善用數(shù)形結(jié)合思想促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

【摘要】本文論述利用數(shù)形結(jié)合思想促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的方法，建議教師利用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生理解算理，掌握計(jì)算方法，深化圖形認(rèn)識(shí)，精準(zhǔn)把握?qǐng)D形概念，探尋有效的問(wèn)題解決策略，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 思維發(fā)展

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）05-0105-02

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)表示數(shù)量關(guān)系，是抽象的符號(hào)化語(yǔ)言;形表示空間形式，是直觀的圖形語(yǔ)言。就小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)而言，能用數(shù)來(lái)表示的內(nèi)容有數(shù)、運(yùn)算、方程等，能用形表示的內(nèi)容有數(shù)軸、位置、正比例圖象等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)與形相互補(bǔ)充，兩者各有優(yōu)勢(shì)。這就需要教師在課堂教學(xué)中將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)具體化、形象化，從而帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、利用數(shù)形結(jié)合掌握計(jì)算方法

在小學(xué)階段，數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算是十分重要的教學(xué)內(nèi)容。小學(xué)生的抽象思維比較薄弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要借助生動(dòng)具體的直觀形象，因此，教師要從小學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)入手，將數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)直觀形象的數(shù)學(xué)特征，幫助學(xué)生理解數(shù)的運(yùn)算原理，建構(gòu)數(shù)的抽象概念。

比如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生對(duì)算法有更深刻的理解，筆者從三個(gè)層次展開(kāi)教學(xué)：

第一層次：畫(huà)圖表示

筆者出示一道例題：拖拉機(jī)每小時(shí)耕地[12]公頃，[23]個(gè)小時(shí)能耕地多少公頃？學(xué)生讀題后，筆者讓學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系畫(huà)示意圖表示，學(xué)生習(xí)慣用線段圖表示（如圖1所示）。

筆者引導(dǎo)學(xué)生想一想：要表示[12]的[23]用哪一種圖示更好？學(xué)生發(fā)現(xiàn)用長(zhǎng)方形圖示呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系更為清楚（如圖2所示）。

第二層次：演繹動(dòng)態(tài)過(guò)程

筆者讓學(xué)生根據(jù)圖示動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)整個(gè)畫(huà)圖過(guò)程。學(xué)生通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，重新梳理分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的動(dòng)態(tài)過(guò)程：一公頃平均分成兩份，取其中的一份就是[12]公頃;再把[12]公頃等分成三份，取其中的兩份，這就是[12]公頃的[23]（如圖3）。

第三層次：總結(jié)算法

筆者讓學(xué)生觀察圖示中的結(jié)果，學(xué)生能很容易得到答案[26]。緊接著筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：6是什么意思？和2有什么關(guān)系？?jī)蓚€(gè)分?jǐn)?shù)的分子和6有什么關(guān)系？通過(guò)討論，學(xué)生重新梳理整個(gè)計(jì)算過(guò)程：[12]×[23]=[1×22×3]=[26]，由此深入理解算理。

在以上環(huán)節(jié)中，教師把抽象的數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，學(xué)生通過(guò)可視化的動(dòng)態(tài)圖形操作，大大提高了學(xué)習(xí)效率，深刻理解了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理“分母乘分母做分母，分子乘分子做分子”，在此基礎(chǔ)上對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的抽象含義有了更深的認(rèn)識(shí)，從而有效地掌握了計(jì)算方法。

二、善用數(shù)形結(jié)合深化圖形認(rèn)識(shí)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)直觀的圖形表達(dá)，能讓抽象的數(shù)更容易被學(xué)生接受。與此相對(duì)，當(dāng)教師把具象的圖形提煉成數(shù)量關(guān)系，并用學(xué)生熟悉的數(shù)來(lái)表達(dá)圖形的特征時(shí)，會(huì)讓學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)更加深入。在進(jìn)行圖形概念教學(xué)時(shí)，直觀圖形的表達(dá)并不能幫助學(xué)生精確認(rèn)識(shí)概念，這就需要利用數(shù)的精確性幫助學(xué)生加深對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，從而有效、精準(zhǔn)地把握?qǐng)D形的概念。

比如，“圖形的放大與縮小”的內(nèi)容是比例知識(shí)的基礎(chǔ)，為了讓學(xué)生能夠?qū)⑵渑c生活中的圖形變大縮小區(qū)別開(kāi)來(lái)，在頭腦中建立精確的放大縮小的概念，筆者特意設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的教學(xué)：

第一層次：從觀察入手理解本質(zhì)特征

筆者先給學(xué)生出示一張風(fēng)景圖，然后再將這張風(fēng)景圖放大，并以另外三種形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生觀察并找出哪張圖片和另外一張圖片是一樣的。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：這些圖片有什么不同？你能夠從中發(fā)現(xiàn)什么？（如圖4）

學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察比較，發(fā)現(xiàn)圖片在本質(zhì)上并沒(méi)有改變，改變的只是大小。學(xué)生頭腦中建立了“改變大小，但沒(méi)有變形”這個(gè)印象之后，筆者繼續(xù)引入第二個(gè)層次的教學(xué)。

第二層次：發(fā)現(xiàn)圖形放大的規(guī)律

為了讓學(xué)生通過(guò)觀察自主發(fā)現(xiàn)圖形放大的規(guī)律，筆者特意在給學(xué)生出示的4張圖片中，設(shè)置了邊長(zhǎng)為1厘米的方格（如圖5所示），并列出了相關(guān)的數(shù)據(jù)，然后讓學(xué)生結(jié)合數(shù)據(jù)對(duì)照比較，找出圖片大小的變化規(guī)律。學(xué)生經(jīng)過(guò)比較后發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)大后的圖片長(zhǎng)和寬都擴(kuò)大了兩倍，根據(jù)已學(xué)過(guò)的知識(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到擴(kuò)大后的圖片與原圖的比例為2∶1。這個(gè)層次的教學(xué)通過(guò)學(xué)生對(duì)數(shù)的關(guān)系的研究，幫助學(xué)生梳理了圖形放大的數(shù)量關(guān)系，由此對(duì)圖形放大的本質(zhì)有了深刻的理解。

第三層次：運(yùn)用數(shù)據(jù)理解抽象概念

筆者讓學(xué)生仔細(xì)觀察原圖和改變后的圖片，首先隱去圖片的內(nèi)容，讓學(xué)生將圖片的形狀看作是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)是1厘米，然后將長(zhǎng)方形的每條邊都擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍（通過(guò)方格顯示數(shù)據(jù)），讓學(xué)生說(shuō)出擴(kuò)大后的長(zhǎng)方形和原有長(zhǎng)方形之間的比是多少。學(xué)生結(jié)合已有數(shù)據(jù)，認(rèn)識(shí)到長(zhǎng)方形擴(kuò)大的比例是2∶1。緊接著，筆者讓學(xué)生反過(guò)來(lái)進(jìn)行比較，將圖形的每條邊都縮短到原來(lái)的二分之一，讓學(xué)生將其與原圖相比，看看圖形縮小的比例是多少，學(xué)生借助這個(gè)環(huán)節(jié)的探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)圖形的縮小。通過(guò)數(shù)據(jù)，學(xué)生能夠清晰地看見(jiàn)并認(rèn)識(shí)到“圖形大小變，形狀不變”的本質(zhì)內(nèi)涵，并能夠根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比的變化，理解“對(duì)應(yīng)線段成比例”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

以上環(huán)節(jié)，教師先讓學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行直觀的比較，初步感知圖形放大縮小都不變形的本質(zhì)，再通過(guò)對(duì)應(yīng)邊數(shù)據(jù)的變化，讓學(xué)生精確認(rèn)識(shí)到圖形變大、縮小的比例，最后再讓學(xué)生結(jié)合數(shù)據(jù)，精確揭示圖形放大縮小的概念內(nèi)涵。通過(guò)三個(gè)層次的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生將原本模糊的生活經(jīng)驗(yàn)概括為精確的數(shù)的概念，由此深刻理解“對(duì)應(yīng)線段成比例”的內(nèi)涵，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

三、巧用數(shù)形結(jié)合探尋問(wèn)題解決策略

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力是重中之重，數(shù)形結(jié)合作為一種思想方法，能夠幫助學(xué)生探尋有效的問(wèn)題解決策略。教師巧用數(shù)形結(jié)合，能夠讓學(xué)生在傳統(tǒng)的解決方法之外另辟蹊徑，積極探索并找到多元化的問(wèn)題解決策略。

比如，有這樣一道習(xí)題：計(jì)算[12]+[14]+[18]+[116]。很顯然，這道習(xí)題具有非常獨(dú)特的特征，需要學(xué)生找到有效的問(wèn)題解決策略。為此筆者通過(guò)四個(gè)層次的設(shè)計(jì)展開(kāi)教學(xué)：

第一層次：觀察算式的獨(dú)特特征

筆者先讓學(xué)生仔細(xì)審查算式中的加數(shù)的特點(diǎn)，找出其中獨(dú)特的地方。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這道算式中的4個(gè)加數(shù)都是分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)的分子都是1，后邊分?jǐn)?shù)的分母總是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的2倍。

第二層次：用常規(guī)算法解決問(wèn)題

筆者讓學(xué)生結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，思考用什么方法進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生認(rèn)為可以運(yùn)用通分的方法，將4個(gè)加數(shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行計(jì)算。也有學(xué)生提出，將這些分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，然后再進(jìn)行相加計(jì)算。

第三層次：尋找特殊的非常規(guī)的解決辦法

為了啟發(fā)學(xué)生找到非常規(guī)的解決方案，筆者特意在算式后添上了兩個(gè)分?jǐn)?shù)[132]和[164]，然后引導(dǎo)學(xué)生思考：想一想，如果我們用一個(gè)面積是1的正方形表示這個(gè)算式，你會(huì)怎么表示呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)討論后認(rèn)為，可以在這個(gè)正方形中涂色表示每一個(gè)加數(shù)，第1個(gè)加數(shù)是[12]，就將正方形的一半涂色，接著再涂出[14]。就是在正方形一半的基礎(chǔ)上，涂出其中的一半。當(dāng)學(xué)生涂色到[116]時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形還剩下一小塊沒(méi)有涂色的空白部分，這一部分正好和[116]相等。這也就是說(shuō)只要用1-[116]，就可以得到這道題的結(jié)果。學(xué)生順利找到了解決方法，在此基礎(chǔ)上，筆者又增加了難度：如果加數(shù)再增加一個(gè)[132]或者[164]，該怎么計(jì)算？學(xué)生根據(jù)已有的解決策略，能夠很快得出答案。

第四層次：建構(gòu)問(wèn)題解決策略

學(xué)生經(jīng)過(guò)探索，找到了問(wèn)題解決策略，此時(shí)筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)過(guò)程，反思使用了什么策略，并進(jìn)行課堂交流，讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合的思想方法。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，先用通分再計(jì)算的傳統(tǒng)方法比較麻煩，可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法構(gòu)造一個(gè)面積是1的正方形，然后通過(guò)涂色表示每一個(gè)加數(shù)相加。通過(guò)涂色，學(xué)生能夠直觀地看到這一類分?jǐn)?shù)計(jì)算題所隱含的規(guī)律：每個(gè)加數(shù)代表正方形的一半，以此類推其中剩下的一半，剩下的面積正好與最后一個(gè)加數(shù)相同。通過(guò)直觀的圖示，學(xué)生能夠?qū)㈨樝虻那蠛蛦?wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的逆向求差的問(wèn)題。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)，教師借助數(shù)形結(jié)合，將復(fù)雜特殊的分?jǐn)?shù)計(jì)算這個(gè)“數(shù)”轉(zhuǎn)化為直觀的“形”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷正方形涂色的過(guò)程，通過(guò)涂色尋找問(wèn)題解決的策略。學(xué)生借助圖形涂色轉(zhuǎn)換思維角度找到了逆向求差的解決策略，最終使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題順利轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了高效學(xué)習(xí)。

總之，教師應(yīng)深入研究教材，充分挖掘知識(shí)背后隱藏的數(shù)學(xué)思想，將數(shù)形結(jié)合落實(shí)在課堂中，引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)進(jìn)行體驗(yàn)和感悟，讓課堂教學(xué)更高效。

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[5]張玉翠.數(shù)形結(jié)合巧運(yùn)用 思維能力妙培養(yǎng)[J].名師在線，2020（10）

作者簡(jiǎn)介：陳世輝（1971— ），女，廣西玉林人，大學(xué)本科學(xué)歷，教育學(xué)專業(yè)，一級(jí)教師，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 雷 靖）