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    積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 建立數(shù)學(xué)模型

    2021-04-26 18:11:07蔣媛孫冬梅
    小學(xué)教學(xué)研究 2021年1期
    關(guān)鍵詞:歸納推理合情推理活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

    蔣媛 孫冬梅

    【摘 要】從學(xué)習(xí)心理的角度來看,推理往往是指由一個(gè)或一個(gè)以上的概念,推理出新的判斷的過程,這個(gè)過程不僅常見于教學(xué)當(dāng)中,也常常存在于生活當(dāng)中。數(shù)學(xué)模型有助于學(xué)生將具象抽象化并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。在推理中建立數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)生在操作中經(jīng)歷,在經(jīng)歷中體驗(yàn),在體驗(yàn)中累積,這樣才能獲得最具數(shù)學(xué)本質(zhì)的、最具價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

    【關(guān)鍵詞】演繹推理 歸納推理 合情推理 數(shù)學(xué)模型 活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

    在動(dòng)手操作中學(xué)數(shù)學(xué),有利于學(xué)生經(jīng)歷“動(dòng)作思維—表象—抽象思維—概括—形成模型”的過程。因此在教學(xué)中,組織學(xué)生實(shí)踐操作,參與推理的全過程,引導(dǎo)思維由直觀向抽象轉(zhuǎn)化,從事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進(jìn)行歸納,形成模型。數(shù)學(xué)推理的類型有很多,下面筆者從演繹推理、歸納推理和合情推理這三個(gè)方面,談一談關(guān)于“長方體和正方體的整理和復(fù)習(xí)”的一些思考。

    一、從演繹推理中建立數(shù)學(xué)模型

    演繹推理又稱為論證推理,是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等),按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程,是從一般到特殊的推理,它是以某類事物的一般判斷為前提做出這類事物的個(gè)別、特殊事物判斷的推理方法。

    【案例】怎樣拼表面積最小

    師:把2個(gè)這樣的盒子用紙包裝起來,怎樣拼最省包裝紙?為什么這樣拼?

    生:把最大的面重疊起來,表面積最小。

    師:把兩個(gè)小長方體拼成一個(gè)大長方體,都減少了幾個(gè)面?

    (指出:兩個(gè)紙盒拼起來表面積少了2個(gè)面)

    師:如果再增加一個(gè)長方體呢?怎樣拼表面積最?。磕銥槭裁催@么拼?

    生:把最大的面重疊起來,表面積最小。

    師:減少了幾個(gè)面?

    (指出:拼接一次,重疊2個(gè)面,拼接2次,重疊4個(gè)面)

    師:通過將2個(gè)、3個(gè)小長方體拼成一個(gè)大長方體,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    (指出:重疊的面越大,表面積越?。?/p>

    師:猜猜看,如果要將4個(gè)紙盒拼起來,怎么包裝最省包裝紙?

    (追問:這種實(shí)際上大大小小重疊了幾個(gè)面?重疊了哪8個(gè)面?)

    師:還有小組是這樣拼的,重疊了幾個(gè)面?(展示其他兩種拼法)都是重疊了8個(gè)面,你認(rèn)為一樣嗎?哪種重疊方法表面積最???

    (指出:重疊的面越多、越大,表面積越?。?/p>

    師:現(xiàn)在你能用這種方法,研究怎樣包裝6個(gè)紙盒最省包裝紙了嗎?6人小組合作拼一拼,并在小組里說一說為什么這樣拼。

    師:其實(shí)我們生活中很多物品的包裝就是采用的這種拼接方法。

    師:剛剛我們拼了2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)和6個(gè)小長方體,你發(fā)現(xiàn)了什么奧秘?

    (指出:我們?cè)谄葱¢L方體時(shí),發(fā)現(xiàn)重疊的面越大、越多,表面積就?。?/p>

    師:剛才我們研究了長方體,正方體是特殊的長方體,那正方體中是不是也有這樣的規(guī)律呢?

    (指出:正方體是特殊的長方體,長方體的規(guī)律,對(duì)于正方體也是成立的)

    師:那正方體的規(guī)律有什么特殊的地方?

    (指出:正方體的每個(gè)面都相等,表面積最小的時(shí)候只要考慮重疊的面越多就行了)

    【思考】學(xué)生在拼2個(gè)和3個(gè)的小長方體的過程中積累了一些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),知道了將最大的面重疊起來,表面積最小。因此在拼4個(gè)小長方體的時(shí)候很容易就將經(jīng)驗(yàn)遷移過來,這是學(xué)生的思維定式。因此讓學(xué)生通過再次操作,有了和前面不一樣的發(fā)現(xiàn),而這個(gè)發(fā)現(xiàn)是對(duì)前面經(jīng)驗(yàn)的補(bǔ)充,從而推理出結(jié)論并建立起“重疊的面越多、越大,表面積越小”這一模型。而正方體是特殊的長方體,通過一般事物的模型,推理出特殊事物的模型,是演繹推理的范疇。演繹推理認(rèn)為:前提與結(jié)論之間有著必然的聯(lián)系,只要前提是真的,推理是合乎邏輯的,就一定能得到正確的結(jié)論。因此可以推理出正方體也同樣適用,但有著特殊的地方,每個(gè)面的大小一樣,只要考慮重疊的面最多就可以了。讓學(xué)生參與推理的全過程,從中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

    二、從歸納推理中建立數(shù)學(xué)模型

    歸納是由個(gè)別到一般的推理,從特殊事實(shí)得到一般原理,即通過一些學(xué)生熟知的個(gè)別生活實(shí)例或數(shù)學(xué)問題,再進(jìn)行觀察,比較、分析、綜合中歸納出一般結(jié)論。

    【案例】正方體的棱長乘2,表面積和體積將發(fā)生什么變化?

    師:如果正方體的棱長乘2,那表面積和體積將有怎樣的變化呢?我們一起來研究研究。

    要求:1.每人拿出表格獨(dú)立填一填。

    2.組長將每人的表格貼至學(xué)習(xí)單上,小組討論并完成“我的發(fā)現(xiàn)”。

    小組展示學(xué)習(xí)單,組長匯報(bào)研究的過程。

    師:你們的發(fā)現(xiàn)和他們一樣嗎?是不是任意的正方體只要棱長乘2,都有這樣的規(guī)律呢?

    4人小組討論,寫出驗(yàn)證過程。

    組長匯報(bào),師指出:通過驗(yàn)證,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)正方體的棱長乘2時(shí),表面積乘4,體積乘8。

    【思考】數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象的,而小學(xué)生的思維是以形象思維為主的。顯然,數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)與小學(xué)生的思維特點(diǎn)是矛盾的。所以在小組合作的過程中,學(xué)生可以觀察小組內(nèi)舉例的直觀數(shù)據(jù)進(jìn)行初步猜想,在全班討論時(shí),如果每人舉例都不一樣,也僅僅只有50多個(gè)表象,不能涵蓋所有,那這一猜想到底正確與否就要我們?nèi)ヲ?yàn)證。怎么驗(yàn)證才能夠涵蓋所有?才能由具象到抽象呢?用字母a表示正方體的棱長,建立模型。由于前面已經(jīng)有了大量的表象作為基礎(chǔ),并且學(xué)生已經(jīng)積累了一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),得到了具象的結(jié)論,在此基礎(chǔ)上歸納出模型是完全能夠?qū)崿F(xiàn)的。同時(shí)在這一活動(dòng)中,學(xué)生由淺及深、由具體到抽象積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

    三、從合情推理中建立數(shù)學(xué)模型

    合情推理是根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),在某種情景和過程中推出可能性結(jié)論的推理,主要包括觀察比較、不完全歸納、類比猜想、估算聯(lián)想。在教學(xué)中如何進(jìn)行合情推理能力的培養(yǎng),使學(xué)生能夠?qū)W得輕松有效,循序漸進(jìn),培養(yǎng)創(chuàng)新精神,是一個(gè)值得我們深思的問題。

    【案例】正方體的棱長×n,表面積和體積將發(fā)生什么變化?

    師:猜一猜,如果正方體的棱長乘了3呢?表面積和體積又怎樣變化呢?

    生:表面積乘了9,體積乘了27。

    師:如果乘4了呢?你有什么發(fā)現(xiàn)?

    生:表面積乘了16,體積乘了64。

    師:你發(fā)現(xiàn)了什么?

    生:表面積乘了平方倍,體積乘了立方倍。

    師:如果正方體的棱長乘了n,表面積乘了n2,體積乘了n3。這僅僅是猜想,你有什么方法驗(yàn)證嗎?4人小組討論,驗(yàn)證過程寫在學(xué)習(xí)單的反面。

    師:看來我們剛剛的猜想是正確的。

    師:那任意一個(gè)長方體是不是也有這樣的規(guī)律呢?我們可以借助剛剛研究正方體的經(jīng)驗(yàn),課后繼續(xù)研究。

    【思考】數(shù)學(xué)是在人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫的基礎(chǔ)上,逐步抽象、概括,形成模型、方法和理論的過程,這一過程充滿著觀察、猜想和合情推理。接著讓學(xué)生猜想棱長乘3、乘4,表面積和體積怎樣變化,最后讓學(xué)生猜想任意一個(gè)長方體是不是也有這樣的規(guī)律,并讓學(xué)生對(duì)照自己的猜想進(jìn)行驗(yàn)證,完善修改。然后加以類比,這一系列的過程,都是合情推理。因此再次讓學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí),用字母代表了棱長,并且讓學(xué)生在推理中得出“正方體的棱長乘了n,表面積乘了n2,體積乘了n3”。最后讓學(xué)生研究由特殊到一般,將研究正方體的方法延伸到長方體,看是否也存在這樣的規(guī)律。這兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)都體現(xiàn)了合情推理和模型的有效結(jié)合。

    讓學(xué)生在操作中推理,在推理中建模,這樣才能獲得最具數(shù)學(xué)本質(zhì)的、最具價(jià)值的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

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