高中數(shù)學(xué)辯證思維賞析

摘 要：解析幾何是基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)學(xué)科之一，解析幾何的創(chuàng)立實現(xiàn)了從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折，變量的介入使得辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，而辯證思維是最高層次的思維形態(tài)，是創(chuàng)造性思維的重要組成.解析幾何中蘊含著豐富的辯證思想，在教學(xué)中教師要善于挖掘這些辯證思想并滲透在教學(xué)當(dāng)中，激發(fā)學(xué)生思考的熱情和多樣性，培養(yǎng)學(xué)生用辯證思維去解決問題.

關(guān)鍵詞：解析幾何;辯證思維;高中數(shù)學(xué)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0048-04

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：武婷（1979.3-），女，學(xué)士，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：本文是四川師范大學(xué)附屬中學(xué)校級科研課題：《指向高階能力培養(yǎng)的行動——高中生數(shù)學(xué)辯證思維能力的培養(yǎng)策略研究》（課題組成員：黃光鑫、武婷、李莉莉、楊娟）的階段性成果.

數(shù)學(xué)與哲學(xué)是兩門獨立的學(xué)科，同時又是兩門聯(lián)系緊密的學(xué)科.正如數(shù)學(xué)家Demollins所指出的那樣：“沒有數(shù)學(xué)，我們無法看透哲學(xué)的深度;沒有哲學(xué)，人們也無法看透數(shù)學(xué)的深度;若沒有二者，人們就什么也看不透.”恩格斯也指出：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù)，運動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，……”.在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》修訂的基本原則中也要求：“堅持正確的政治方向……充分體現(xiàn)馬克思主義的指導(dǎo)地位和基本立場……”.課程標(biāo)準(zhǔn)全書的表述中也滲透了辯證法的很多觀點，比如：具體與抽象、一般與特殊、現(xiàn)象與本質(zhì)以及普遍聯(lián)系的觀點等等，所以在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師要結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點潛移默化的給學(xué)生滲透辯證法的基本思想，堅持用“辯證觀點分析和解決數(shù)學(xué)問題”，逐步培養(yǎng)高中學(xué)生運用辯證思維解決數(shù)學(xué)問題的能力.

一、對立統(tǒng)一規(guī)律

對立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的三大規(guī)律之一.根據(jù)對立統(tǒng)一規(guī)律，矛盾雙方既相互依賴，又相互排斥，并在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.在笛卡爾之前的數(shù)學(xué)，“數(shù)”與“形”就是一對矛盾.數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺少形時少直觀，形缺少數(shù)時難入微”.數(shù)形結(jié)合的解題方法就是對立統(tǒng)一的辯證思維在解題中的具體體現(xiàn).

例1 已知橢圓C的方程x24+y23=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓C上有不同兩點關(guān)于該直線對稱.

賞析一 如圖1，作與l垂直的直線l1，若要關(guān)于l對稱的兩點存在則l1與橢圓相交于P，Q兩點，故設(shè)直線l1：y=-14x+n與橢圓方程聯(lián)立y=-14x+nx24+y23=113x2-8nx+16n2-48=0此方程有兩根故Δ>0則-132

賞析二 數(shù)形結(jié)合尋找隱含條件.如圖2，先求弦PQ中點的軌跡方程C1（點差法）易得C1：y=3x（在橢圓內(nèi)的部分）若要滿足題意，直線l與直線C1的交點M在橢圓內(nèi)部，故聯(lián)立方程y=3xy=4x+mM-m，-3m在橢圓內(nèi)部即m24+9m23<1得解-21313

賞析三 圖形啟發(fā)，層層轉(zhuǎn)化.如圖3同分析二中的弦PQ中點的軌跡方程C1：y=3x與橢圓x24+y23=1交于E，F(xiàn)即y=3xx24+y23=1E21313，61313，F(xiàn)-21313，-61313，若l過E，則m=-21313，若l過F，則m=21313，故-21313

以形助數(shù)，可以充分利用形的直觀性來揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性;以數(shù)輔形，有助于尋找運動規(guī)律.數(shù)形結(jié)合，促成矛盾雙方順利轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造條件使對立雙方達(dá)到統(tǒng)一，從而培養(yǎng)學(xué)生對立統(tǒng)一觀點.

二、量變質(zhì)變規(guī)律

唯物辯證法認(rèn)為：量變是質(zhì)變的必要準(zhǔn)備，沒有一定的量變，就不會發(fā)生質(zhì)變.質(zhì)變是量變的必然結(jié)果，單純的量變不會永遠(yuǎn)持續(xù)下去，量變達(dá)到一定的程度必然引起質(zhì)變.

比如：在研究圓錐曲線的第二定義和統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程ρ=ep1-ecosθ（e為離心率，p為焦點到準(zhǔn)線的距離）時，當(dāng)01時為雙曲線，當(dāng)e=1時為拋物線.在極坐標(biāo)方程中我們發(fā)現(xiàn)：正是因為離心率e的連續(xù)量變，才導(dǎo)致了曲線性質(zhì)的質(zhì)變.在這個量變過程中e=1是發(fā)生質(zhì)變的一個轉(zhuǎn)折點.同時我們也知道當(dāng)橢圓的離心率e越接近于0橢圓越圓，所以是否可以這樣認(rèn)為圓就是離心率為0的橢圓？在這個量變過程中e=0也是一個發(fā)生質(zhì)變的轉(zhuǎn)折點.這正是高中數(shù)學(xué)中體現(xiàn)量變到質(zhì)變的一個經(jīng)典案例.

例2 已知動點P與兩個定點A0，0，B3，0的距離比為k，求動點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

賞析 設(shè)動點Px，y，由題意知PAPB=k，即x2+y2=kx-32+y2整理得x+3k21-k22+y2=3k1-k22，廣義講它是以-3k21-k2，0為圓心3k1-k2為半徑的圓.

當(dāng)k=0，P點軌跡退縮為點A;

當(dāng)k從1的兩側(cè)趨近于1時，參數(shù)k與1k對應(yīng)的點P軌跡為兩個關(guān)于直線x=32對稱的圓，半徑隨k的上述變化無限增大直至兩圓趨于直線x=32，此時k=1.

本題的數(shù)學(xué)背景就是著名的阿波羅尼斯圓：設(shè)A，B是平面內(nèi)兩個定點，平面內(nèi)的動點C到點A的距離與到點B的距離比為定值λλ>0且λ≠1，則點C的軌跡為圓.在對k的分析中，我們充分體現(xiàn)了辨證法中由量變到質(zhì)變的過程.

三、否定之否定規(guī)律

否定之否定規(guī)律表明事物自身發(fā)展的整個過程是由肯定、否定和否定之否定諸環(huán)節(jié)構(gòu)成的，揭示了事物發(fā)展的全過程和總趨勢.事物都有肯定方面和否定方面，當(dāng)肯定方面居于主導(dǎo)地位時，事物保持現(xiàn)有的性質(zhì)、特征和傾向，當(dāng)事物內(nèi)部的否定方面戰(zhàn)勝肯定方面時，舊事物就需要轉(zhuǎn)化為新事物.

高中數(shù)學(xué)的解題思想中有一種叫“補集思想”，也就是“正難則反”，充分反映了否定之否定的辯證思想.有些問題如果從正面入手，情況復(fù)雜，毫無頭緒，若從問題的反面去想，有可能“峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明”，所以掌握正與反的辯證思想它可以幫助學(xué)生從不同的側(cè)面去思考問題，進(jìn)而解決問題.

例3 已知直線l過定點P3，0且斜率為k，試求k的取值范圍使得曲線C：y=x2的所有弦都不能被直線l垂直平分.

分析 要使得曲線C的所有弦都不能被直線l垂直平分，正面考慮就得分三種情況：

l與C沒有交點;

l與C雖然有交點但曲線C的所有弦都與l不垂直;

l與C的弦垂直但中點不在l上.

顯然要找出滿足條件的斜率正面入手相當(dāng)困難，那我們不妨從反面考慮，問題轉(zhuǎn)化為曲線C中至少有一條弦能被直線l垂直平分的斜率范圍，然后再取補集得解.解答如下：

賞析 設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），曲線C中存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線l對稱，AB中點為Mx0，y0，則由y1=x21，y2=x22得y1-y2x1-x2=x1+x2，又因為y1-y2x1-x2=-1k，x1+x2=2x0，代入上式得：x0=-12k又因為y0=k（x0-3），所以y0=-12-3k所以M-12k，-12-3k，因為點Mx0，y0必在拋物線內(nèi)部，所以y0

四、普遍聯(lián)系的觀點

事物的聯(lián)系具有普遍性，任何事物或現(xiàn)象之間以及事物的內(nèi)部要素之間都是相互影響，相互依賴，相互作用的.唯物辯證法要求我們用普遍聯(lián)系的觀點看問題.

比如在高中數(shù)學(xué)教材中給出了橢圓的第一定義，同時教材中又給出了一個例題介紹橢圓的第二定義，教學(xué)當(dāng)中教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生挖掘這兩個定義之間的聯(lián)系.同為橢圓定義兩者之間必然是有某種聯(lián)系.通過對教材中兩個推導(dǎo)橢圓方程的過程深入分析我們會發(fā)現(xiàn)，定義一所得方程a2-c2x2+a2y2=a2a2-c2化為方程a2x2+a2c2+a2y2=c2x2+a4，兩邊同時減去2a2cx得a2（x-c）2+a2y2=c2（x-a2c）2，即為（x-c）2+y2x-a2c=ca，這就是例題中的第二定義表達(dá)式.這就是在普遍聯(lián)系觀點指導(dǎo)下獲得的一個非常精彩的認(rèn)識結(jié)果！雖然第一定義是研究動點到兩個定點距離之和為定值，但通過轉(zhuǎn)化又可整理出動點到定點與到定直線距離之比為一定值的形式.

五、矛盾分析的方法

1.運動與靜止

在辯證唯物主義的自然觀中，運動是絕對的，靜止是相對的.“運動”是一個具有普遍意義的范疇.恩格斯是這樣描述的：“運動”，就一般的意義來說，就它被理解為存在的方式，被理解為物質(zhì)固有的屬性來說，它包括宇宙中發(fā)生的一切變化和過程，從單純的位置移動起直到思維活動.動中有靜、靜中有動.“動”與“靜”在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.

在解析幾何的教學(xué)中理應(yīng)積極滲透運動變化的思想，有目的、有計劃地展現(xiàn)數(shù)學(xué)對象運動的基本過程，揭示數(shù)學(xué)對象運動變化的本質(zhì)和規(guī)律，以利于培養(yǎng)學(xué)生唯物主義世界觀、掌握科學(xué)的辯證思維方法，提高分析問題和解決問題的能力.

例4 教材上的一道例題：已知圓O：x2+y2=r2，求經(jīng)過圓O上一點Px0，y0的切線方程.

賞析 這條切線是確定的、靜止的，如何化靜為動呢？我們會以點Px0，y0為圓心作一個半徑為ε的充分小的圓，使它與圓O相交于A，B兩點，則圓P的方程為（x-x0）2+（y-y0）2=ε2，兩圓方程作差即可求出相交弦AB：2x0x+2y0y=2r2-ε2，現(xiàn)在令ε不斷變小趨近于0時，直線AB就與過點P的切線重合，可得方程：x0x+y0y=r2.

本題運用割線逼近思想求切線，化靜為動，把某些靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化為動態(tài)研究，達(dá)到化靜為動，動中求靜的目的.

2.共性與個性

“共性存在于個性之中并通過個性表現(xiàn)出來，個性中包含著共性，任何事物都是共性和個性的統(tǒng)一.”數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到“特值法”、“歸納法”這些均利用了這種辯證思想，我們常把特殊化作為實現(xiàn)化歸的途徑之一，在“特殊”的指引下促成一般解題思路的形成.例如解析幾何中圓、橢圓、雙曲線方程的統(tǒng)一形式，橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一定義.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1a>b>0，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1a>0，b>0，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxp>0，這三種曲線無論從形式還是圖像上都完全不同，但方程卻都可以統(tǒng)一成二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0.

3.整體與局部

整體與局部既相互區(qū)別又相互聯(lián)系.整體居于主導(dǎo)地位，統(tǒng)率著局部，二者不可分割又相互影響.解決高中數(shù)學(xué)問題時我們既要立足整體，統(tǒng)籌全局，又要把握好局部，通過對用局部的研究去推動對的整體的研究.此所謂“滴水反映出太陽的光輝！”

例5 （2014年浙江卷）設(shè)直線x-3y+m=0m≠0與雙曲線x2a2-y2b2=1a>b>0的兩條漸近線分別交于點A，B，若點Pm，0滿足PA=PB，則雙曲線的離心率是.

賞析一 從局部出發(fā)考慮.由x-3y+m=0y=baxA（am3b-a，bm3b-a），同理x-3y+m=0y=-bax

B（-am3b+a，bm3b+a），則AB的中點Ca2m9b2-a2，3b2m9b2-a2，而kAB=13，kCP=3b2m9b2-a2a2m9b2-a2-m=-3，化簡得ba2=14.所以雙曲線的離心率e=1+ba2=1+14=52.

賞析二 從整體出發(fā)考慮.設(shè)線段AB的中點Cx0，y0，則PQ所在直線方程為y=-3x-m，與直線AB聯(lián)立y=-3x-mx-3y+m=0C4m5，3m5，又設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2把兩條漸近線的方程合二為一視為x2a2-y2b2=0，由x21a2-y21b2=0x22a2-y22b2=0相減，采用點差法可得kOC·kAB=b2a2，即：34×13=b2a2，從而e=1+b2a2=52.

顯然上述第二個方法通過對漸近線方程的整體把握，大大降低了運算量，教師在教學(xué)當(dāng)中應(yīng)向?qū)W生滲透整體與局部的辯證思想，讓學(xué)生樹立整體觀念、全局思想，從整體出發(fā)，在整體上選擇最佳方案，實現(xiàn)最優(yōu)目標(biāo)但同時也要搞好局部，使整體功能得到最大發(fā)揮.

4.現(xiàn)象與本質(zhì)

本質(zhì)與現(xiàn)象是揭示事物內(nèi)部聯(lián)系和外部表現(xiàn)相互關(guān)系的一對辯證法的基本范疇.本質(zhì)是事物的內(nèi)部聯(lián)系，是決定事物性質(zhì)和發(fā)展趨向的東西;現(xiàn)象是事物的外部聯(lián)系，是本質(zhì)在各方面的外部表現(xiàn).本質(zhì)與現(xiàn)象是對立統(tǒng)一的關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)解題中我們一定要善于透過現(xiàn)象看清本質(zhì).

例6 已知圓M：x2+y-32=1，直線l：x-2y=0，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B.求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點.

賞析一 過A，P，M三點的圓即以PM為直徑的圓，設(shè)點P2y0，y0，則圓心坐標(biāo)y0，3+y02以PM為直徑的圓方程是x-y02+y-3+y022=14[2y0-02+y0-32]，化圖4簡得y03-2x-y+x2+y2-3y=0（*），令3-2x-y=0x2+y2-3y=0x=0y=3或x=65y=35，無論y0取何值，0，3，65，35都滿足（*）所以得證.

賞析二 以PM為直徑的圓與直線l：x-2y=0的位置關(guān)系因已經(jīng)有公共點P，所以只能是相交或者相切.當(dāng)MP與直線l不垂直時，產(chǎn)生的另外一個公共點Q一定滿足PQ⊥QM，而PQ即為l，故一個定點即為過M作l垂線的垂足Q（如圖4），易求得點Q（65，35），當(dāng)MP與直線l垂直時P即為Q，顯然另一個定點為點M（0，3）.

我們發(fā)現(xiàn)通過對圓上定點的分析，我們挖掘了圓與直線的位置關(guān)系以及圓中直徑所對的圓周角為直角的本質(zhì)快速的找到了定點，透過現(xiàn)象看動圓過定點問題的本質(zhì)，理解就更深入了.

唯物辯證法是辯證思想發(fā)展的高級形態(tài)，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實踐中，教師如果能夠充分挖掘其中的辯證思維素材，有效的指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辯證思維，必將大大促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提升學(xué)生看待問題的觀點和分析問題、處理問題的能力，也必將提高他們的思維品質(zhì)和科學(xué)素養(yǎng)！

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[責(zé)任編輯：李 璟]