胡娜
【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》提出了六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),直觀想象核心素養(yǎng)是其中之一。文章在闡述直觀想象核心素養(yǎng)的內(nèi)涵之后,提出學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)可以從幾何直觀和空間想象兩個(gè)方面進(jìn)行,借助幾何直觀將不容易掌握的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行直觀化與簡(jiǎn)明化;借助空間想象幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,能想象空間圖形之間的分解與組合,展開(kāi)與折疊等。教材中的探究題、例習(xí)題,以及高考真題都是很好的素材,本文借助這些素材在解題教學(xué)中,有意識(shí)地從幾何直觀和空間想象兩個(gè)方面滲透對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)。
【關(guān)鍵詞】直觀想象;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);幾何直觀;空間想象
【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711(2020)32-207-03
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:直觀想象素養(yǎng)是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。
本文提出,學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)可以從幾何直觀和空間想象兩個(gè)方面進(jìn)行,借助幾何直觀將不容易掌握的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行直觀化與簡(jiǎn)明化;借助空間想象幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,能想象空間圖形之間的分解與組合,展開(kāi)與折疊等。教材中的很多探究題、例習(xí)題,以及高考真題等都是很好的素材,本文借助這些素材,在解題教學(xué)中,有意識(shí)地從幾何直觀和空間想象兩個(gè)方面滲透對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)。
一、借助“幾何直觀”培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)的直觀想象案例
關(guān)于幾何直觀,著名數(shù)學(xué)家徐利治教授曾給出這樣的定義:借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。這種利用幾何圖形來(lái)認(rèn)識(shí)、描述和理解數(shù)學(xué)問(wèn)題,再進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和分析的過(guò)程,非常符合高中生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)。
例1? (人教A版必修4,P23探究題)給定一個(gè)角α
(1)角π-α、π+α的終邊與角α有什么關(guān)系?它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系?
(2)角-α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系?它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系?
(3)角; -α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系?它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系?
分析;這是人教A版必修4,P23的一道探究題,此探究題是在學(xué)習(xí)了用單位圓定義三角函數(shù)之后,用來(lái)探究《1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》的??紤]到角的終邊是條射線,且與單位圓的交點(diǎn)可以定義三角函數(shù),故可以從單位圓關(guān)于x軸,y軸,直線x=y的軸對(duì)稱性以及關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱性出發(fā),獲得解題思路。
結(jié)合單位圓定義三角函數(shù)的知識(shí),把給定的角α放到直角坐標(biāo)系中,畫出圖形,角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)記為點(diǎn)A,如圖1.對(duì)于問(wèn)題(1)中的角π-α、π+α,按照相同方法畫出圖形,角π-α、π+α的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別記為點(diǎn)B,點(diǎn)C,如圖2,引導(dǎo)學(xué)生“看”圖,易知道點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱,點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,即角π-α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱;角π+α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱。根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B,點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)關(guān)系,從而推理出角π-α與角α的三角函數(shù)關(guān)系,見(jiàn)公式二;π+α與角α的三角函數(shù)關(guān)系,見(jiàn)公式四。
對(duì)于問(wèn)題(2)中的角-α,題(3)中的角; -α,畫出圖形,終邊與單位圓的交點(diǎn)分別記為點(diǎn)D,點(diǎn)E,如圖3和圖4,引導(dǎo)學(xué)生“看”圖,易知道點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線x=y對(duì)稱,即角-α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱;角的; -α終邊與角α的終邊關(guān)于直線x=y對(duì)稱。根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)D,點(diǎn)A與點(diǎn)E的坐標(biāo)關(guān)系,從而推理出角-α與角α的三角函數(shù)關(guān)系,見(jiàn)公式三;; -α與角α的三角函數(shù)關(guān)系,見(jiàn)公式五。
說(shuō)明 在教學(xué)中,如果問(wèn)題有明顯的幾何背景,首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生畫圖、看圖、想圖并形成習(xí)慣,其次引導(dǎo)學(xué)生借助圖形分析獲得求解的思路,使學(xué)生養(yǎng)成從直觀圖形的角度觀察并思考問(wèn)題的習(xí)慣,優(yōu)化數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過(guò)程,進(jìn)而提高了數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。
例2? (2019年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷理第11題)設(shè)F為雙曲線C:;-; =1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn)。若|PQ|=|OF|,則C的離心率為 (; ).
A.? 2;;;;B.? 3? C.2;;; D.? 5
分析 這是2019年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷理第11題,是一道考查圓錐曲線的綜合類小題,這類試題在高考試卷,以及各地的高考模擬題中很常見(jiàn)。如圖5,設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱性可知PQ⊥x軸,又因?yàn)閨PQ|=|OF|=c,所以|PA|=; ,即PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,故|OA|=;,即P(? , ),又點(diǎn)P在圓x2+y2=a2上,故; +;
=a2,即;=a2,所以e2=
;? =2。所以e= 2,故選A.
說(shuō)明 幾何直觀的載體是圖形,依靠直觀,通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,直觀分析,讓他們切身體會(huì)到幾何直觀分析對(duì)簡(jiǎn)化解題的重要性,從而增強(qiáng)主動(dòng)畫圖,用圖分析的意識(shí),進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的直觀素養(yǎng)。
例3? (2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ卷理第6題)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(;; )
A.[2,6];; B.[4,8];; C.[? 2 ,3? 2? ];;D.[2? 2? ,3? 2 ]
分析 這是2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ卷理第6題,是一道平面解析幾何類小題,屬于難度中檔的試題,但是如果學(xué)生沒(méi)有掌握此類題蘊(yùn)含的“幾何”模型,而選擇用代數(shù)的方法解決時(shí),會(huì)在運(yùn)算上有困難,可能求解不出結(jié)果。所以,需要挖掘問(wèn)題背后的“幾何”問(wèn)題,構(gòu)建恰當(dāng)?shù)摹皫缀巍蹦P汀?/p>
實(shí)際上A,B兩點(diǎn)是定點(diǎn),即線段AB是定線段,要求△ABP的面積的取值范圍,需把握“變”量與“不變”量,盡可能的選擇“變”量少的面積公式。故構(gòu)建“點(diǎn)到確定直線的距離”這個(gè)“幾何”模型,借助幾何直觀使題目簡(jiǎn)單化。
由題意易求A(-2,0),B(0,-2)則|AB|=2 2 .因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,所以圓心Q的坐標(biāo)為(2,0),圓的半徑r= 2 ,則點(diǎn)Q到直線的距離h=;;;;= 2? 2,如圖6,故動(dòng)點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離d∈[h-r,h+r],即d的范圍為[? 2? ,3? 2 ] ,則S△ABP=; |AB|d=? 2 d∈[2,6] ,故答案為A.;;;;;;;;
說(shuō)明 教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生挖掘問(wèn)題背后的“幾何”背景,利用圖形的直觀性,建立“幾何”模型,將△ABP的面積的取值范圍,轉(zhuǎn)化到求解點(diǎn)到直線距離的取值范圍,利用距離公式求出結(jié)果。學(xué)生通過(guò)不斷積累經(jīng)驗(yàn),就能快速“悟”出解題方法,這對(duì)于培育學(xué)生直觀想象這個(gè)核心素養(yǎng)具有關(guān)鍵的指導(dǎo)作用。
二、借助“空間想象”培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)的直觀想象案例
空間想象幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)生在會(huì)畫空間圖形的基礎(chǔ)上,能想象空間圖形之間的分解與組合,展開(kāi)與折疊等,所以,立體幾何版塊的教學(xué)內(nèi)容是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)非常好的載體。
例4? (2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理第7題)某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三圖如圖7,圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為(; ).
A.2? 17 B.2? 15;;;;C.3 ;? D.2
分析 這是2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理第7題,是一道立體幾何類小題,屬于難度中檔的試題。首先,學(xué)生需要通過(guò)“看”三視圖中的點(diǎn)A,B,“想象”它在原圖——圓柱中的位置,然后在此幾何體的表面考慮點(diǎn)M,N的最短路徑問(wèn)題。由于幾何體表面的兩點(diǎn)之間距離,從立體幾何圖看是曲線,不易求解,需要學(xué)生用轉(zhuǎn)化思想,先根據(jù)幾何體“想象”怎么通過(guò)表面展開(kāi),轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題變曲為直,利用幾何性質(zhì)求解。
通過(guò)三視圖發(fā)現(xiàn)圓柱上點(diǎn)M,N的位置,如圖8.幾何體表面的兩點(diǎn)之間距離,從立體幾何圖看是曲線,通過(guò)“想象”圓柱的特殊性質(zhì),選擇沿過(guò)點(diǎn)M的母線把圓柱展開(kāi),如圖9,發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)之間線段最短,直接連接點(diǎn)M,N,求得MN= 22+42=2? 5 ,即為最短路徑的長(zhǎng)度。故答案為B.
說(shuō)明 許多幾何問(wèn)題的背后都有一個(gè)代數(shù)模型,需要通過(guò)“想象”挖掘出其代數(shù)意義,才能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,最終尋求解題突破。
學(xué)生通過(guò)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,能“想象”空間圖形表面的展開(kāi)與還原,是培養(yǎng)想象素養(yǎng)的非常好的思維方式。
例5? (2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理第7題)某多面體的三視圖如圖10所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三形,該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為(;? ).
A.10 ;;;; B.12;;;; C.14 D.16
分析 這是2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理第7題,是一道立體幾何類小題,屬于難度中檔的試題。其實(shí),依據(jù)三視圖憑空想象此多面體的原圖解題是比較困難的,依據(jù)常規(guī)方法,對(duì)學(xué)生的空間想象能力的要求較高,如果利用常見(jiàn)幾何模型,從中找此幾何體就會(huì)變得較簡(jiǎn)單。
根據(jù)三視圖還原的幾何體是個(gè)組合體,如圖11.是由三棱柱ABC-DRF和三棱錐E-FDR組成的。則該幾何體各面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形,則這些梯形的面積之和為2×(2+4)×2×; =12,故選B.
說(shuō)明 學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體的空間認(rèn)識(shí)比其他幾何體多,利用長(zhǎng)方體解決空間幾何體問(wèn)題能有效減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷。空間幾何體的課堂教學(xué)內(nèi)容為培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)提供了素材。
例6? (人教A版必修2,P79B組第1題)如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,
(1)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A',求證:A'D⊥EF.
(2) 當(dāng)BE=BF=; BC時(shí),求三棱錐A'-EFD的體積.
分析 這是人教A版必修2,P79B組第1題,是一道立體幾何類大題,屬于難度中檔的試題。題目涉及到平面圖形的折疊,折疊前是平面圖形,折疊后是空間幾何體。關(guān)于折疊問(wèn)題,需要學(xué)生依靠經(jīng)驗(yàn),總結(jié)出折疊前后的變量與不變量,這是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。;
折疊前的關(guān)系:AD⊥AE,CD⊥CF折疊后的關(guān)系:A'E⊥A'D,A'F⊥A'D。對(duì)于問(wèn)題(1),因?yàn)锳'E⊥A'D,A'F⊥A'D又因?yàn)锳'E∩A'F=A',A'E,A'F?平面A'EF,所以,A'D⊥平面A'EF,因?yàn)镋F?平面A'EF,所以A'D⊥EF.
問(wèn)題(2),因?yàn)锳'D⊥平面A'EF,所以A'D是A'到平面A'EF的距離,且A'D=2.在Rt△BEF中,BE=; AB=;,BF=
BC=;? 所以EF=? BE2+BF2;=;? .在△A'EF中,A'E=; AB
=;,A'F=; BC=;? ,EF=;? ,所以△A'EF是等腰三角形,如圖14.求出△A'EF底邊的高
h=? A'F2-(;EF)2;=(; )2-(; )2 =;; .
可求出△A'EF的面積,S△A'EF=; EF·h=; ×; ×;
=;; 所以VD-A'EF=;? S△A'EF·A'D=;? ×;? ×2=;;的體積。又VA'-DEF=VD-A'EF,所以VA'-DEF=;; .
說(shuō)明 平面圖形的折疊問(wèn)題是立體幾何??碱}型,關(guān)于折疊問(wèn)題,需要學(xué)生依靠經(jīng)驗(yàn),重視分析平面圖形到立體圖形的幾何特征,位置關(guān)系,以及數(shù)量關(guān)系的變化情況,在整個(gè)解題過(guò)程中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題、分析了問(wèn)題,最終解決了問(wèn)題,提高了空間想象能力。
三、結(jié)束語(yǔ)
課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主要途徑之一,隨著對(duì)核心素養(yǎng)的考查力度的增加,高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該讓核心素養(yǎng),特別是直觀想象核心素養(yǎng),在數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐中落地,更需要深挖掘出教材中蘊(yùn)含直觀想象核心素養(yǎng)的切實(shí)可行的案例在課堂上呈現(xiàn)。
【參考文獻(xiàn)】
[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018
[2] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018
作者單位
(廣州市第八十一中學(xué);廣東;廣州;510000)