淺析分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性討論中的應(yīng)用

黃麗

摘要：分類討論思想是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用性最廣的思想之一，也是最近幾年數(shù)學(xué)科目高考的熱門考點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。在函數(shù)相關(guān)的試題中主要涉及求函數(shù)的最值、零點(diǎn)、單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)時(shí)，由參數(shù)的變化以及一些條件限制而引起的分類討論。本文從函數(shù)單調(diào)性討論中分析分類思想的應(yīng)用，理清思路，讓學(xué)生能更好的理解分類討論思想，從而提高學(xué)生的解答問題的能力。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;應(yīng)用步驟;函數(shù)單調(diào)性

在學(xué)習(xí)分類討論思想的過程中，首先需要對(duì)分類討論思想有一定的認(rèn)知。其學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是學(xué)生需要構(gòu)建其認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并將其納入到已有的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，使學(xué)生的思維更具有條理性。在對(duì)學(xué)生訪談的過程中認(rèn)識(shí)到，學(xué)生對(duì)分類討論思想的認(rèn)知和運(yùn)用其解決數(shù)學(xué)問題時(shí)存在困難。

一、簡(jiǎn)析分類討論思想

在數(shù)學(xué)解題過程中，有些題目的結(jié)果不是唯一確定的，而且有些數(shù)學(xué)方法的使用也有其限定的條件。當(dāng)在解決這些問題時(shí)，就需要先根據(jù)題目的特性和條件，分成若干種情形，將題目轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小的問題去解答，然后總結(jié)歸納得出結(jié)果，這種化整為零、化繁為簡(jiǎn)的解題思路就是分類討論的思想。分類討論思想可應(yīng)用于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的階段的學(xué)習(xí)之中，要求學(xué)生的思維具有較好的靈活性和條理性。

二、明確分類討論思想運(yùn)用的步驟

2.1確定討論對(duì)象

在解答分類討論問題時(shí)，首先我們需要搞清楚分類討論的對(duì)象。而在我們探討的函數(shù)的單調(diào)性討論中，需要討論的主要是兩方面的內(nèi)容：第一個(gè)是討論函數(shù)的性質(zhì)，特別是針對(duì)其奇偶性在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行討論;第二個(gè)是分段函數(shù);函數(shù)單調(diào)性討論本質(zhì)上還是因?yàn)閰?shù)的不確定性而產(chǎn)生的討論。

2.2依據(jù)一定的準(zhǔn)測(cè)對(duì)討論對(duì)象進(jìn)行分類

對(duì)討論對(duì)象進(jìn)行分類有助于解題的條理性和準(zhǔn)確性，分清主次，另外，分類討論要做到不重復(fù)、不遺漏，例如，對(duì)于一些函數(shù)圖像隨參數(shù)變化而產(chǎn)生位置變化的題目，需將圖像按照一定的順序，從左到右或者從上到下，減少漏解。

2.3歸納總結(jié)

任何數(shù)學(xué)問題都具有一定的完整性，而分類討論思想是將一個(gè)完整的問題分解成一個(gè)個(gè)小的問題進(jìn)行解答。所以為保證數(shù)學(xué)問題最終的完整性，歸納總結(jié)就顯得尤為重要。學(xué)會(huì)按順序整合討論的結(jié)果也是非常關(guān)鍵的，在整理的過程中，及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的問題特別是重復(fù)或者遺漏之處。通常來說，分類討論思想最后歸納總結(jié)的方法有：并列總結(jié)法、并集歸納法、交集歸納法。

三、分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性討論中的應(yīng)用

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)具有很重要的地位，應(yīng)用非常廣泛，最近幾年在數(shù)學(xué)科目高考命題中亦是熱點(diǎn)。下面幾個(gè)典例就充分展示了分類討論思想如何在函數(shù)單調(diào)性討論中得到應(yīng)用的。

例1、已知函數(shù)，.討論函數(shù)的單調(diào)性;

解：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，

，

（1）當(dāng)時(shí)，，由得：，

由，得：，故此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

（2）當(dāng)時(shí)，令得：或

由得：，此時(shí)

由得：或，此時(shí)

故此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為

綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為.

分析：在對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)后得到函數(shù)g（x）=-ax2+（2a-1）x+2，其函數(shù)特征為：二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，針對(duì)其系數(shù)變化的不確定性進(jìn)行討論。根據(jù)研究對(duì)象的特征，需進(jìn)行兩個(gè)層次的討論。第一層次：討論a=0或者a>0，從而確定函數(shù)的類型。當(dāng)a=0時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)，求解較為簡(jiǎn)單，應(yīng)先求出。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，那么第二層次就需通過g（x）的符號(hào)進(jìn)行討論，g（x）>0，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;g（x）<0，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;最后再將求得的結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)，得出結(jié)論。在解答這類問題時(shí)，我們需要掌握好分類的對(duì)象以及分類的準(zhǔn)則，然后分層依次討論，就能解答成功。

結(jié)束語

綜上所述，分類討論思想是眾多數(shù)學(xué)思想中極為重要的一種數(shù)學(xué)應(yīng)用思想，不僅在學(xué)習(xí)上，在實(shí)際生活中分類討論思想亦是應(yīng)用廣泛。隨著素質(zhì)教育的深入發(fā)展，分類討論思想的重要性愈發(fā)明顯。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師應(yīng)更加重視分類討論思想的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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