一個圓錐曲線問題的解決與推廣

摘 要：本文通過針對一個橢圓常規(guī)練習(xí)題的抽象化研究和拓展探索，運用轉(zhuǎn)化與化歸思想，得出以圓錐曲線為載體的同類問題的一般性結(jié)論.

關(guān)鍵詞：交點;韋達(dá)定理;線段乘積;斜率

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0067-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：許銀伙（1963.9-），男，福建省惠安人，本科，中學(xué)高級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

轉(zhuǎn)化與化歸是高中重要的數(shù)學(xué)思想方法，它對于問題的思路探尋和簡化運算有著不可估量的作用.本文通過針對一個橢圓常規(guī)練習(xí)題的拓展探索，運用轉(zhuǎn)化與化歸思想，得出在圓錐曲線中同類問題的一般性結(jié)論.

問題 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），O為坐標(biāo)原點，P為橢圓上任意一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，且a，b，1依次為等比數(shù)列，其離心率為22，過點M（0，1）的動直線l與橢圓E交于A，B兩點.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）當(dāng)AB=453時，求直線l的方程;

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若存在與點M不同的點G，使得GAMB=MAGB成立，求點G的坐標(biāo).

解析 （1）橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1;

（2）所求直線l的方程為y=±x+1或y=±12x+1;

（3）設(shè)存在符合條件的點G，由已知條件和橢圓的對稱性得點G必在y軸上，可設(shè)點G（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

①當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l方程：y=kx+1，代入橢圓E得：（2k2+1）x2+4kx-2=0，Δ=32k2+8>0，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.GAMB=MAGB等價于MAMB=GAGB，所以x1x2=x11+k2AGx21+k2BG，得：kAG=-kBG，即y1-y0x1=-y2-y0x2，則得y0=x1y2+x2y1x1+x2=x1（kx2+1）+x2（kx1+1）x1+x2=2kx1x2x1+x2+1=2，所以點G（0，2）.

②當(dāng)直線l斜率不存在時，可得A（0，-2），B（0，2）或A（0，2），B（0，-2）.點G（0，2）代入可得GAMB=2，MAGB=2，符合.

綜上得，符合要求的點G存在，且點G的坐標(biāo)（0，2）.

評注 問題（3）的解決訣竅是利用對稱性判斷出所求點G必須在y軸上，然后把距離的乘積轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)和斜率的比，使其到兩個交點的連線斜率互為相反數(shù)，或者到兩個交點連線的傾斜角互補，再利用韋達(dá)定理得出結(jié)果.

推廣一 已知曲線E：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），過曲線E內(nèi)的定點M（0，t）（t≠0）的動直線l與曲線E交于A，B兩點，探求是否存在與點M不同的點G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求點G的坐標(biāo).

解析 設(shè)存在符合條件的點G，由已知條件和曲線的對稱性得點G必在y軸上，可設(shè)點G（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

①當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l方程：y=kx+t，代入曲線E得：（a2k2+b2）x2+2a2tkx+a2（t2-b2）=0，由點M（0，t）在曲線E內(nèi)得：t20，x1+x2=-2a2tka2k2+b2，x1x2=a2（t2-b2）a2k2+b2.

GAMB=MAGB等價于MAMB=GAGB，所以x1x2=x11+k2AGx21+k2BG，得：kAG=-kBG，即y1-y0x1=-y2-y0x2，得y0=x1y2+x2y1x1+x2=x1（kx2+t）+x2（kx1+t）x1+x2=2kx1x2x1+x2+t=b2t，所以點G（0，b2t）.

②當(dāng)直線l斜率不存在時，可得A（0，-b），B（0，b）或A（0，b），B（0，-b）.點G（0，b2t）代入可得GAMB=bt（b2-t2），GBMA=bt（b2-t2），符合.

綜上得：符合要求的點G存在，且點G的坐標(biāo)（0，b2t）.

評注 1.推廣一把原來問題一般化，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結(jié)論.

2.曲線E可以是焦點在x軸或y軸上的橢圓，還可以是圓.

推廣二 已知曲線E：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），過曲線E內(nèi)的點M（t，0）（t≠0）的動直線l與曲線E交于A，B兩點，探求是否存在與點M不同的點G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求點G的坐標(biāo).

解析 設(shè)存在符合條件的點G，由已知條件和曲線的對稱性得點G必在x軸上，可設(shè)點G（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

①當(dāng)直線l傾斜角不為0時，設(shè)l方程：x=t+my，代入曲線E得：（b2m2+a2）y2+2b2tmy+b2（t2-a2）=0，由點M（t，0）（t≠0）在曲線E內(nèi)得：t20，y1+y2=-2b2mtb2m2+a2，y1y2=b2（t2-a2）b2m2+a2.

GAMB=MAGB等價于MAMB=GAGB，所以y1y2=y11+1k2AGy21+1k2BG，得kAG=-kBG，即y1x1-x0=-y2x2-x0，得x0=x1y2+x2y1y1+y2=y1（my2+t）+y2（my1+t）y1+y2=2my1y2y1+y2+t=a2t，

所以點G（a2t，0）.

②當(dāng)直線l傾斜角為0時，可得A（-a，0），B（a，0）或A（-a，0），B（a，0）.點G（a2t，0）代入可得GAMB=at（a2-t2），GBMA=at（a2-t2），符合.

綜上得：符合要求的點G存在，且點G的坐標(biāo)（a2t，0）.

評注 1.推廣二只是把推廣一中曲線內(nèi)的定點放到曲線的另一對稱軸，運用同樣的方法和技巧獲得一般化的結(jié)論.2.曲線E可以是焦點在x軸或y軸上的橢圓，還可以是圓.

推廣三 已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），過定點M（t，0）（t≠0）動直線l與雙曲線E交于A，B兩點，探求是否存在與點M不同的點G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求點G的坐標(biāo).

仿照推廣二可得符合要求的點G存在，且點G的坐標(biāo)（a2t，0），過程略.

評注 推廣三只是把推廣二中橢圓換成焦點在同一坐標(biāo)軸上的雙曲線，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結(jié)論.

推廣四 已知雙曲線E：y2a2-x2b2=1（a>0，b>0），過定點M（t，0）（t≠0）動直線l與雙曲線E交于A，B兩點，探求是否存在與點M不同的點G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求點G的坐標(biāo).

解析 設(shè)存在符合條件的點G，由已知條件和雙曲線的對稱性得點G必在x軸上，可設(shè)點G（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2），顯然直線l的傾斜角不為0°.

①當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l方程：x=t+my，代入雙曲線E得：（b2-a2m2）y2-2a2tmy-a2（t2+b2）=0，由已知得b2-a2m2≠0且Δ=4a2b2（b2-a2m2+t2）>0，y1+y2=2a2mtb2-a2m2，y1y2=-a2（t2+b2）b2-a2m2.

GAMB=MAGB等價于MAMB=GAGB，所以y1y2=y11+1k2AGy21+1k2BG，得kAG=-kBG，即y1x1-x0=-y2x2-x0，得x0=x1y2+x2y1y1+y2=y1（my2+t）+y2（my1+t）y1+y2=2my1y2y1+y2+t=-b2t，所以點G（-b2t，0）.

②當(dāng)直線l斜率不存在時，可得A（0，-a），B（0，a）或A（0，a），B（0，-a）.

點G（-b2t，0）代入可得MAGB=（a2+t2）（b4t2+a2）=MBGA，符合.

綜上得：符合要求的點G存在，且點G的坐標(biāo)（-b2t，0）.

評注 推廣四把推廣三的雙曲線換成焦點在另一坐標(biāo)軸上，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結(jié)論.

推廣五 已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），過定點M（0，t）（t≠0）動直線l與雙曲線E交于A，B兩點，探求是否存在與點M不同的點G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求點G的坐標(biāo).

解析 設(shè)存在符合條件的點G，由已知條件和雙曲線的對稱性得點G必在y軸上，可設(shè)點G（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），顯然直線l斜率存在.

①當(dāng)直線l斜率存在且不為0時，設(shè)l方程：y=kx+t，代入雙曲線E得：（b2-a2k2）x2-2a2tkx-a2（t2+b2）=0，由已知得b2-a2k2≠0且Δ=4a2b2（b2+t2-a2k2）>0，x1+x2=2a2tkb2-a2k2，x1x2=-a2（t2+b2）b2-a2k2.

GAMB=MAGB等價于MAMB=GAGB，所以x1x2=x11+k2AGx21+k2BG，得kAG=-kBG，即y1-y0x1=-y2-y0x2，得y0=x1y2+x2y1x1+x2=x1（kx2+t）+x2（kx1+t）x1+x2=2kx1x2x1+x2+t=-b2t，所以點G（0，-b2t）.

②當(dāng)直線l斜率為0時，由雙曲線對稱性得點G（0，-b2t）符合要求.

綜上得：符合要求的點G存在，且點G的坐標(biāo)（0，-b2t）.

評注 推廣五把推廣三中直線所過坐標(biāo)軸上的定點換成另一坐標(biāo)軸上，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結(jié)論.

推廣六 已知雙曲線E：y2a2-x2b2=1（a>0，b>0），過定點M（0，t）（t≠0）動直線l與雙曲線E交于A，B兩點，探求是否存在與點M不同的點G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求點G的坐標(biāo).

類似推廣五得符合要求的點G存在，且點G的坐標(biāo)（0，a2t），過程略.

評注 推廣六把推廣四中直線所過坐標(biāo)軸上定點換成另一坐標(biāo)軸上，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結(jié)論.

推廣七 已知拋物線E：y2=2px，過異于原點的定點M（t，0）的動直線l與拋物線E交于A，B兩點，是否存在與點M不同的點G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求點G的坐標(biāo).

解析 設(shè)存在符合條件的點G，由已知條件和拋物線的對稱性得點G必在x軸上，可設(shè)點G（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2），顯然直線l的傾斜角不為0°.

①當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l方程：x=t+my，代入拋物線E得：y2-2pmy-2pt=0，由已知得：Δ=4p2m2+8pt>0，y1+y2=2pm，y1y2=-2pt.

GAMB=MAGB等價于MAMB=GAGB，所以y1y2=y11+1k2AGy21+1k2BG，得kAG=-kBG，即y1x1-x0=-y2x2-x0，得x0=x1y2+x2y1y1+y2=y1（my2+t）+y2（my1+t）y1+y2=2my1y2y1+y2+t=-t，所以點G（-t，0）.

②當(dāng)直線l斜率不存在時，由拋物線對稱性得G（-t，0）符合GAMB=MAGB.

綜上得：符合要求的點G存在，且點G的坐標(biāo)（-t，0）.

評注 推廣七把推廣二中的曲線換成拋物線，運用上面的方法獲得一般化的結(jié)論.

推廣八 已知拋物線E：x2=2py，過異于原點的定點M（0，t）的動直線l與拋物線E交于A，B兩點，是否存在與點M不同的點G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求點G的坐標(biāo).

類似推廣七得符合要求的點G存在，且點G的坐標(biāo)（0，-t），過程略.

評注 1.推廣八把推廣七中拋物線對稱軸改變，運用上面的方法和技巧獲得一般化的結(jié)論.

2.推廣七和八通常取定點M為拋物線的焦點作為質(zhì)檢考題.

見微知著，舉一還三，是學(xué)好數(shù)學(xué)必需的能力與習(xí)慣，需要有意識的培養(yǎng)與磨練.本文通過針對一個普通練習(xí)題的拓展思考，獲得同類問題的一般性結(jié)論，既強化問題解決的方法和技巧，又加深對問題的本質(zhì)認(rèn)識，值得在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的過程中借鑒.

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[責(zé)任編輯：李 璟]