幾何解題研究的方法與思考

胡堅(jiān)波

摘? 要：解題教學(xué)是必不可少的一種課堂教學(xué)形式，教師解題研究的能力直接影響到學(xué)生對(duì)問(wèn)題理解的深度. 教師只有掌握了解題研究的一般方法，才能在課堂中引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，從而優(yōu)化解法，并進(jìn)一步帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)而得到一般性的結(jié)論，最終提高學(xué)生的解題能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 文章以2020年中考浙江杭州卷第14題的研究為例，談?wù)剮缀谓忸}研究的一般方法.

關(guān)鍵詞：中考試題;解題研究;一般方法

中考試題的命制往往有其意義，一道看似不起眼的試題，其中很可能蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)容. 如果繼續(xù)探究下去，或許就能發(fā)現(xiàn)試題背后隱藏的深意，從而體現(xiàn)解題的育人價(jià)值. 本文以2020年中考浙江杭州卷第14題為例，談?wù)剳?yīng)該怎樣進(jìn)行幾何解題的研究.

作為填空題的第4道題，試題本身不難，主要考查了三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí). 不妨設(shè)BC = 1，則AC = 3.? 解得[AB=22，OB=2.] 則[tan ∠BOC=22.] 作為填空題，此題的求解到這里就結(jié)束了，但是作為解題研究，現(xiàn)在才剛剛開始.

一、獲得研究對(duì)象

研究圖形要抓住圖形的本質(zhì)，為了更容易抓住本質(zhì)，幾何研究要做減法，即去掉非關(guān)鍵因素. 此題中，可以隱去圓，那么題目條件等價(jià)于“如圖2，∠ABM = 90°，點(diǎn)C在射線BM上，O是AB的中點(diǎn)”. 觀察圖形的結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)C的位置確定了，則整個(gè)圖形的形狀就隨之確定，即∠BOC，∠BAC，∠ACO，∠BCO的度數(shù)也隨之確定. 原試題就是在確定的條件下進(jìn)行的定量研究，而研究圖形變化過(guò)程中的規(guī)律性也是幾何研究的常見問(wèn)題. 在圖2中，當(dāng)點(diǎn)C的位置變化時(shí)，∠BOC，∠BAC，∠ACO，∠BCO的大小也隨之改變. 當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)B向射線BM的方向移動(dòng)時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)∠BOC和∠BAC的度數(shù)變大，∠OCB的度數(shù)變小，但無(wú)法很快確定∠ACO的變化情況. 接下來(lái)，我們進(jìn)一步探究∠ACO的變化情況.

二、借助技術(shù)獲得初步猜想

幾何問(wèn)題的研究一般要經(jīng)歷畫圖、測(cè)量、計(jì)算、猜想、證明的過(guò)程. 幾何畫板軟件為我們畫圖、測(cè)量、計(jì)算提供了很好的輔助. 利用幾何畫板軟件對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行初步研究、獲得猜想，是常見的研究起點(diǎn). 利用幾何畫板軟件，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)B向射線BM的方向移動(dòng)時(shí)，∠ACO的度數(shù)先變大后變小，且∠ACO取到的最大值約為19.47°（如圖3）. 進(jìn)一步計(jì)算，發(fā)現(xiàn)此時(shí)sin ∠ACO ≈ 0.33.

三、從“數(shù)”的角度驗(yàn)證猜想

通過(guò)利用幾何畫板軟件進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的位置決定了∠ACO的大小，而點(diǎn)C的位置可以用BC的長(zhǎng)度來(lái)刻畫，所以繼續(xù)探究的思路是用BC的長(zhǎng)度表示sin ∠ACO.

四、從“形”的角度驗(yàn)證猜想

前面我們從“數(shù)”的角度驗(yàn)證了猜想，接下來(lái)我們從“形”的角度來(lái)思考. 抓住變化過(guò)程中不變的關(guān)系是研究幾何問(wèn)題的常用方法. 進(jìn)一步觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C的位置發(fā)生改變時(shí)，∠ACO所對(duì)的邊AO的長(zhǎng)度始終沒有發(fā)生變化. 即角度在變，角度所對(duì)的邊不變. 這讓我們聯(lián)想到了圓中同弦所對(duì)的角. 構(gòu)造過(guò)A，C，O三點(diǎn)的⊙D. 如圖4，若⊙D與射線BM相交，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E. 在線段CE上任意取一點(diǎn)F（除點(diǎn)C，E外），連接AF，OF，根據(jù)圓內(nèi)角大于同弧所對(duì)的圓周角，可得∠AFO>∠ACO. 故可知此時(shí)∠ACO的度數(shù)并沒有取得最大值.

如圖5，若⊙D與射線BM相切于點(diǎn)C，在射線BM上任意取一點(diǎn)G（除點(diǎn)C外），連接AG，OG，根據(jù)圓外角小于同弧所對(duì)的圓周角，可得∠AGO<∠ACO. 故此時(shí)∠ACO取到最大值，于是得到第一個(gè)有價(jià)值的結(jié)論.

結(jié)論1：∠ACO取到最大值的充要條件是過(guò)A，C，O三點(diǎn)的⊙D與射線BM相切.

接下來(lái)，求此時(shí)∠ACO的正弦值及BC的長(zhǎng). 可以沿用前面的解題思路，分別求出線段AO，OC，AC，BC的長(zhǎng)度，再利用△ACO的面積求解.

“數(shù)”和“形”兩種思考方法都能驗(yàn)證猜想，可見這也是我們解決幾何問(wèn)題的一般思路. 對(duì)比兩種思路，從“數(shù)”的角度思考，往往需要設(shè)未知變量，再利用勾股定理、相似、面積關(guān)系、三角函數(shù)等，列出未知變量與所求量之間的關(guān)系，然后用代數(shù)的方法求解;從“形”的角度思考，往往需要根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)，抓住圖形中不變的關(guān)系，構(gòu)建出幾何模型，再根據(jù)圖形性質(zhì)求解. 用“數(shù)”的方法容易想到，但計(jì)算較復(fù)雜;用“形”的方法比較直觀，計(jì)算也相對(duì)簡(jiǎn)單，但是要弄清楚幾何模型結(jié)構(gòu)有一定的難度，需要的知識(shí)綜合度高，也需要一定的邏輯推理. 數(shù)形結(jié)合的思想方法在教學(xué)中有其育人價(jià)值，在解題教學(xué)中我們應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生必需的基本數(shù)學(xué)思想.

五、追本溯源

其實(shí)，本問(wèn)題在數(shù)學(xué)史中已經(jīng)存在，稱為“米勒問(wèn)題”. 德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒于1471年提出“塑像問(wèn)題”：有一個(gè)高a米的塑像立在一個(gè)高b米的底座上，一個(gè)人朝它走去（人的高度忽略不計(jì)），問(wèn)此人應(yīng)站在離塑像底座多遠(yuǎn)的地方，才能使塑像看上去最大（即視角最大）？根據(jù)題意畫出圖形，如圖7，AO為雕像，BO為底座，點(diǎn)C表示人，求∠ACO最大時(shí)，BC的長(zhǎng).

這與我們研究的問(wèn)題非常相似，只是點(diǎn)O的位置不再是中點(diǎn)，這為我們進(jìn)一步研究問(wèn)題提供了思路，即可以改變圖形的條件，使之更具一般性，進(jìn)而獲得一般性的結(jié)論，這是我們進(jìn)一步研究幾何問(wèn)題的方向.

六、改變條件進(jìn)一步探究

1. 改變點(diǎn)O的位置

受“米勒問(wèn)題”的啟發(fā)，我們可以改變點(diǎn)O的位置，使之一般化，為了研究的連貫性，不妨設(shè)AB = 2，AO = n（0

結(jié)論2：如圖8，設(shè)∠ABM = 90°，AB = 2，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，AO = n（0

2. 改變∠ABM的大小

此題條件里動(dòng)點(diǎn)C所在的射線BM與AB垂直，顯然條件中的位置比較特殊. 若從這個(gè)角度改變條件，當(dāng)射線BM與AB不垂直，即∠ABM ≠ 90°時(shí)，相當(dāng)于“米勒問(wèn)題”中的雕像及底座與地面不垂直時(shí)，那么結(jié)論2是否仍成立？因?yàn)椤螦BM ≠ 90°，所以四邊形DCBH不再是矩形，即DC ≠ BH. 求半徑的解法相應(yīng)會(huì)有所改變，猜想sin ∠ACO的值與∠ABM的度數(shù)有關(guān). 因?yàn)榻Y(jié)論1與∠ABM的大小無(wú)關(guān)，所以結(jié)論1仍然成立. ∠ACO取到最大值時(shí)，過(guò)A，C，O三點(diǎn)的⊙D與射線BM相切，故圓冪定理仍然適用，所以[BC=BO · BA=4-2n.] 所以可得第三個(gè)有意義的結(jié)論.

結(jié)論3：設(shè) [∠ABM=α]（0°<[α]<180°），AB = 2，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，AO = n（0

接下來(lái)，求sin ∠ACO. 因?yàn)椤螦BM有銳角和鈍角兩種情況，所以要分兩種情形分類進(jìn)行研究.

情形1：如圖9，當(dāng)0°<[α]<90°時(shí)，⊙D與射線BM相切于點(diǎn)C. 根據(jù)前面的猜想sin ∠ACO會(huì)與[α]有關(guān)，為了將[α]用上，所以考慮作垂線構(gòu)造直角三角形. 作DH⊥AO于點(diǎn)H，BE⊥AB交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作DF⊥BE于點(diǎn)F.

易證[∠CBE=∠EDF=90°-α，DF=BH=2-n2.] 所以[DE=DFcos90°-α=4-n2sinα，CE=BC · tan90°-α=][4-2n · tan90°-α，AD=DC=DE-CE=4-n2sinα-4-2n ·][tan90°-α=4-n-24-2ncosα2sinα.? sin∠ACO=sin∠ADH=]

情形2：如圖10，當(dāng)[90°<α<180°]時(shí)，⊙D與射線BM相切于點(diǎn)C. 同樣作DH⊥AO于點(diǎn)H，作BE⊥AB交DC于點(diǎn)E，作DF⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

易證∠CBE = ∠EDF = α - 90°，[DF=BH=2-n2.] 所以[DE=DFcosα-90°=4-n2sinα，CE=BC · tanα-90°=][4-2n · tanα-90°，AD=DC=DE+CE=4-n2sinα+4-2n ·][tanα-90°=4-n-24-2ncosα2sinα. sin∠ACO=sin∠ADH=][AHAD=nsinα4-n-24-2ncosα.]

發(fā)現(xiàn)兩種情形最后結(jié)果的表達(dá)式是一致的，而把[α=90°] 代入，得[sin∠ACO=nsinα4-n-24-2ncosα=n4-n.] 與之前的計(jì)算結(jié)果一致，可見角度在變，結(jié)果的表達(dá)式不變，得到了變化過(guò)程中不變關(guān)系的本質(zhì)，于是得到了問(wèn)題的一般性結(jié)論.

結(jié)論4：設(shè)[∠ABM=α]（0° <[α]< 180°），AB = 2，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，AO = n（0

3. 將射線BM改為直線BM

當(dāng)射線BM改為直線BM時(shí)，相當(dāng)于“米勒問(wèn)題”中人可以站到雕像的背面進(jìn)行觀察. 如圖11，當(dāng)點(diǎn)C在直線BM上移動(dòng)時(shí)，由前面的研究可知，當(dāng)點(diǎn)C在射線BM1和BM2上時(shí)，分別有一個(gè)點(diǎn)C1和點(diǎn)C2，使得∠AC1O和∠AC2O在各自的射線上取到最大值，那么∠AC1O和∠AC2O哪個(gè)更大一些呢？顯然，當(dāng)BM⊥AB時(shí)，BC1 = BC2，由對(duì)稱性可知∠AC1O = ∠AC2O. 當(dāng)BM與AB不垂直時(shí)，不妨設(shè)[∠ABC1=α]（0° <[α]< 90°），則[∠ABC2=180°-α.] 根據(jù)結(jié)論4，可以得到[sin ∠AC1O=nsinα4-n-24-2ncosα，][sin ∠AC2O=nsinα4-n+24-2ncosα.] 因?yàn)? < cos α < 1，所以sin ∠AC1O>sin ∠AC2O. 所以∠AC1O>∠AC2O. 得到結(jié)論5.

結(jié)論5：如圖11，當(dāng)點(diǎn)C在直線BM上時(shí)，設(shè)AB = 2，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，AO = n（0

七、解后思考

回顧整個(gè)研究過(guò)程，通過(guò)圖形的變化將一個(gè)確定的圖形變?yōu)椴淮_定的圖形，從而獲得研究對(duì)象. 而對(duì)于變化中規(guī)律的研究，入手比較難，這時(shí)信息技術(shù)為化解難點(diǎn)提供了幫助. 借助幾何畫板軟件，不僅能方便地展示圖形變化的過(guò)程，而且可以通過(guò)教師有意識(shí)地控制幫助學(xué)生觀察影響變化的要素及其關(guān)系，從而獲得初步的猜想. 接著，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度驗(yàn)證了該猜想，進(jìn)一步體會(huì)到幾何問(wèn)題在“數(shù)”和“形”上的統(tǒng)一，體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想在解題中的重要作用. 在引出“米勒問(wèn)題”后，通過(guò)進(jìn)一步改變條件——點(diǎn)的位置變化、角度的大小變化、射線變?yōu)橹本€等，發(fā)現(xiàn)了在條件變化過(guò)程中不變的結(jié)論. 通過(guò)這樣的解題教學(xué)研究可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到研究幾何問(wèn)題的一般方法——從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般.

整個(gè)研究過(guò)程，具備學(xué)習(xí)素材的真實(shí)性，問(wèn)題的開放性，學(xué)習(xí)過(guò)程的探索性，學(xué)習(xí)手段的操作性，探索過(guò)程的動(dòng)態(tài)化、可視化，學(xué)習(xí)體驗(yàn)的形象化、可表達(dá)，學(xué)習(xí)結(jié)果的創(chuàng)造性. 這些都有利于在今后的學(xué)習(xí)中，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)幾何解題教學(xué)的育人價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

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