核心素養(yǎng)視角下對2021高考卷剖析

摘 要：本文主要從2021年高考卷試題入手剖析，從核心素養(yǎng)視角洞察其中出題目的，剖析高考題本質(zhì)原理，因此要注重素養(yǎng)導向、能力為重，夯實基礎(chǔ)，理解數(shù)學本質(zhì)，構(gòu)建完整的知識體系.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學抽象;邏輯推理;數(shù)學建模;數(shù)學運算;直觀想象;數(shù)據(jù)分析

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0070-04

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：何正文（1988-），男，廣東省茂名人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

2021新高考卷更注重考察學生核心素養(yǎng)的能力，落實立德樹人的總目標.本文對今年高考卷的試題進行分析，對試題考點和背景往往由于考察學生的良好數(shù)學思維而靈便方法，因此在對試卷進行分析后，筆者從數(shù)學抽象，邏輯推理，數(shù)學建模，數(shù)學運算，直觀想象，和數(shù)據(jù)分析六個方面進行了詳細剖析.

一、數(shù)學抽象

數(shù)學抽象是對具體問題進行抽象出數(shù)學數(shù)量與幾何圖形的問題，需要學生能夠?qū)㈩}目中的問題“翻譯”出數(shù)學中的數(shù)學問題.今年高考題注重傳統(tǒng)文化為背景，讓學生抽象出數(shù)學問題.

例1 （2021年新高考Ⅰ卷填空題第16題）某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為

;如果對折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

詳解 （1）對折4次可得到如下規(guī)格：54dm×12dm，52dm×6dm，5dm×3dm，10dm×32dm，20dm×34dm，共5種;

（2）由題意可得S1=2×120，S2=3×60，S3=4×30，S4=5×15，…，Sn=120n+12n-1，設(shè)S=120×220+120×321+120×422+…+120n+12n-1，則12S=120×221+120×322+…+120n2n-1+120n+12n，兩式作差得12S=240+

12012+122+…+12n-1-120n+12n=240+601-12n-11-12-120n+12n=360-1202n-1-120n+12n=360-120n+32n，因此，S=720-240n+32n=720-15n+32n-4.

故答案為：5;720-15n+32n-4.

分析 本題以我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景，讓考生體驗從剪紙藝術(shù)抽象出數(shù)列的數(shù)學問題，在第一問，學生可以按對折列舉一般操作可以計算出來;第二問必須深層次抽象出數(shù)列問題了.數(shù)列抽象問題應注意以下四點：

（1）對于等差、等比數(shù)列，利用公式法可直接求解;

（2）對于anbn結(jié)構(gòu)，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，用錯位相減法求和;

（3）對于an+bn結(jié)構(gòu)，利用分組求和法;

（4）對于1anan+1結(jié)構(gòu)，其中an是等差數(shù)列，公差為dd≠0，則1anan+1=1d1an-1an+1，利用裂項相消法求和.

例2 （2021年全國高考乙卷理科選擇題第9題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高.如圖1，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（）.

圖1

A. 表高×表距表目距的差+表高 B. 表高×表距表目距的差-表高

C. 表高×表距表目距的差+表距D. 表高×表距表目距的差-表距

詳解 如圖1所示，由平面相似可知，DEAB=EHAH，F(xiàn)GAB=CGAC，而DE=FG，所以DEAB=EHAH=CGAC=CG-EHAC-AH=CG-EHCH，而CH=CE-EH=CG-EH+EG，即AB=CG-EH+EGCG-EH×DE=EG×DECG-EH+DE=表高×表距表目距的差+表高.故選A.

分析 本題以魏晉時期我國數(shù)學家劉徽的著作《海島算經(jīng)》中的測量方法為背景，讓考生體驗從古籍問題抽象出幾何的數(shù)學問題，再回到古籍答案，利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出.

二、邏輯推理

數(shù)學邏輯推理能力考察學生清晰、有條理地表達自己的思考過程，對問題進行分析、歸納、推理.今年高考題重視在實際問題出發(fā)，引導學生推理，得到結(jié)論.發(fā)揮數(shù)學應用廣泛、聯(lián)系實際的學科特點.

例3 （2021年全國高考乙卷理科選擇題第6題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）.

A. 60種 B. 120種 C. 240種 D. 480種

詳解 根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有C25種選法;然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有C25×4！=240種不同的分配方案，故選C.

分析 本題以北京冬奧會志愿者的培訓為試題背景，考查邏輯推理能力和運算求解能力.考查排列組合的應用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.

例4 （2021年新高考1卷選擇題第8題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）.

A. 甲與丙相互獨立 B. 甲與丁相互獨立

C. 乙與丙相互獨立 D. 丙與丁相互獨立

詳解 P（甲）=16，P（乙）=16，P（丙）=536，P（?。?636=16， P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙），P（甲丁）=136=P（甲）P（?。?，P（乙丙）=136≠P（乙）P（丙），P（丙?。?0≠P（丁）P（丙），故選B.

分析 本題根據(jù)具體問題，從獨立事件概率關(guān)系逐一判斷，判斷事件A，B是否獨立，先計算對應概率，再判斷P（A）P（B）=P（AB）是否成立.

三、數(shù)學建模

數(shù)學知識可以以模型化的形式進行展示，模型化思維有利于知識系統(tǒng)化，當然數(shù)學本身就是一個模型，數(shù)學知識點就是數(shù)學建模的支點，因此建模思想是高考考察學生一個很重要的思想方法.

例5 （2021年新高考1卷選擇題第7題）若過點a，b可以作曲線y=ex的兩條切線，則（）.

A. eb

C. 0

詳解 在曲線y=ex上任取一點Pt，et，對函數(shù)y=ex求導得y′=ex，所以，曲線y=ex在點P處的切線方程為y-et=etx-t，即y=etx+1-tet，由題意可知，點a，b在直線y=etx+1-tet上，可得b=aet+1-tet=a+1-tet，令ft=a+1-tet，則f ′t=a-tet.

當t0，此時函數(shù)ft單調(diào)遞增，當t>a時，f ′t<0，此時函數(shù)ft單調(diào)遞減，所以，ftmax=fa=ea，由題意可知，直線y=b與曲線y=ft的圖象有兩個交點，則b0，當t>a+1時，ft<0，作出函數(shù)ft的圖象如圖2所示.

圖2

由圖可知，當0

分析 函數(shù)題往往其解題需要構(gòu)建數(shù)學模型，函數(shù)題具有規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式.根據(jù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用圖像研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果.

四、數(shù)學運算

數(shù)學運算更加重視表達數(shù)學思維，是解題思路的最基礎(chǔ)的條件.高考題解決數(shù)學運算的問題給予學生更多選擇性，同時也注重學生和其他核心素養(yǎng)結(jié)合一起考察.

例6 （2021年全國卷甲卷解答題第18題）已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記Sn為an的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列an是等差數(shù)列;②數(shù)列Sn是等差數(shù)列;③a2=3a1.

注 若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

詳解 選①②作條件證明③：

設(shè)Sn=an+b（a>0），則Sn=an+b2，

當n=1時，a1=S1=a+b2;

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=an+b2-an-a+b2=a2an-a+2b;

因為an也是等差數(shù)列，所以a+b2=a2a-a+2b，解得b=0;

所以an=a22n-1，所以a2=3a1.

選①③作條件證明②：

因為a2=3a1，an是等差數(shù)列，

所以公差d=a2-a1=2a1，

所以Sn=na1+nn-12d=n2a1，即Sn=a1n，

因為Sn+1-Sn=

a1n+1-a1n=a1，

所以Sn是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

設(shè)Sn=an+b（a>0），則Sn=an+b2，

當n=1時，a1=S1=a+b2;

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=an+b2-an-a+b2=a2an-a+2b;

因為a2=3a1，所以a3a+2b=3a+b2，解得b=0或b=-4a3;當b=0時，a1=a2，an=a22n-1，當n≥2時，an-an-1=2a2滿足等差數(shù)列的定義，此時an為等差數(shù)列;

當b=-4a3時，Sn=an+b=an-43a，S1=-a3<0不合題意，舍去.

綜上可知an為等差數(shù)列.

分析 試題給出部分已知條件，要求考生根據(jù)試題要求構(gòu)建一個命題，給考生充分的選擇空間，充分考查學生對數(shù)學本質(zhì)的理解，引導中學數(shù)學在數(shù)學概念與數(shù)學方法的教學中，從而考察學生的運算能力，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項法.

選①②作條件證明③時，可設(shè)出Sn，結(jié)合an，Sn的關(guān)系求出an，利用an是等差數(shù)列可證a2=3a1;

選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出Sn，結(jié)合等差數(shù)列定義可證;

選②③作條件證明①時，設(shè)出Sn=an+b，結(jié)合an，Sn的關(guān)系求出an，根據(jù)a2=3a1可求b，然后可證an是等差數(shù)列.

五、直觀想象

直觀想象是指通過幾何直觀和空間想象，利用圖形解決問題.今天高考題在開放性和直觀性的基礎(chǔ)上在逐漸加大力度，這樣能夠更好的推動學生想象能力的培養(yǎng).

例7 （2021年全國高考乙卷理科填空題第16題） 以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖3

圖4

詳解 選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，BB1=1，E，F(xiàn)分別為棱B1C1，BC的中點，則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐E-ADF.

故答案為：③④.

分析 有多組正確答案，有多種解題方案可供選擇，考查了考生的空間想象能力，三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

六、數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是通過適當?shù)慕y(tǒng)計分析方法對數(shù)據(jù)進行分析，考生提取有用信息和形成結(jié)論而對數(shù)據(jù)加以詳細研究和概括總結(jié)的過程.今年高考題從目前社會與經(jīng)濟出發(fā)，使得考生更加關(guān)注國家建設(shè).

例8 （2021年新高考1卷理科解答題第18題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列;

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

解析

（1）由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.

PX=0=1-0.8=0.2;

PX=20=0.81-0.6=0.32;

PX=100=0.8×0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100P0.20.320.48

（2）由（1）知，EX=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.

若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100.

PY=0=1-0.6=0.4;

PY=80=0.61-0.8=0.12;

PX=100=0.8×0.6=0.48.

所以EY=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.

因為54.4<57.6，所以小明應選擇先回答B(yǎng)類問題.

分析 以“一帶一路”知識競賽為背景，考查了考生對概率統(tǒng)計基本知識的理解與應用.（1）通過題意分析出小明累計得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）與（1）類似，找出先回答B(yǎng)類問題的數(shù)學期望，比較兩個期望的大小即可.

例9 （2021年全國高考甲卷理科選擇題第2題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

圖5

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中錯誤的是（）.

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

詳解 因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為0.02+0.04=0.06=6%，故A正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為0.04+0.02×3=0.10=10%，故B正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%，故D正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68（萬元），超過6.5萬元，故C錯誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選C.

分析 本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，以我國在脫貧攻堅工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景，通過圖表給出了某地農(nóng)戶家庭收入情況的抽樣調(diào)查結(jié)果，以此設(shè)計問題，考查考生分析問題和數(shù)據(jù)處理的能力.

參考文獻：

[1]何正文.對一道關(guān)于三角函數(shù)高考題的教學思考與延伸[J].數(shù)理化解題研究，2020（03）29-30.

[2]何正文.基于核心素養(yǎng)的多階數(shù)學思維的培養(yǎng)[J].中學數(shù)學雜志，2019（01）：14-16.

[責任編輯：李 璟]