借“三維設(shè)計(jì)”培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

鄭海山 呂子鵬

摘? 要：“三維設(shè)計(jì)”是從學(xué)生思維發(fā)展的路徑入手，運(yùn)用師生行為的展示方式、知識(shí)的呈現(xiàn)梯度、知識(shí)與思想方法的歸納這三個(gè)外顯的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)教師進(jìn)行教材的解讀與演繹，促進(jìn)不同學(xué)生不同思維層次的發(fā)展. 運(yùn)用“三維設(shè)計(jì)”，教師便于把握教材的核心問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心思維.

關(guān)鍵詞：三維設(shè)計(jì);數(shù)學(xué)思維;初中數(shù)學(xué)

羅增儒教授指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力. 鄭毓信教授指出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的真正核心是通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理. 可見，可以通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 筆者通過“三維設(shè)計(jì)”的方法引導(dǎo)教師進(jìn)行教材的解讀與演繹，較好地促進(jìn)不同學(xué)生不同思維層次的發(fā)展. 本文所說的“三維設(shè)計(jì)”是指教師在進(jìn)行教材的解讀與演繹中，充分運(yùn)用師生行為的展示方式、知識(shí)的呈現(xiàn)梯度、知識(shí)與思想方法的歸納三個(gè)因素. 當(dāng)然，還有其他方面的考慮. 但“三維設(shè)計(jì)”是教材解讀與演繹的核心要素，運(yùn)用這一方法，有利于教師把握教材的核心問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

一、案例呈現(xiàn)

案例素材源自浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊“1.5 三角形全等的判定（3）”，其教學(xué)目標(biāo)是探索三角形全等的判定3，即會(huì)運(yùn)用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等.

1. 知識(shí)引入

（1）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：圖1是兩塊破碎的紙片，拿哪一塊能還原三角形？所選的紙片保留著幾個(gè)完整的條件？ [圖1]

（2）把含有兩個(gè)角和這兩個(gè)角的公共邊的三角形畫下來（已知BC = 3 cm，∠B = 30°，∠C = 60°，試用量角器和刻度尺畫△ABC），與同桌比較所畫的三角形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得出滿足怎樣條件的兩個(gè)三角形是全等三角形？

【設(shè)計(jì)意圖】從生活實(shí)際和作圖中凸顯三角形全等的三要素（兩角及這兩個(gè)角的夾邊），為后續(xù)得出三角形全等的判定3埋下伏筆.

2. 判定初形成

問題1：觀察圖2，你認(rèn)為下列哪些選項(xiàng)能得出△ABC ≌ △DEF？

（A）∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E

（B）∠A = ∠D，AC = DF，∠C = ∠F

（C）∠C = ∠F，BC = EF，∠B = ∠E

問題2：你能用文字描述出符合什么條件的兩個(gè)三角形是全等三角形嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納全等三角形的判定3：有兩個(gè)角和這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 簡寫為“角邊角”或“ASA”.

【設(shè)計(jì)意圖】從圖形語言的描述到文字語言的表達(dá)，體現(xiàn)從直觀到抽象的過程，讓學(xué)生充分感受文字語言表達(dá)的概括性、準(zhǔn)確性，學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)方式描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.

3. 典型學(xué)習(xí)

例1? 如圖3，已知∠CAE = ∠DAB，∠C = ∠1，AC = AE，求證：△ABC ≌ △ADE.

教學(xué)行為展示方式：提出問題—個(gè)體回答—師生再解—師生歸納.

變式1：若將圖3中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角，∠CAE = ∠DAB，∠C = ∠1，AC = AE，求證：△ABC ≌ △ADE.

變式2：若將圖3中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角，∠CAE = ∠DAB，∠C = ∠1，AC = AE，求證：△ABC ≌ △ADE.

對(duì)于變式1和變式2，教師先讓學(xué)生畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，如圖4和圖5所示，再進(jìn)行教學(xué)行為.

問題3：對(duì)于例1及其兩道變式的解決，我們運(yùn)用了哪些知識(shí)與方法？

鞏固練習(xí)：（1）如圖6，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求證：AC = AD.

（2）如圖7，已知點(diǎn)B，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，AB∥CD，AB = CD，∠A = ∠D.求證：AE = DF.

問題4：從以上三道練習(xí)題的解決中，大家有哪些感悟？

【設(shè)計(jì)意圖】及時(shí)用符號(hào)語言鞏固全等三角形的判定3，通過一組變式和鞏固練習(xí)，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了圖形語言的形成過程，而且讓學(xué)生感受到了變化中的不變，總結(jié)歸納解題的一般思維路徑，多角度、多層次地鞏固判定3. 及時(shí)總結(jié)學(xué)習(xí)方法，落實(shí)“四基”，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的前提.

例2? 如圖9，已知點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，∠B = ∠C，AB = AC. 求證：（1）AE = AD;（2）BM = CM.

教學(xué)行為展示方式：提出問題—個(gè)體回答—師生再解—師生歸納.

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)圖形較為復(fù)雜的例題，有利于培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜圖形中找到關(guān)鍵點(diǎn)的能力，直擊解題的本質(zhì)，從而能使學(xué)生熟練掌握全等三角形的判定，進(jìn)而拓展學(xué)生思維的寬度和深度，為深度學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思維的落地提供載體.

4. 小組合作，問題解決

例3? 如圖10，已知AB∥CD，AD∥CB，求證：AB = CD.

例4? 閱讀下面一段文字：泰勒斯是古希臘哲學(xué)家. 相傳，“兩個(gè)角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”就是泰勒斯首先提出的. 泰勒斯利用這個(gè)判定三角形全等的依據(jù)求出了岸上一點(diǎn)到海中一艘船的距離.

如圖11，點(diǎn)A是觀察點(diǎn)，船P在點(diǎn)A的正前方，過點(diǎn)A作AP的垂線l，在垂線l上截取任意長AB，O是AB的中點(diǎn). 觀測者從點(diǎn)B沿垂直于AB的BK方向走，直到點(diǎn)K、船P和點(diǎn)O在同一條直線上時(shí)停止，則BK的距離即為船到岸邊的距離. 試給出證明.

教學(xué)行為展示方式：提出問題—小組合作—小組匯報(bào)—師生再解—師生歸納.

【設(shè)計(jì)意圖】例3和例4都是對(duì)全等三角形判定的深層次運(yùn)用，通過構(gòu)造和建構(gòu)三角形，讓學(xué)生理解全等三角形判定的運(yùn)用方法及思維方式. 例題設(shè)計(jì)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建整體性觀念，進(jìn)而達(dá)到對(duì)全等三角形本質(zhì)上的理解. 同時(shí)，借助具體的情境，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的方法，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效載體之一.

二、案例解析

1. 師生行為的展示方式促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的提升

上述例題的教學(xué)行為展示方式的實(shí)質(zhì)是遵循以問題為主線，以個(gè)體或小組合作的形式為互動(dòng)平臺(tái)，全過程、全方位提升學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，并擇機(jī)采取全員再解答的形式進(jìn)行補(bǔ)償教學(xué)，師生及時(shí)對(duì)所學(xué)知識(shí)與方法進(jìn)行歸納，提升思維的深度. 師生行為展示的目的是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的提高. 數(shù)學(xué)表達(dá)能力作為一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)科思維能力，其內(nèi)涵包括合理運(yùn)用數(shù)學(xué)語言（文字語言、圖形語言和符號(hào)語言）表達(dá)、分析數(shù)學(xué)對(duì)象并解決數(shù)學(xué)問題，能在交流中闡明自身數(shù)學(xué)觀點(diǎn)或見解等.

該案例中的知識(shí)引入、判定初體驗(yàn)等環(huán)節(jié)都是從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)和知識(shí)的最近生成區(qū)這兩個(gè)視角來設(shè)計(jì)問題，遵循思維由淺入深、由易到難、由形象到抽象，逐步逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的原則. 這樣的問題具有思考價(jià)值和明確的指向性，能夠啟發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng). 葉瀾教授提出：人類的教育活動(dòng)起源于交往，教育是人類一種特殊的交往活動(dòng). 本案例中，教師采取師生互動(dòng)、小組合作和集體解答等形式展開教學(xué)活動(dòng)，關(guān)注課堂對(duì)話，尤其是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力和數(shù)學(xué)理解更為重視，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.“師生再解—師生歸納”的過程是本案例中始終采取的方法，對(duì)于剛接觸幾何的初中學(xué)生而言，用符號(hào)語言描述解答過程具有一定的難度，前面的互動(dòng)環(huán)節(jié)解決了學(xué)生邏輯思維上的困惑，而后者不僅能解決學(xué)生語言描述上的障礙，還能進(jìn)一步幫助學(xué)生理清思路并將其內(nèi)化為自己的理解. 緊接著，教師與學(xué)生一起歸納題目中蘊(yùn)涵的知識(shí)和思想方法. 這個(gè)環(huán)節(jié)更進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的方法體系，使得學(xué)生更加深入地理解了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與核心.

2. 運(yùn)用知識(shí)的呈現(xiàn)梯度培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

教材知識(shí)體系呈現(xiàn)梯度發(fā)展，而一節(jié)課的知識(shí)呈現(xiàn)順序也有梯度，好的梯度設(shè)計(jì)有利于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力. 上述案例中的教學(xué)思維正是教師對(duì)三角形全等判定3的內(nèi)涵與外延的考量，使得學(xué)生對(duì)于新接觸的知識(shí)，經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜、從直觀到抽象、從低階思維逐步到高階思維的發(fā)展過程.

（1）在簡單的三角形全等問題中落實(shí)低階思維.

該案例中，通過簡單的三角形全等問題及一系列變式型題組和開放型問題對(duì)三角形全等的判定3進(jìn)行凸顯，不僅能夠揭示知識(shí)的本質(zhì)，還能拓寬學(xué)生的知識(shí)面. 例如，例1—變式—鞏固練習(xí)，無不指向知識(shí)的核心本質(zhì)，落實(shí)低階思維，提高基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能達(dá)成率. 在設(shè)計(jì)時(shí)要考慮兩個(gè)三角形全等在“形”上的特征，從例1到變式題組的設(shè)計(jì)線索為“共角”的旋轉(zhuǎn)變換，鞏固型題組的設(shè)計(jì)線索是兩個(gè)三角形全等在“共邊”上的變化，并設(shè)計(jì)條件開放的題目，這些都能幫助學(xué)生從多角度、多方位理解知識(shí)的本源.

（2）在復(fù)雜三角形全等的問題中提升中階思維.

當(dāng)學(xué)生從簡單的圖形中認(rèn)識(shí)到知識(shí)的本源后，就要把知識(shí)的本源隱藏起來，讓條件弱化或是讓圖形更加復(fù)雜化，這些設(shè)計(jì)都能幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)事物外在與內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，使之形成事物的閉環(huán)系統(tǒng). 如案例中的例2，明顯比例1在圖形上具有復(fù)雜性和干擾性，出現(xiàn)了多個(gè)三角形全等的可能性，且使全等具有一定的隱藏性，但是問題的核心仍然不變，考查的還是全等三角形的判定3的運(yùn)用. 問題4具有一定的深度，隱藏著對(duì)學(xué)生幾何推理一般思維路徑的培養(yǎng)，有利于提高學(xué)生的中階思維能力，進(jìn)一步落實(shí)核心知識(shí).

（3）在構(gòu)造三角形全等的問題中培養(yǎng)高階思維.

當(dāng)中階思維得到提升時(shí)，教師要做的是如何使學(xué)生的思維向更高層次推演. 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的實(shí)際，教師從兩個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的高階思維：① 例3雖然圖形簡單，但三角形全等的“形”被隱藏了起來，學(xué)生需要通過添加輔助線，構(gòu)造出三角形來解決問題，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維;② 例4結(jié)合數(shù)學(xué)文化和實(shí)際問題，通過合理建模，構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來解決實(shí)際問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的建模思維和問題解決能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

對(duì)于例4，可以進(jìn)行如下改編.

閱讀下面一段文字：泰勒斯是古希臘哲學(xué)家. 相傳，“兩個(gè)角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”就是泰勒斯首先提出的. 泰勒斯利用這個(gè)判定三角形全等的依據(jù)求出了岸上一點(diǎn)到海中一艘船的距離. 如圖12，點(diǎn)A是觀察點(diǎn)，船P在點(diǎn)A的正前方，試結(jié)合上述原理，設(shè)計(jì)能測量PA長度的合理方案，并證明.

這樣設(shè)計(jì)的較好地吻合了PISA試題理念，相比原設(shè)計(jì)，該改編保留知識(shí)背景，去掉具體操作，使得試題更具有真實(shí)情境性且更加開放. 學(xué)生需要運(yùn)用知識(shí)搭建合理構(gòu)圖去解決問題，在這個(gè)過程中能夠有效培養(yǎng)學(xué)生理解知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)、反思評(píng)價(jià)的能力，更能發(fā)展學(xué)生積極合作的學(xué)習(xí)態(tài)度，從而培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和能力.

3. 善用知識(shí)與思想方法的歸納成就學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系的方法

在教學(xué)實(shí)踐中，不可避免地要進(jìn)行知識(shí)與思想方法的歸納，何時(shí)進(jìn)行歸納？仁者見仁，智者見智. 一節(jié)緊湊的課中每個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)都具有一定的教育意圖，體現(xiàn)了教師對(duì)學(xué)生和教材的理解與解讀. 教師應(yīng)該適時(shí)地進(jìn)行歸納和升華，使之切合整節(jié)課的核心知識(shí)和思維能力的達(dá)成.

如上述案例中的每個(gè)環(huán)節(jié)中，教師都會(huì)與學(xué)生一起經(jīng)歷師生歸納.“例1—變式—鞏固”環(huán)節(jié)歸納如下：① 求證角相等的策略有公共角、角的和差關(guān)系、互補(bǔ)（余）角的關(guān)系、三角形的外角推論、平行線的性質(zhì)等;② 求證邊相等的策略有：公共邊、線段的和差關(guān)系. 例2環(huán)節(jié)歸納為：求證角相等的策略為全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等. 例3環(huán)節(jié)歸納為：常用輔助線的添加方法，構(gòu)造三角形全等的方法. 通過上述的師生活動(dòng)，逐步顯現(xiàn)在學(xué)生眼前的是一張完整的推理思維導(dǎo)圖（如圖13），結(jié)合學(xué)生的實(shí)踐和總結(jié)，教師有意識(shí)地滲透推理思維導(dǎo)圖，這些必將改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維方式，逐步使學(xué)生掌握建構(gòu)知識(shí)體系的方法，確保培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

長期的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，教師的備課思考與課堂教學(xué)若能在師生行為的展示方式、知識(shí)的呈現(xiàn)梯度、知識(shí)與思想方法的歸納等方面有所考慮，就一定能落實(shí)好“四基”，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心思維.

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