中小學(xué)數(shù)學(xué)抽象的可培養(yǎng)性及教學(xué)

黃嘉媛 曹麗華

【摘要】數(shù)學(xué)抽象作為《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的六大核心素養(yǎng)之首，不應(yīng)僅在高中階段予以重視，在義務(wù)教育階段也應(yīng)予以重視.本文根據(jù)已有研究與中小學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)抽象的可培養(yǎng)性進(jìn)行分析，提出“數(shù)學(xué)抽象的層次性是培養(yǎng)抽象能力的基礎(chǔ)”“數(shù)學(xué)的形式化是培養(yǎng)抽象能力的保障”這兩個(gè)觀點(diǎn).以北師大版教材中的“軸對(duì)稱圖形”為例，分析如何利用數(shù)學(xué)的層次性與形式化兩個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行抽象數(shù)學(xué)概念與命題的教學(xué).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象;層次性;形式化;軸對(duì)稱圖形

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提出的六大核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.其中，數(shù)學(xué)抽象的具體表述為：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征.既然要培養(yǎng)中小學(xué)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，那么數(shù)學(xué)抽象的可培養(yǎng)性基礎(chǔ)是什么？在課堂中，我們應(yīng)該如何利用數(shù)學(xué)抽象的可培養(yǎng)性特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)？

一、數(shù)學(xué)抽象的重要性

數(shù)學(xué)的抽象性是數(shù)學(xué)的三大特征之一.史寧中教授提出：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的.”抽象是數(shù)學(xué)中一種必不可少的思想方法，也是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的一種核心思想.王光明等人通過調(diào)查研究了抽象思維能力、邏輯分析能力、關(guān)系判斷能力對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率的影響，并得出數(shù)學(xué)抽象思維能力的影響最大.對(duì)于中小學(xué)的教師與學(xué)生而言，數(shù)學(xué)抽象是教師進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)和學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)需要具備的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象不僅位于六大核心素養(yǎng)之首，并且邏輯推理、數(shù)學(xué)建模以及直觀想象素養(yǎng)都與數(shù)學(xué)抽象有關(guān).在義務(wù)教育階段也同樣重要，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中出現(xiàn)的十個(gè)核心詞中，數(shù)感、符號(hào)意識(shí)，甚至幾何直觀與空間想象，都與數(shù)學(xué)抽象密不可分.抽象素養(yǎng)并非數(shù)學(xué)學(xué)科所獨(dú)有，物理中的一些概念（如質(zhì)點(diǎn)）也需要具備一定的抽象能力.同時(shí)，數(shù)學(xué)覆蓋了許多學(xué)科，在許多學(xué)科中均有運(yùn)用，因此，學(xué)生抽象能力的好與壞，對(duì)后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)乃至其他學(xué)科的學(xué)習(xí)都有著重要的影響.

二、數(shù)學(xué)抽象的可培養(yǎng)性

國(guó)內(nèi)許多學(xué)者和一線教師都在探尋培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的策略，卻鮮有人對(duì)數(shù)學(xué)抽象的可培養(yǎng)性的原因以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)即“為什么數(shù)學(xué)抽象是可培養(yǎng)的”這一問題進(jìn)行分析.本人根據(jù)已有文獻(xiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)抽象的可培養(yǎng)性提出以下觀點(diǎn).

（一）數(shù)學(xué)的層次性是培養(yǎng)抽象能力的基礎(chǔ)

“由感性的、直觀的、現(xiàn)實(shí)的問題上升為數(shù)學(xué)抽象，往往需要經(jīng)歷多個(gè)層次.”層次性是數(shù)學(xué)的基本特性，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成都需要經(jīng)過一定的抽象層次.史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)的抽象要經(jīng)歷兩個(gè)階段，第一階段是基于現(xiàn)實(shí)的，第二階段是基于邏輯的.數(shù)學(xué)抽象都是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由感性到理性的，由此可見，數(shù)學(xué)抽象也是具有一定的層次性的.學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程也有一定的層次，弗賴登塔爾提出“學(xué)習(xí)過程是由各種層次構(gòu)成的”，不同階段對(duì)應(yīng)不同的發(fā)展水平，是一個(gè)漸進(jìn)的過程.抽象的層次性與學(xué)習(xí)者認(rèn)知過程的層次性相對(duì)應(yīng)，學(xué)生抽象能力的發(fā)展遵循數(shù)學(xué)抽象的規(guī)律，抽象度隨著知識(shí)的積累、能力的提高不斷地上升，有一定的層次性，是可培養(yǎng)的.小學(xué)生多以直觀感受來獲取知識(shí)，而中學(xué)生可以依靠一定的理性認(rèn)知.以函數(shù)概念為例，從最開始的“變量說”到“對(duì)映說”，再到“關(guān)系說”，體現(xiàn)了函數(shù)概念發(fā)展的抽象程度的層次性.在教學(xué)中，初中階段我們大多采用“變量說”，高中階段采用“對(duì)映說”，這與數(shù)學(xué)概念發(fā)展的規(guī)律相似.學(xué)生對(duì)某一概念、命題的抽象是一級(jí)一級(jí)逐步抽象的，抽象化的程度越高，理解的難度越大，因此抽象的層次是不能跳躍的.隨著某一知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)的深入，除了抽象的程度在提高，抽象的覆蓋面也隨之?dāng)U大.在這逐漸抽象的過程中，學(xué)生在學(xué)習(xí)概念與命題本身的同時(shí)，也會(huì)逐漸領(lǐng)悟抽象的本質(zhì)，這是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的主要路徑.因此，數(shù)學(xué)抽象的層次性為數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)提供了基礎(chǔ).

（二）數(shù)學(xué)的形式化是培養(yǎng)抽象能力的保障

“數(shù)學(xué)一被創(chuàng)造出來，它就形成了一種清晰的形式表達(dá).”數(shù)學(xué)的形式化使得數(shù)學(xué)學(xué)科具有簡(jiǎn)潔性，因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)象的形式化能夠?yàn)閷W(xué)習(xí)者提供簡(jiǎn)明清晰的形式化語言，且又真實(shí)地反映著其所要描述的內(nèi)容，內(nèi)容與形式并不分離，形式化只是有助于理解和表達(dá)，更好地反映事物的本質(zhì).數(shù)學(xué)的形式化特點(diǎn)推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，可以說如果沒有數(shù)學(xué)的形式化，就沒有今天的數(shù)學(xué).極限的定義——“ε-δ”語言，就是一種形式化的表達(dá).同時(shí)，“數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是形式化的思想材料”，可見數(shù)學(xué)的研究對(duì)象源于現(xiàn)實(shí)，卻是人腦的產(chǎn)物，是一種思辨的結(jié)果.它是人們根據(jù)現(xiàn)實(shí)世界的一些特征，抽象出來的產(chǎn)物，又應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)中.例如“負(fù)數(shù)”的概念，最早是為了保證減法運(yùn)算結(jié)果的封閉性，它是數(shù)集擴(kuò)張的一種形式表達(dá);馬克斯·西蒙曾說，創(chuàng)立負(fù)數(shù)是為了有可能毫無例外地進(jìn)行減法運(yùn)算，它的產(chǎn)生使得數(shù)集得以擴(kuò)張，然后又應(yīng)用于溫度的計(jì)數(shù)等現(xiàn)實(shí)事物中.人的思想是具有主觀能動(dòng)性的，它隨著人與環(huán)境的交互作用而不斷變化.數(shù)學(xué)的形式化就是為了更好地表達(dá)數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，它可以把表面復(fù)雜的東西變得簡(jiǎn)單，降低其抽象程度.學(xué)習(xí)者可以借助易于理解的數(shù)學(xué)形式，結(jié)合自身的主觀思考，對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行“再創(chuàng)造”，提高自身的抽象概括能力，在這一過程中形成抽象素養(yǎng).因此，數(shù)學(xué)抽象的形式化特點(diǎn)以及數(shù)學(xué)研究對(duì)象的特殊性，為學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)抽象能力的提高提供了保障.

（三）數(shù)學(xué)抽象可培養(yǎng)性的實(shí)證研究

目前國(guó)內(nèi)的研究較少有研究抽象的可培養(yǎng)性，基本上都是直接給出培養(yǎng)策略，對(duì)策略可行性的探討也比較少.通過查閱國(guó)外的文獻(xiàn)可知，早期有蘇聯(lián)心理學(xué)家達(dá)維多夫（Davydov）證實(shí)，8至10歲的孩子能夠抽象地思考他們所學(xué)習(xí)的理論模型是否能分析現(xiàn)實(shí)問題.加藤（Kato），凱米（Kamii），Ozaki&Nagahiro對(duì)3歲到7歲的60名兒童進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)兒童的抽象水平與其表征能力有密切的聯(lián)系.韓國(guó)的Jee Yun Hong和Min Kyeong Kim（JM）根據(jù)前人提出的抽象水平，重新總結(jié)了數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)水平，如下：水平一，通過感知抽象識(shí)別數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu);水平二，通過內(nèi)化運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu);水平三，通過內(nèi)化形成新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).根據(jù)抽象的這三個(gè)層次，JM對(duì)韓國(guó)小學(xué)五年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行實(shí)證研究，得到：位于水平一的學(xué)生只能認(rèn)識(shí)到解決該問題需要數(shù)學(xué)知識(shí)和結(jié)構(gòu)，但未能利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu);位于水平二的學(xué)生通過引入先前獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題，但他們未能對(duì)解決問題的方法做出正確的評(píng)估，因此未能解決問題;位于水平三的學(xué)生成功解決問題，并且還能夠用他們解決問題的方法去評(píng)估其他小組的解題過程，提出建議.該研究表明，數(shù)學(xué)抽象的層次和形式在解決一個(gè)結(jié)構(gòu)不良的問題中出現(xiàn)，解決結(jié)構(gòu)不良問題的活動(dòng)可以為學(xué)生提供提高其數(shù)學(xué)抽象能力的機(jī)會(huì).以上的研究表明：（1）學(xué)生解決問題的過程反映了其所具有的抽象能力的層次;（2）兒童的抽象能力可以通過學(xué)生解決問題的過程進(jìn)行教授，也就是說，通過解決問題這一活動(dòng)能夠培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)抽象能力.

三、利用抽象的可培養(yǎng)性特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)

恩格斯說過：“數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).”既然數(shù)學(xué)研究的是量與形，舍棄了事物質(zhì)的屬性，并且數(shù)學(xué)是思想的產(chǎn)物，那么數(shù)學(xué)抽象必然無處不在，它無形地存在于我們每一節(jié)數(shù)學(xué)課之中，所以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力應(yīng)該植根于每一節(jié)數(shù)學(xué)課.根據(jù)青少年兒童的心理發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循從具體到抽象再到具體的基本原則，結(jié)合數(shù)學(xué)抽象可培養(yǎng)性，即數(shù)學(xué)的層次性與形式化特點(diǎn)，在課堂中加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象實(shí)踐，培養(yǎng)抽象素養(yǎng).根據(jù)數(shù)學(xué)抽象對(duì)象的性質(zhì)進(jìn)行分類，分為從現(xiàn)實(shí)中抽象出數(shù)學(xué)和從數(shù)學(xué)中抽象出更高層次的數(shù)學(xué)兩類：表征型抽象和原理型抽象.在北師大版教材中，教材編排遵循螺旋式上升原則，“軸對(duì)稱圖形”這一概念分別出現(xiàn)在三年級(jí)下冊(cè)、五年級(jí)上冊(cè)和七年級(jí)下冊(cè).下面以“軸對(duì)稱圖形”為例，分析如何在教學(xué)中，根據(jù)數(shù)學(xué)抽象的可培養(yǎng)性特點(diǎn)，滲透抽象的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的這兩種抽象能力.

（一）在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的表征型抽象能力

“數(shù)學(xué)抽象概念的發(fā)展是具有層次性的”，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也應(yīng)當(dāng)遵循數(shù)學(xué)抽象概念發(fā)展的規(guī)律.表征型抽象是指對(duì)事物外露的表面特征進(jìn)行抽象，對(duì)“軸對(duì)稱圖形”這一概念的習(xí)得就是一種表征型抽象的結(jié)果.

小學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)主要來源于感性認(rèn)知，因此，小學(xué)生的概念教學(xué)要依靠直觀展示、具體操作，向?qū)W生展示其熟悉的生活背景或數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使他們能夠在腦海中形成正確的初步概念意象.教師可以事先準(zhǔn)備好具體材料與具體活動(dòng).弗賴登塔爾提倡，具體活動(dòng)可以是折紙、剪紙、畫圖、測(cè)量或拼接等.三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“軸對(duì)稱圖形”這一概念時(shí)可以依靠折紙、剪紙等實(shí)物操作，對(duì)軸對(duì)稱圖形這個(gè)概念有初步的抽象認(rèn)識(shí).到五年級(jí)，有了前面的基礎(chǔ)，并且隨著學(xué)生抽象能力的逐步發(fā)展，可以將“軸對(duì)稱”的概念擴(kuò)充到離散的圖形中，軸對(duì)稱不再局限于一個(gè)完整的圖形.這時(shí)候的教學(xué)不再依靠剪紙等實(shí)物，而是需要學(xué)生發(fā)揮一定的空間想象能力，可以是給學(xué)生一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形和對(duì)稱軸，讓學(xué)生畫出另一半圖形.這一活動(dòng)需要學(xué)生先在腦海中抽象出原圖形的軸對(duì)稱圖形的表象，再將其通過畫圖的方式表達(dá)出來，這比剪紙?zhí)岣吡艘粋€(gè)層次，但對(duì)于小學(xué)生而言，都是“借助操作游戲來演示明顯的數(shù)學(xué)特征”.盡管如此，不同年齡和知識(shí)水平的孩子也具有一定的層次.通過兩個(gè)層次的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)“軸對(duì)稱”以及“軸對(duì)稱圖形”的概念形成了初步的表征型抽象結(jié)果，雖然未能形成形式化表達(dá)，但是已經(jīng)在腦海中形成了一定的概念意象.

對(duì)客體進(jìn)行分類的過程也是一種抽象，初中生較小學(xué)生而言，具有更好的抽象思維能力.有了小學(xué)階段的基礎(chǔ)，這時(shí)候可以讓學(xué)生觀察軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，抽象概括軸對(duì)稱圖形的定義（如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫作軸對(duì)稱圖形，這條直線叫作對(duì)稱軸）.學(xué)生對(duì)一系列事例的表面特征進(jìn)行識(shí)別、分類等活動(dòng)，這一過程是在對(duì)事物進(jìn)行表征型抽象，是找出其共同屬性，揭示這一類別的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，從而得到一個(gè)概念.這一階段要呈現(xiàn)的例子應(yīng)該是多樣的，有正例與反例，并且正反例中還應(yīng)有相關(guān)屬性與無關(guān)屬性的對(duì)比，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)事例的共同性質(zhì)進(jìn)行概括，對(duì)非共同性質(zhì)進(jìn)行區(qū)分與排除，在分類與概括中提高學(xué)生的抽象水平.教師的作用是幫助學(xué)生修改定義，最終對(duì)“軸對(duì)稱圖形”加以形式化定義.為防止學(xué)生形成錯(cuò)誤的概念意象，每一階段的具體材料的選擇都必須符合最后的形式化定義.在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，使學(xué)生形成清晰的形式表達(dá)，注重一定的形式化.在此之后，還需要在新的情況下運(yùn)用概念，只有能夠熟練運(yùn)用概念，才算對(duì)概念的真正習(xí)得.

中小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念都是抽象的，對(duì)于小學(xué)生來說，“分?jǐn)?shù)”的概念，對(duì)于高中生來說，“集合”的概念等，都是抽象的.因此，在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的表征型抽象能力是非常必要的.如果在小學(xué)階段缺乏具體操作，那么后續(xù)的學(xué)習(xí)將難以對(duì)其進(jìn)行抽象，如果過早地加以形式化的表達(dá)，將不利于學(xué)生想象能力的發(fā)展.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生思維及認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，按照一定的層次，把握抽象的時(shí)機(jī)，提高學(xué)生的表征型抽象能力.

（二）在命題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的原理型抽象能力

數(shù)學(xué)的抽象除了要抽象出所要研究的對(duì)象，還要抽象出這些研究對(duì)象之間的關(guān)系，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的層次性：上一級(jí)抽象的形式化結(jié)果成為下一級(jí)抽象的對(duì)象.數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)是指數(shù)學(xué)公理、定理、法則、公式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，其本質(zhì)就是數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系.命題的復(fù)雜程度高于概念，因此，命題的學(xué)習(xí)是在概念掌握的基礎(chǔ)之上，學(xué)生要對(duì)與命題有關(guān)的各個(gè)概念有清晰的思維表征，才能推導(dǎo)出命題并深刻地理解命題.原理型抽象就是對(duì)事物內(nèi)在因果關(guān)系和規(guī)律性聯(lián)系進(jìn)行的抽象，它不再是對(duì)事物進(jìn)行分類，而是確定某一對(duì)象與其他對(duì)象的聯(lián)系，如運(yùn)算律的出現(xiàn)和三角形中位線定理的推導(dǎo)都是原理型抽象的結(jié)果.

在七年級(jí)下冊(cè)，學(xué)生在學(xué)習(xí)完“軸對(duì)稱圖形”這一概念后，將對(duì)其具有的性質(zhì)進(jìn)行探討，探討圖形內(nèi)部的特征，探討圖形與對(duì)稱軸的關(guān)系（在軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)成軸對(duì)稱圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等）.這是一個(gè)數(shù)學(xué)命題，這一命題是對(duì)圖形關(guān)系的抽象，是原理型抽象的結(jié)果.原理型抽象是對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，而數(shù)學(xué)活動(dòng)是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系最有效的辦法.所以，在命題教學(xué)中，教師也應(yīng)該給予學(xué)生一定的教學(xué)活動(dòng).活動(dòng)分為兩個(gè)層次，行為的活動(dòng)和思想的活動(dòng).例如，在“軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)”這一節(jié)課的教學(xué)中，可以讓學(xué)生先回歸到最低層次，即動(dòng)手操作，作兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形，也可以是觀察軸對(duì)稱圖形，這是行為上的活動(dòng);然后，教師通過引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)所作的軸對(duì)稱圖形或給出的軸對(duì)稱圖形例子進(jìn)行思考，歸納性質(zhì)，這是思想上的活動(dòng).值得注意的是，行為上的活動(dòng)一定只是暫時(shí)的，必須經(jīng)過思想上的活動(dòng)，升華到理性思維，這樣學(xué)生才是到達(dá)了數(shù)學(xué)的層次，也就是弗賴登塔爾所說的“既要借助直觀，但又必須在一定條件下擺脫直觀而形成抽象概念”.基于直觀經(jīng)驗(yàn)，行為活動(dòng)與思維活動(dòng)相結(jié)合，缺一不可，互為補(bǔ)充，從而抽象出對(duì)稱軸與對(duì)稱圖形之間的關(guān)系性質(zhì).從具體的素材出發(fā)到提出猜想的過程就是一個(gè)抽象的過程，在這一過程中，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，同時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容及學(xué)生的水平，給予學(xué)生足夠的自主探究時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想.不同的學(xué)生抽象概括能力會(huì)有所不同，教師應(yīng)該給予引導(dǎo)，幫助學(xué)生通過自己的探索得出正確的結(jié)論，獲得一定的成就感.最后，教師應(yīng)該對(duì)性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)，以一定的數(shù)學(xué)形式展現(xiàn)給學(xué)生.

與概念教學(xué)相似，命題教學(xué)需要有一定的層次性，最終回到形式中，這是提高學(xué)生抽象能力的基礎(chǔ)與保障.在其他的命題教學(xué)中，教師也應(yīng)該遵循這一邏輯，不將結(jié)論強(qiáng)加給學(xué)生，而應(yīng)通過探究的形式，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中進(jìn)行學(xué)習(xí)，充分發(fā)揮想象力.學(xué)生有了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)歷，從數(shù)學(xué)材料中抽象出數(shù)學(xué)命題，便能更好地理解所學(xué)的知識(shí)，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而掌握原理型抽象的方法，提高抽象能力.

四、小 結(jié)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)發(fā)展中重要的思想方法，可以說，沒有數(shù)學(xué)的抽象思維，數(shù)學(xué)將得不到很好的發(fā)展.因此，它也是我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生的一種核心素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力的目的是讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)中抽象的概念與命題，所以培養(yǎng)學(xué)生具有良好的抽象素養(yǎng)，歸根結(jié)底是為了學(xué)好數(shù)學(xué).雖說數(shù)學(xué)的形式化是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)，但在中小學(xué)階段，也不能過于重視形式，應(yīng)該實(shí)行“適度的形式化原則”，這需要教師把握好形式化的尺度.數(shù)學(xué)抽象能力是可以通過教學(xué)進(jìn)行培養(yǎng)的，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，應(yīng)該讓學(xué)生親歷抽象的過程，而不是直接告訴學(xué)生結(jié)果.作為授課者，應(yīng)該厘清每一個(gè)概念、命題等數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的邏輯發(fā)展順序，厘清教材編排的順序與用意，并根據(jù)青少年兒童的心理發(fā)展規(guī)律，以抽象的層次性與數(shù)學(xué)的形式化特點(diǎn)為基礎(chǔ)，把握抽象時(shí)機(jī)，實(shí)施教學(xué).能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，教師應(yīng)該把它滲透到每一節(jié)數(shù)學(xué)課，在課堂中適時(shí)安排學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象實(shí)踐活動(dòng)，逐漸提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，形成抽象素養(yǎng).

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