非一致格子上離散分?jǐn)?shù)階差分與分?jǐn)?shù)階和分

程金發(fā)

（廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 福建 廈門，361005）

1 背景回顧及問題提出

正如我們在本文序言指出的，分?jǐn)?shù)階微積分的概念幾乎與經(jīng)典微積分同時起步，可以回溯到Euler和Leibniz時期.經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的努力，特別是近幾十年來，分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)取得了驚人的發(fā)展和廣闊的應(yīng)用，有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的著作層出不窮，例如文獻[1-4]，但是在一致格子x(z)=z和x(z)=qz或者q?z,z∈C上關(guān)于離散分?jǐn)?shù)階微積分的思想，仍然是最近才興起的.

雖然關(guān)于一致格子x(z)=z和x(z)=qz的離散分?jǐn)?shù)微積分出現(xiàn)和建立相對較晚，但是該領(lǐng)域目前已經(jīng)做出了大量的工作，且取得了很大的發(fā)展[5-8].在最近十年的學(xué)術(shù)著作中，程金發(fā)[9]，Goodrich 和Peterson[10]相繼出版了兩本有關(guān)離散分?jǐn)?shù)階方程理論、離散分?jǐn)?shù)微積分的著作，其中全面系統(tǒng)地介紹了離散分?jǐn)?shù)微積分的基本定義和基本定理，以及最新的參考資料.有關(guān)q?分?jǐn)?shù)階微積分方面的著作可參見Annaby 和Mansour[11].

非一致格子的定義回溯到超幾何型微分方程[12-13]：

的逼近，這里σ(z)和τ(z)分別是至多二階和一階多項式，λ是常數(shù).Νikiforov 等[14-15]將式(1)推廣到如下最一般的復(fù)超幾何差分方程

這里(x)和(x)分別是關(guān)于x(s)的至多二階和一階多項式，λ是常數(shù)，Δy(s)=y(s+1)?y(s),?y(s)=y(s)?y(s?1)，并且x(s)必須是以下非一致格子.

定義1[16-17]兩類格子函數(shù)x(s)稱之為非一致格子，如果它們滿足

這里ci,是任意常數(shù)，且

當(dāng)c1=1,c2=c3=0，或c2=1,c1=c3=0或者時，這兩種格子函數(shù)x(s)：

稱之為一致格子.

給定函數(shù)F(s)，定義關(guān)于xγ(s)的差分或差商算子為

且

關(guān)于差商算子，命題1是常用的.

命題1給定兩個復(fù)函數(shù)f(s),g(s)，成立恒等式

我們必須指出，在非一致格子式(3)或者式(4)，即使當(dāng)n∈N，如何建立非一致格子的n?差商公式，也是一件很不平凡的工作，因為它是十分復(fù)雜的，也是難度很大的.事實上，在文獻[14-15]中，Νikiforov等利用插值方法得到了如下n?階差商?1(n)[f(s)]公式：

定義2[12-13]對于非一致格子式(3)或式(4)，讓n∈N+，那么

這里[Γ(s)]q是修正的q?Gamma函數(shù)，它的定義是

并且函數(shù)Γq(s)被稱為q?Gamma函數(shù);它是經(jīng)典Euler Gamma函數(shù)Γ(s)的推廣.其定義是

經(jīng)過進一步化簡后，Νikiforov等在文獻[14]中將n階差分?1(n)[f(s)]的公式重寫成下列形式：

定義3[14]對于非一致格子式(3)或式(4)，讓n∈N+，那么

這里

且

現(xiàn)在存在兩個十分重要且具有挑戰(zhàn)性的問題需要進一步深入探討：

1）對于非一致格子上超幾何差分方程式（2），在特定條件下存在關(guān)于x(s)多項式形式的解，如果用Rodrigues公式表示的話，它含有整數(shù)階高階差商.一個新的問題是：若該特定條件不滿足，那么非一致格子上超幾何差分方程式（2）的解就不存在關(guān)于x(s)的多項式形式，這樣高階整數(shù)階差商就不再起作用了.此時非一致格子超幾何方程的解的表達形式是什么呢？這就需要我們引入一種非一致格子上分?jǐn)?shù)階差商的新概念和新理論.

因此，關(guān)于非一致格子上α?階分?jǐn)?shù)階差分及α?階分?jǐn)?shù)階和分的定義是一個十分有趣和重要的問題.顯而易見，它們肯定是比整數(shù)高階差商更為難以處理的困難問題，自專著[14-15]出版以來，Νikiforov等并沒有給出有關(guān)α?階分?jǐn)?shù)階差分及α?階分?jǐn)?shù)階和分的定義，我們能夠合理給出非一致格子上分?jǐn)?shù)階差分與分?jǐn)?shù)階和分的定義嗎?

2)另外，我們認(rèn)為作為非一致格子上最一般性的離散分?jǐn)?shù)微積分，它們也會有獨立的意義，并可以導(dǎo)致許多有意義的結(jié)果和新理論.

本文的目的是探討非一致格子上離散分?jǐn)?shù)階和差分.受文章篇幅所限，本文我們僅合理給出非一致格上分?jǐn)?shù)階和分與分?jǐn)?shù)階差分的基本定義，其它更多結(jié)果例如：非一致格子離散分?jǐn)?shù)階微積分的一些基本定理，如：Euler Beta公式，Cauchy Beta積分公式，Taylor公式、Leibniz公式在非一致格子上的模擬形式，非一致格子上廣義Abel方程的解，以及非一致格子上中心分?jǐn)?shù)差分方程的求解，離散分?jǐn)?shù)階差和分與非一致格子超幾何方程之間聯(lián)系等內(nèi)容，請參見筆者新專著[16].

2 非一致格子上的整數(shù)和分與整數(shù)差分

設(shè)x(s)是非一致格子，這里s∈?.對任意實數(shù)也是一個非一致格子.讓?γF(s)=f(s).那么

選取z,a∈?，和z?a∈N.從s=a+1到z，則有

因此，我們定義

容易直接驗證下列式子成立.

命題2給定兩個復(fù)變函數(shù)F(z),f(z)，這里復(fù)變量z,a∈C以及z?a∈N，那么成立

現(xiàn)在讓我們定義非一致格子上的廣義n?階冪函數(shù)[x(s)?x(z)](n)為

當(dāng)n不是正整數(shù)時，需要將廣義冪函數(shù)加以進一步推廣，它的性質(zhì)和作用是非常重要的，非一致格子上廣義冪函數(shù)[xγ(s)?xγ(z)](α)的定義如下：

定義4[17-18]設(shè)α∈C，廣義冪函數(shù)[xγ(s)?xγ(z)](α)定義為

這里Γ(s)是Euler Gamma函數(shù)，且Γq(s)是Eulerq?Gamma函數(shù)，其定義如式(9).

命題3[17-18]對于x(s)=c1qs+c2q?s+c3或者廣義冪滿足下列性質(zhì)：

這里[μ]q定義如式（10）.

現(xiàn)在讓我們詳細給出非一致格子xγ(s)上整數(shù)階和分的定義，這對于我們進一步給出非一致格子xγ(s)上分?jǐn)?shù)階和分的定義是十分有幫助的.

設(shè)γ ∈R，對于非一致格子xγ(s)，數(shù)集{a+1,a+2,…,z} 中f(z)的1-階和分定義為

這里y1(z)= ??γ1f(z)定義在數(shù)集{a+1,mod(1)}中.

那么由命題2，我們有

并且對于非一致格子xγ(s)，數(shù)集{a+1,a+2,…,z} 中f(z)的2-階和分定義為

這里y2(z)= ??γ2f(z)定義在數(shù)集{a+1,mod(1)}中.

同時，可得

更一般地，由數(shù)學(xué)歸納法，對于非一致格子xγ(s)，數(shù)集{a+1,a+2,…,z} 中函數(shù)f(z)，我們可以給出函數(shù)f(z)的n?階和分定義為

這里

這滿足下式

那么成立

需要指出的是，當(dāng)k∈C時，式（25）右邊仍然是有意義的，因此自然地，我們就可以對非一致格子xγ(s)給出函數(shù)f(z)的分?jǐn)?shù)階和分定義如下：

定義5（非一致格子分?jǐn)?shù)階和分）對任意Reα∈R+，對于非一致格子式（3）和式（4），數(shù)集{a+1,a+2,…,z} 中的函數(shù)f(z)，我們定義它的α?階分?jǐn)?shù)階和分為

這里

這滿足下式

3 非一致格子上的Abel方程及分?jǐn)?shù)階差分

非一致格子xγ(s)上f(z)的分?jǐn)?shù)階差分定義相對似乎更困難和復(fù)雜一些.我們的思想是起源于非一致格子上廣義Abel 方程的求解.具體來說，一個重要的問題是：讓m?1 ＜Reα≤m，定義在數(shù)集{a+1,a+2,…,z} 的f(z)是一給定函數(shù)，定義在數(shù)集{a+1,a+2,…,z} 的g(z)是一未知函數(shù)，它們滿足以下廣義Abel方程

怎樣求解該廣義Abel方程式（28）？

為了求解方程式（28），我們需要利用重要的Euler Beta公式在非一致格子下的基本模擬.

定理1[16]（非一致格子上Euler Beta公式）對于任何α,β∈C，那么對非一致格子x(s)，我們有

定理2（Abel方程的解）設(shè)定義在數(shù)集{a+1,mod(1)}中的函數(shù)f(z)和函數(shù)g(z)滿足

那么

成立.

證明我們僅需證明

即

事實上，由定義5可得

在定理1中，將α+1替換成s；α替換成α?1；β替換成m?α，且將x(t)替換成xγ+α?1(t)，那么xβ(t)替換成xγ+m?1(t)，則我們能夠得出下面的等式

因此，我們有

這樣就有

由定理2 得到啟示，很自然地我們給出關(guān)于f(z)的Riemann-Liouville 型α?階(0 ＜m?1 ＜Reα≤m)分?jǐn)?shù)階差分的定義如下：

定義6（Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階差分）讓m是超過Reα的最小正整數(shù)，對于非一致格子xγ(s)，數(shù)集{α,mod(1)}中f(z)的Riemann-Liouville型α?階分?jǐn)?shù)階差分定義為

形式上來說，在定義5中，如果α替換成?α，那么式（27）的右邊將變?yōu)?/p>

從式（33），我們也可以得到f(z)的Riemann-Liouville型α?階分?jǐn)?shù)階差分如下：

定義7（Riemann-Liouville 型分?jǐn)?shù)階差分2）對任意Reα＞0，對于非一致格子xγ(s)，數(shù)集{a+1,a+2,…,z} 中f(z)的Riemann-Liouville型α?階分?jǐn)?shù)階差分定義為

將?γ?α(t)替換成?γ(t)，那么

這里假定[Γ(?α)]q≠0.

4 非一致格子上Caputo型分?jǐn)?shù)階差分

在本節(jié)，我們將給出非一致格子上Caputo型分?jǐn)?shù)階差分的合理定義.

定理3（分部求和公式）給定兩個復(fù)變函數(shù)f(s)，g(s)，那么

這里z,a∈C，且假定z?a∈N.

證明應(yīng)用命題1，可得

這樣就有

關(guān)于變量s，從a+1到z求和，那么可得

與非一致格子上Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階差分定義的思想來源一樣，對于非一致格子上Caputo型分?jǐn)?shù)階差分定義思想，也是受啟發(fā)于非一致格子上廣義Abel方程式（28）的解.在本文第3節(jié)，借助于非一致格子上的Euler Beta公式，我們已經(jīng)求出廣義Abel方程

是

現(xiàn)在我們將用分部求和公式，給出式（36）的另一種新的表達式.事實上，我們有

應(yīng)用恒等式

那么以下表達式

可被改寫成

應(yīng)用分部求和公式，可得

因此，這可導(dǎo)出

進一步，考慮

利用恒等式

表達式(39)能被改寫成

由分部求和公式，我們有

因此，我們得到

同理，用數(shù)學(xué)歸納法，我們可得

將式（38），（40）和（41）代入式（37），則有

總之，我們有下面的

定理4（廣義Abel方程解2）假設(shè)定義在數(shù)集{a+1,a+2,…,z} 上的函數(shù)f(z)和g(z)滿足

那么

受到定理4的啟示，我們很自然地給出函數(shù)f(z)的α?階(0 ＜m?1 ＜Reα≤m)Caputo分?jǐn)?shù)階差分如下：

定義8（Caputo 分?jǐn)?shù)階差分）讓m是Reα超過的最小整數(shù)，非一致格子上定義在數(shù)集{a+1,a+2,…,z} 函數(shù)f(z)的α?階Caputo分?jǐn)?shù)階差分定義為

最后，本文再強調(diào)指出：對于非一致格子上超幾何差分方程式（2），在特定條件下存在關(guān)于x(s)多項式形式的解，如果用Rodrigues公式表示的話，它含有整數(shù)階高階差分.一個重要的問題是：若該特定條件不滿足，那么非一致格子超幾何差分方程的解就不存在關(guān)于x(s)的多項式形式，這樣高階整數(shù)階差分將不再起作用了，這就迫切需要我們引入一種非一致格子上分?jǐn)?shù)階差分的新概念和新理論.因此，關(guān)于非一致格子上階分?jǐn)?shù)階差分及階分?jǐn)?shù)階和分的定義是一個十分有趣和重要的問題.有關(guān)非一致格子超幾何差分方程與離散分?jǐn)?shù)階差和分的聯(lián)系，更深入的內(nèi)容參見筆者著作[16]及文獻[19-21].