shù),F(xiàn)與x方向相反。有些振動(dòng)裝置雖無(wú)彈簧,且看上去與彈簧振子模型相去甚遠(yuǎn),但我們?nèi)钥砂阉c彈簧振子模型相類比,找出振子所受回復(fù)力與位移的大小關(guān)系式F=F(x)。如果回復(fù)力與位移大小成正比,即F∝x,則我們就可以把比例系數(shù) =k等效看作是某一彈簧的勁度系數(shù),將k值代入T=2π 同樣可求得這些裝置的振動(dòng)周期。

    例4 如圖6所示,一質(zhì)量為m的柱體圓木,直立于密度為ρ的液體中,浸沒部分的體積為V0,圓木橫截面的直徑為D?,F(xiàn)用手緩緩將圓木下按后釋放,圓木就會(huì)上下振動(dòng)。水的阻力不計(jì),已知重力加速度為g,試求這一振動(dòng)的周期T。

    等效法在生活中有著廣泛的應(yīng)用,像曹沖稱象、阿基米德測(cè)量皇冠的體積等故事,都巧妙地利用等效的觀點(diǎn)解決了一些看似難以解決的問(wèn)題。但是,我們?cè)诶玫刃Хㄌ幚韱?wèn)題時(shí)務(wù)必要小心謹(jǐn)慎、三思而后行,切記利用等效法的前提是等效。不抓住等效這一先決條件,主觀臆斷,將本不等效的東西生拉硬扯地作“等效處理”,就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。

    參考文獻(xiàn):

    [1]陳棟梁,陳鋼.“面擺”的等效擺長(zhǎng)[J].物理教學(xué),2014(12)51—52.

    [2]扈劍華.首輔一號(hào)[M].北京:光明日?qǐng)?bào)出版社,2004.

    (欄目編輯 陳 潔)

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