多視角解析一道2021年三模壓軸題

摘 要：對于圓錐曲線類問題，大多數(shù)學(xué)生都有一定的解題思路，但由于對知識理解不深刻，導(dǎo)致方法選擇不當(dāng)，從而運(yùn)算不徹底，最終得不到正確答案.圓錐曲線中兩直線斜率的乘積、和、比值為定值反映了曲線的本質(zhì)，抓住這個(gè)關(guān)鍵，可以突破難點(diǎn).

關(guān)鍵詞：橢圓;斜率;定值

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0080-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：賀鳳梅（1979-），女，湖北省隨州人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、題目呈現(xiàn)

題目 （2021年高三年級第三次診斷性測試 理科數(shù)學(xué)第20題）已知A，B分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F（-2，0）的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，PQ=103.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2，試問k1k2是否為常數(shù). 若是，求出這個(gè)常數(shù);若不是，說明理由.

二、總體分析

定點(diǎn)、定值是圓錐曲線中的常見問題，問題的呈現(xiàn)形式有：以兩直線斜率乘積、和、比值為定值引出的直線過定點(diǎn);或已知直線過定點(diǎn)，能否得出兩直線斜率之積、和或比值為定值. 本文擬以直線過定點(diǎn)，兩直線斜率比值為定值進(jìn)行多視角探究，旨在理清問題的本質(zhì)，找到解決此類問題的行之有效的方法.

三、試題解答

第（1）問，易求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y25=1.

以下重點(diǎn)探討第（2）問.

視角1利用直線的普通方程求解.

解法1 設(shè)直線l的方程為x=my-2，代入x29+y25=1，整理得（5m2+9）y2-20my-25=0.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2=20m5m2+9， ①

y1y2=-255m2+9. ②

由①②，得y1y2y1+y2=-54m，

即my1y2=-54（y1+y2）. ③

由題設(shè)及第（1）問可得A（-3，0），B（3，0），k1=kAP=y1x1+3，k2=kBQ=y2x2-3.

所以k1k2=y1x1+3·x2-3y2=y1[（my2-2）-3][（my1-2）+3]y2=my1y2-5y1my1y2+y2.

將③代入得k1k2=-54（y1+y2）-5y1-54（y1+y2）+y2=25y1+5y25y1+y2=5.

所以k1k2=5.

解法2設(shè)直線l的方程為y=m（x+2）（易知m≠0），代入x29+y25=1，整理，得 （9m2+5）x2+36m2x+36m2-45=0.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=-36m29m2+5， ④

x1x2=36m2-459m2+5. ⑤

由解法1，k1=kAP=y1x1+3，k2=kBQ=y2x2-3.

所以k1k2=y1x1+3·x2-3y2=m（x1+2）（x2-3）（x1+3）·m（x2+2）=x1x2+2x2-3x1-6x1x2+3x2+2x1+6=x1x2-3（x1+x2）+5x2-6x1x2+2（x1+x2）+x2+6，

將④⑤代入，化簡整理，得

k1k2=5[18m2-15+（9m2+5）x2]18m2-15+（9m2+5）x2=5.

所以k1k2=5.

評注 以上兩種解題方法均采用直線的普通方程求解，但屬于兩根不對稱的情形，也就是x1，x2或y1，y2不輪換對稱，從而不能直接利用韋達(dá)定理的結(jié)果整體代入化簡. 此時(shí)，需要根據(jù)式子的特點(diǎn)尋找兩根之和與積的關(guān)系，比如解法1;第二種方法就是變換后消元，其中k1k2由x1，x2和k三個(gè)變量構(gòu)成，其中x1，x2是不對稱量，可將式子k1k2適當(dāng)變形后，再部分利用韋達(dá)定理，改變原來的非對稱量，從而得到分式上下相同的結(jié)構(gòu)，達(dá)到化簡的目的.

視角2 圓錐曲線齊次化，借助橢圓的第三定義求解.

解法3 由橢圓的第三定義知kQA·kQB=-b2a2=-59，以點(diǎn)A為基準(zhǔn)，設(shè)直線PQ方程為 m（x+3）+ny=1，則kPA=y1x1+3，kQA=y2x2+3.

令x+3=p，y=q，將直線齊次化為mp+nq=1，代入x29+y25=1中，整理，得 9q2-30p（mp+nq）+5q2=0.

又直線m（x+3）+ny=1過點(diǎn)F（-2，0），所以m=1.

即9q2-30npq-25p2=0，于是9（qp）2-30n·qp-25=0.

所以kPA·kQA=-259.

聯(lián)立kQA·kQB=-59，kPA·kQA=-259，，得kPAkQB=5，即k1k2=5.

解法4 由橢圓的第三定義知kPA·kPB=-b2a2=-59，以點(diǎn)B為基準(zhǔn)，設(shè)PQ所在直線方程為 m（x-3）+ny=1，則kPA=y1x1-3，kQA=y2x2-3.

令x-3=p，y=q，將直線齊次化為mp+nq=1，代入x29+y25=1中，整理，得9q2+30p（mp+nq）+5q2=0，又m（x-3）+ny=1過點(diǎn)F（-2，0），所以m=-15.

即9q2+30npq-p2=0，于是9（qp）2+30n·qp-1=0，所以kPA·kQA=-19.

由kPA·kPB=-59，kPB·kQB=-19，得kPAkQB=5，即k1k2=5.

解法5 由橢圓的第三定義知kQA·kQB=-b2a2=-59，將橢圓向右平移3個(gè)單位，得（x-3）29+y25=1，整理，得 9y2-30x+5x2=0.⑥

此時(shí)，直線方程設(shè)為mp+nq=1.⑦

直線過點(diǎn)（1，0），所以m=1.

將⑦代入⑥，得9y2-30nxy-25x2=0，

即9（yx）2+30n·yx-25=0，kPA·kQA=-259，

同樣求得k1k2=5.

評注 以上三種解法的本質(zhì)是圓錐曲線的齊次化，其中一種策略是平移圓錐曲線，比如以上的解法5，不過學(xué)生對這種方法有些陌生.筆者將方法稍微改變一下，步驟為：

（1）設(shè)直線方程為m（x-x0）+n（y-y0）=1;

（2）聯(lián)立齊次化，把y-y0x-x0當(dāng)作整體;

（3）借助韋達(dá)定理得出k1+k2或k1k2，進(jìn)而求解k1k2;

（4）得出結(jié)論：比如以上的解法3和解法4.當(dāng)然還需要借助橢圓的第三定義聯(lián)合求解.

視角3借助韋達(dá)定理求解.

由x2a2+y2b2=1，Ax+By+C=0，得x1+x2=-2a2ACa2A2+b2B2，x1·x2=a2（C2-b2B2）a2A2+b2B2，y1+y2=-2a2BCa2A2+b2B2，y1·y2=a2（C2-a2A2）a2A2+b2B2.

解法6 結(jié)合韋達(dá)定理y1·y2=a2（C2-a2A2）a2A2+b2B2=9（4-9）9+5m2=-459+5m2，y1+y2=-2a2BCa2A2+b2B2=-2×9×（-m）×29+5m2=-36m9+5m2，所以y2=-36m9+5m2-y1.

由解法1知k1k2=y1x1+3·x2-3y2=y1[（my2-2）-3][（my1-2）+3]y2=my1y2-5y1my1y2+y2=-45m9+5m2-5y1-45m9+5m2+36m9+5m2-y1，即k1k2=5.

評注 圓錐曲線結(jié)合韋達(dá)定理，求解的方法又稱圓錐曲線的公式聯(lián)立，其實(shí)是一套求解橢圓（或雙曲線）與直線相交時(shí)，聯(lián)立方程求判別式、韋達(dá)定理與相交弦等問題的公式，平時(shí)并不多見. 針對學(xué)有余力的學(xué)生，教師可以適當(dāng)介紹，開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生的思維能力.

四、解后反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》指出，高中數(shù)學(xué)的六大素養(yǎng)為數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)急需提高學(xué)生的綜合能力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，教師要鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中勤思考、多動腦，在對兩直線斜率比值、乘積以及和為定值的問題探究過程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).教師可以根據(jù)核心素養(yǎng)所提出的相關(guān)理論進(jìn)行教學(xué)方式、教學(xué)目的的調(diào)整，使學(xué)生能夠得到更全面的發(fā)展，將立德樹人的根本任務(wù)落到實(shí)處.

“一題多解”既可以豐富教學(xué)內(nèi)容，也可以讓枯燥的數(shù)學(xué)課堂變得活潑生動，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，讓每個(gè)學(xué)生都自覺地投入到課堂中來，不僅可以使學(xué)生集中注意力，還可以使學(xué)生的思維越來越縝密，考慮越來越周全.應(yīng)用“多題一解”的教學(xué)，可以鍛煉學(xué)生歸納總結(jié)的能力，使得學(xué)生“做一題，會一類”.“多題一解”的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，還能映射生活的哲理，對于學(xué)生生存能力的提高也有效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.從數(shù)學(xué)知識的傳授到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（19）：2-7.

[2]錢萬毅.“一題多解”與“多題一解”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值研究與實(shí)踐[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師教育），2017（02）：57.

[責(zé)任編輯：李 璟]