垂徑定理：從歷史到課堂

王娟 汪曉勤

摘? 要：通過對不同時期、不同地區(qū)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)的考察，勾勒出垂徑定理的歷史發(fā)展脈絡(luò). 古巴比倫、中國和印度的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，已經(jīng)蘊(yùn)含了垂徑定理的應(yīng)用.《幾何原本》中最早明確提出了垂徑定理，使其登上了幾何學(xué)的歷史舞臺. 18世紀(jì)，勒讓德在《幾何基礎(chǔ)》中豐富了垂徑定理的內(nèi)容. 垂徑定理的歷史為今日教學(xué)提供了豐富的素材和思想養(yǎng)料.

關(guān)鍵詞：垂徑定理;應(yīng)用;證明;教學(xué)啟示

一、引言

近年來，HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體相繼開發(fā)了一系列初中數(shù)學(xué)課例，如三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角與對頂角、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線、演繹證明等，這些課例由于其蘊(yùn)含的多元教育價值而受到初中一線教師的喜愛，越來越多的教師對HPM產(chǎn)生了濃厚的興趣. 他們希望學(xué)習(xí)和借鑒更多的HPM課例，以提升自己的課堂教學(xué)，并促進(jìn)自己的專業(yè)發(fā)展. 但是，由于缺乏教育取向的數(shù)學(xué)史研究，初中數(shù)學(xué)課程中很多知識點(diǎn)背后的歷史對教師來說都是盲點(diǎn). 缺乏歷史知識和歷史素材，“將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)”就成了一句空話.

垂徑定理是中學(xué)平面幾何的重要定理，該定理及其推論是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時也為圓的有關(guān)計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù). 我國現(xiàn)行的五個版本的數(shù)學(xué)教材（人教版、蘇科版、滬教版、北師大版、浙教版）通過翻折圓形紙片、探求趙州橋橋拱半徑或?qū)ふ規(guī)缀螆D形中的等量關(guān)系來引入垂徑定理，再給出定理的內(nèi)容，然后對定理進(jìn)行證明，最后給出與定理相關(guān)的練習(xí)題. 已有的教學(xué)設(shè)計(jì)大多關(guān)注垂徑定理的證明和應(yīng)用. 除了個別版本教材將中國古代數(shù)學(xué)問題編入習(xí)題外，大部分?jǐn)?shù)學(xué)教材和已有的教學(xué)設(shè)計(jì)都很少涉及該定理的歷史.

那么，垂徑定理經(jīng)歷了怎樣的歷史發(fā)展過程？有關(guān)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)是如何呈現(xiàn)該定理的？有哪些理想的教學(xué)素材？對今日的教學(xué)有什么思想啟迪？為了開展數(shù)學(xué)史融入垂徑定理教學(xué)的課例研究，我們需要對上述問題做出回答.

二、垂徑定理的歷史

1. 古巴比倫

兩河流域的先民很早就知道了垂徑定理的結(jié)論. 在當(dāng)時的美索不達(dá)米亞地區(qū)，人們已經(jīng)認(rèn)識到一些重要的幾何關(guān)系，如等腰三角形的高平分它的底. 因此，在一個已知半徑的圓中，給出弦長，就能求出弦心距. 他們雖未明確提出垂徑定理的具體內(nèi)容，但在古巴比倫時期（公元前1800年—公元前1600年）數(shù)學(xué)泥版所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題中，我們可以窺見垂徑定理的相關(guān)應(yīng)用.

大英博物館所藏?cái)?shù)學(xué)泥版BM 85194上載有如下的問題：已知圓周長為60，弓形高為2，弦長為多少？

如圖1，圓的直徑為d，弓形高為s，弦長為a，古巴比倫人認(rèn)為圓周是直徑的3倍，故d[=]20，泥版給出計(jì)算公式為弦長[a=d2-b2][=]12，其中b[=]d - 2s[=]16. 顯然，古巴比倫人已掌握圓的軸對稱性質(zhì)，并且知道“過平行弦中點(diǎn)的直線過圓心且垂直于該組平行弦”這一結(jié)論，故根據(jù)勾股定理可以求出弦長a.

泥版BM 85194中另載有類似的問題：已知圓周長為60，弦長為12，弓形高為多少？

此外，古巴比倫時期數(shù)學(xué)泥版TMS1中載有如下問題：已知三角形的三邊長分別為50，50和60，求三角形外接圓的直徑. 如圖2，設(shè)三角形的頂點(diǎn)為A，B，C，AB = AC = 50，BC = 60，過點(diǎn)A作高線AD，外心O在AD上.

泥版上的解法為：由垂徑定理可知，[CD=12CB=][30.] 由勾股定理，知[AD2=AC2-][CD2]，故求得AD[=]40. 然后，在Rt△OCD中，再次利用勾股定理，解得△ABC的外接圓半徑OC為[1254].

2. 古希臘

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》第三卷給出如下命題：如果在一個圓中，一條經(jīng)過圓心的直線二等分一條不經(jīng)過圓心的弦，則它們成直角;而且如果它們成直角，則該直線二等分這一條弦. 命題的后半部分就是我們今天所說的垂徑定理的一部分，前半部分在今天的教材中是作為垂徑定理推論呈現(xiàn)的，它是垂徑定理的逆命題. 該命題與現(xiàn)在教材中的表述略有不同，由“垂直”得到“平分”時，未提及“垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧”.

歐幾里得先證由“平分”到“垂直”：如圖3，已知直徑CD等分不過圓心的弦AB，在△AEF和△BEF中，EA = EB，EF為公共邊，弦AB被點(diǎn)F平分，即FA = FB，由《幾何原本》第一卷命題8（“SSS”定理），可知∠AFE[=]∠BFE. 進(jìn)一步地，根據(jù)第一卷定義10（當(dāng)兩條直線相交所形成的鄰角彼此相等時，兩直線垂直），可知CD⊥AB.

再證由“垂直”到“平分”：如圖3，已知CD⊥AB，在△AEF和△BEF中，EA[=]EB. 根據(jù)第一卷命題5（等腰三角形兩底角相等），可得∠EAF[=]∠EBF. 又因?yàn)椤螦FE和∠BFE均為直角，EF為公共邊，根據(jù)第一卷命題26（“AAS”定理），可知AF = BF.

歐幾里得的證明嚴(yán)謹(jǐn)且簡單，他分別運(yùn)用“SSS”定理和“AAS”定理證明兩個三角形全等，得到相應(yīng)的垂直和平分關(guān)系，這種證明方法現(xiàn)在也被我國大部分的中學(xué)數(shù)學(xué)教材所采用.

3. 中國

（1）《九章算術(shù)》.

中國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》勾股章所載的“圓材埋壁”問題涉及垂徑定理的相關(guān)知識. 原文為：今有圓材，埋在壁中，不知大小. 以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺. 問徑幾何？答曰：材徑二尺六寸. 術(shù)曰：半鋸道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材徑.

如圖4，鋸道長為弦AD = a，鋸深為弓形高CB = s，欲求直徑d的長.《九章算術(shù)》給出的解法是[d=12a2s+s]. 還原其步驟，可知[d-s=BE=12a2s]. 因?yàn)锳D⊥CE，由射影定理，得[BE=AB2s]. 故有[12a=AB]. 可見，此時的數(shù)學(xué)家已熟悉垂徑定理的結(jié)論了.

（2）劉徽的割圓術(shù).

三國時期的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”注中，提出以“割圓術(shù)”作為計(jì)算圓周長、面積、圓周率的基礎(chǔ). 割圓術(shù)的要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，而在“割圓”的過程中隱含著垂徑定理的內(nèi)容.

如圖5，設(shè)☉O的半徑為R，圓內(nèi)接正n邊形的邊長、面積分別為an，Sn，圓內(nèi)接正2n邊形的邊長、面積分別為a2n，S2n. 已知an，劉徽用以下公式求出a2n和S2n.

這樣，從n = 6開始，劉徽依次計(jì)算邊數(shù)倍增的圓內(nèi)接正多邊形的邊長和面積. 上述兩個公式都建立在垂徑定理的基礎(chǔ)之上，可見，劉徽對于該定理的結(jié)論是了然于心的.

4. 古印度

公元6世紀(jì)，古印度數(shù)學(xué)家阿耶波多（Aryabhata，476年—550年）在其著作《阿耶波多歷數(shù)書》中給出了圓的弦、矢與直徑三個量之間的關(guān)系. 如圖6，☉O內(nèi)有直徑CD = d，弦AB = a，矢CE = s，阿耶波多的結(jié)論是[a22=][sd-s]（1）.

12世紀(jì)，婆什迦羅（Bhaskara，1114年—1185年）在其著作《莉拉沃蒂》中在阿耶波多的基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出了“矢弦法則”：取弦直徑和與差之積的平方根，從直徑中減之，折半，則為矢也. 直徑減去矢，乘以矢，取平方根，二倍之，則為弦也. 半弦之平方除以矢，加矢則為直徑之大小也. 往昔之師關(guān)于圓之法如是說.

婆什迦羅所說的“往昔之師”就是阿耶波多. 如圖7，根據(jù)垂徑定理，當(dāng)CD^AB時，EA = EB. 連接AD，OA，AC，在Rt△ACD中，由射影定理，易得阿耶波多的關(guān)系式（1），即[a=2sd-s]. 又由（1）可得[d=a22 · 1s+s]. 在Rt△OAE中，由勾股定理，易得[d22=][a22+d2-s2]. 故得[s=12d-d+ad-a].

5. 近代歐洲

17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家巴蒂（I.G.Pardies，1636年—1673年）在其著作《幾何基礎(chǔ)》（如圖8）中將垂徑定理表述成“弦bc被經(jīng)過圓心a的垂線ad所平分”. 在證明定理之后，巴蒂補(bǔ)充了結(jié)論“弧bc也被平分”. 巴蒂的《幾何基礎(chǔ)》由法國來華天主教傳教士譯成滿文和漢文，漢文后被收入康熙皇帝主編的《數(shù)理精蘊(yùn)》中. 因此，作為一個幾何定理，垂徑定理在清初傳入中國.

<F：＼@@@初中＼@2020年中數(shù)飛翔＼中數(shù)初中2020年第12期＼王娟1.png><F：＼@@@初中＼@2020年中數(shù)飛翔＼中數(shù)初中2020年第12期＼王娟3.png>[圖8][巴蒂《幾何基礎(chǔ)》書影][（1）][（2）]

1741年，法國數(shù)學(xué)家克萊羅（A.C.Clairaut，1713年—1765年）在《幾何基礎(chǔ)》第三卷命題24中給出垂徑定理：如果兩條線段彼此垂直，并且其中一條線段是圓的直徑，那么另一條線段將被平分. 克萊羅僅僅敘述了垂徑定理由“垂直”到“平分”的部分，而且只有“弦”被平分，沒有“弧”被平分，僅陳述定理內(nèi)容，沒有給出具體的證明，不涉及定理應(yīng)用.

1794年，法國數(shù)學(xué)家勒讓德（A.M.Legendre，1752年—1833年）的《幾何基礎(chǔ)》出版. 此書出版后，取代了歐幾里得的《幾何原本》作為幾何教材的地位，產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響. 書中給出并證明了垂徑定理：垂直于弦的半徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧. 與歐幾里得和克萊羅不同的是，勒讓德在命題中增加了“半徑平分弦所對的兩條弧”的結(jié)論，首次使垂徑定理具有我們在今日教材中所看到的完整形式.

勒讓德先證明命題“任何不在線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離不相等”，將該命題記為命題①. 如圖9，已知直線l為線段EF的中垂線，取直線l外任意一點(diǎn)M，連接ME，MF，ME與直線l交于點(diǎn)P，連接PF. 在△MPF中，MF < MP + PF. 又因?yàn)镸P + PF = MP + PE = ME，所以MF < ME. 同理，當(dāng)點(diǎn)M在直線l另一側(cè)時，可得MF > ME，即線段EF的中垂線外任意一點(diǎn)到E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離不相等.

接著，勒讓德利用命題①來證明垂徑定理. 如圖10，在☉C中，半徑CG⊥AB，連接CA，CB，因?yàn)镃A = CB，所以點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，即AD = DB. 可以合理推測這一步驟的證明，勒讓德的依據(jù)是命題①的逆否命題“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的中垂線上”. 再連接GA，GB，顯然點(diǎn)G在AB的中垂線上，所以GA = GB，根據(jù)“等弦對等弧”，可知[GA]=[GB].

三、結(jié)論與啟示

1. 歷史結(jié)論

通過對不同時期、不同地區(qū)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)的考察，可以勾勒出垂徑定理的歷史發(fā)展脈絡(luò). 古代兩河流域的數(shù)學(xué)泥版經(jīng)歷歲月長河的洗滌，向我們展現(xiàn)了古巴比倫人的智慧水平，他們已經(jīng)知道了垂直于弦的直徑與弦的幾何關(guān)系;中國數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中的“圓材埋壁”問題和劉徽的“割圓術(shù)”等都隱含了垂徑定理的結(jié)論;中世紀(jì)印度數(shù)學(xué)名著《莉拉沃蒂》中的“矢弦法則”與垂徑定理息息相關(guān). 因此，在歐幾里得之前，盡管古代東方數(shù)學(xué)家從未用文字明確表述過垂徑定理，但定理的結(jié)論卻已為他們所熟知. 歐幾里得在《幾何原本》中最早明確提出垂徑定理及其逆命題，讓垂徑定理登上了初等幾何學(xué)的歷史舞臺. 17—18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家巴蒂、克萊羅、勒讓德分別在各自的幾何教材中給出了垂徑定理，勒讓德的《幾何基礎(chǔ)》豐富了垂徑定理的內(nèi)容，使之有了我們今天十分熟悉的完整形式.

2. 教學(xué)啟示

垂徑定理的歷史可以豐富教師的教學(xué)，促進(jìn)教師對于該定理的理解. 圖11為垂徑定理的知識脈絡(luò).

（1）問題導(dǎo)入.

垂徑定理在被提出之前，已經(jīng)在歷史長河中經(jīng)歷了漫長的積淀，人們首先在生產(chǎn)生活中使用它，再對其進(jìn)行提煉、組織，使之形成一個定理. 弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法就是“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造所學(xué)知識. 因此，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可以為學(xué)生探索新知創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，可以選取的歷史素材有古巴比倫泥版上的數(shù)學(xué)問題、《九章算術(shù)》中的“圓材埋壁”問題，以及古印度數(shù)學(xué)問題等. 然后，幫助學(xué)生將具體的問題抽象成幾何圖形，基于幾何直觀和合情推理，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)垂徑與弦之間可能存在的垂直、平分關(guān)系，并試著總結(jié)學(xué)生的猜想——垂直于弦的直徑平分弦.

（2）證明猜想.

在這一環(huán)節(jié)，教師可以將學(xué)生分成小組，以組為單位探究證明“垂直于弦的直徑平分弦”，然后讓小組代表分別陳述自己小組的證明方法. 接著，教師可以采用古今聯(lián)系的策略對學(xué)生的證明給出評價. 從“提出猜想”到“證明猜想”，學(xué)生經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)和研究過程，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

與古代中國崇尚實(shí)用的學(xué)術(shù)文化不同，古希臘的學(xué)術(shù)不僅要解決真理“是什么（What）”的問題，還要回答“為什么（Why）”的問題，“唯理論”的學(xué)術(shù)風(fēng)氣很盛. 這可以解釋為什么垂徑定理首次被歐幾里得提出并證明，教師可以借此向?qū)W生滲透古希臘理性思維的偉大價值.

（3）歸納定理.

從歐幾里得的《幾何原本》到勒讓德的《幾何基礎(chǔ)》，時間跨越千年，直到18世紀(jì)，垂徑定理才擁有完整的形式. 了解這段歷史可以幫助教師把握學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，學(xué)生可能會很容易發(fā)現(xiàn)“弦被平分”，但“弧被平分”是不易見的. 教師在課堂上應(yīng)該多花時間，讓學(xué)生分別從文字語言、符號語言、圖形語言三個角度來掌握垂徑定理的完整形式. 另外，“垂直于弦的直徑”在歷史上有多種表述，包括“垂直于弦且過圓心的直線”“垂直于弦的半徑”“圓心到弦的垂線段”，其本質(zhì)特性是“過圓心”. 教師在課堂上可以分別給出對應(yīng)的幾何圖形，讓學(xué)生找出共同特征，把握垂徑定理中“過圓心”這一關(guān)鍵條件.

（4）定理應(yīng)用.

波利亞曾說過，一個專心的、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域. 教師可以從垂徑定理的歷史中擇取教學(xué)素材，設(shè)計(jì)變式練習(xí)，在學(xué)生歸納出定理的內(nèi)容之后，讓學(xué)生趁熱打鐵、循序漸進(jìn)，幫助學(xué)生有效鞏固對垂徑定理及其推論的掌握. 此外，古印度數(shù)學(xué)家阿波耶多、婆什迦羅給出了圓中的弦、矢、直徑三個量之間“知二求一”的關(guān)系，其中涉及勾股定理，教師可以在課堂上引入這段歷史，啟發(fā)學(xué)生通過作輔助線來構(gòu)造直角三角形，理清做該類型題的思路.

教師基于數(shù)學(xué)史問題設(shè)計(jì)探究活動，讓學(xué)生經(jīng)歷垂徑定理的發(fā)現(xiàn)和研究過程，從而構(gòu)建“知識之諧”，彰顯“方法之美”，營造“探究之樂”. 古人對于垂徑定理的運(yùn)用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系，而不同時空的數(shù)學(xué)家在垂徑定理這一課題上所做出的貢獻(xiàn)和取得的成就又揭示了數(shù)學(xué)文化的多元性，從而向?qū)W生展示數(shù)學(xué)的“文化之魅”. 垂徑定理的歷史呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)定理的演進(jìn)性，有助于讓學(xué)生形成動態(tài)的數(shù)學(xué)觀并感悟數(shù)學(xué)背后的理性精神，因而數(shù)學(xué)史可以幫助教師達(dá)成“德育之效”.

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