例談高中數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

胡娜

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，直觀想象核心素養(yǎng)是其中之一。文章在闡述直觀想象核心素養(yǎng)的內(nèi)涵之后，提出學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)可以從幾何直觀和空間想象兩個方面進(jìn)行，借助幾何直觀將不容易掌握的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀化與簡明化;借助空間想象幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能想象空間圖形之間的分解與組合，展開與折疊等。教材中的探究題、例習(xí)題，以及高考真題都是很好的素材，本文借助這些素材在解題教學(xué)中，有意識地從幾何直觀和空間想象兩個方面滲透對學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】直觀想象;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);幾何直觀;空間想象

【中圖分類號】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）32-207-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：直觀想象素養(yǎng)是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。

本文提出，學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)可以從幾何直觀和空間想象兩個方面進(jìn)行，借助幾何直觀將不容易掌握的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀化與簡明化;借助空間想象幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能想象空間圖形之間的分解與組合，展開與折疊等。教材中的很多探究題、例習(xí)題，以及高考真題等都是很好的素材，本文借助這些素材，在解題教學(xué)中，有意識地從幾何直觀和空間想象兩個方面滲透對學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)。

一、借助“幾何直觀”培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)的直觀想象案例

關(guān)于幾何直觀，著名數(shù)學(xué)家徐利治教授曾給出這樣的定義：借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。這種利用幾何圖形來認(rèn)識、描述和理解數(shù)學(xué)問題，再進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和分析的過程，非常符合高中生的學(xué)習(xí)特點。

例1? （人教A版必修4，P23探究題）給定一個角α

（1）角π-α、π+α的終邊與角α有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

（2）角-α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

（3）角; -α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

分析;這是人教A版必修4，P23的一道探究題，此探究題是在學(xué)習(xí)了用單位圓定義三角函數(shù)之后，用來探究《1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》的?？紤]到角的終邊是條射線，且與單位圓的交點可以定義三角函數(shù)，故可以從單位圓關(guān)于x軸，y軸，直線x=y的軸對稱性以及關(guān)于原點O的對稱性出發(fā)，獲得解題思路。

結(jié)合單位圓定義三角函數(shù)的知識，把給定的角α放到直角坐標(biāo)系中，畫出圖形，角α的終邊與單位圓的交點記為點A，如圖1.對于問題（1）中的角π-α、π+α，按照相同方法畫出圖形，角π-α、π+α的終邊與單位圓的交點分別記為點B，點C，如圖2，引導(dǎo)學(xué)生“看”圖，易知道點A與點B關(guān)于y軸對稱，點A與點C關(guān)于原點O對稱，即角π-α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱;角π+α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點O對稱。根據(jù)點A與點B，點A與點C的坐標(biāo)關(guān)系，從而推理出角π-α與角α的三角函數(shù)關(guān)系，見公式二;π+α與角α的三角函數(shù)關(guān)系，見公式四。

對于問題（2）中的角-α，題（3）中的角; -α，畫出圖形，終邊與單位圓的交點分別記為點D，點E，如圖3和圖4，引導(dǎo)學(xué)生“看”圖，易知道點A與點D關(guān)于x軸對稱，點A與點E關(guān)于直線x=y對稱，即角-α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱;角的; -α終邊與角α的終邊關(guān)于直線x=y對稱。根據(jù)點A與點D，點A與點E的坐標(biāo)關(guān)系，從而推理出角-α與角α的三角函數(shù)關(guān)系，見公式三;; -α與角α的三角函數(shù)關(guān)系，見公式五。

說明 在教學(xué)中，如果問題有明顯的幾何背景，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生畫圖、看圖、想圖并形成習(xí)慣，其次引導(dǎo)學(xué)生借助圖形分析獲得求解的思路，使學(xué)生養(yǎng)成從直觀圖形的角度觀察并思考問題的習(xí)慣，優(yōu)化數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程，進(jìn)而提高了數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的能力。

例2? （2019年全國新課標(biāo)Ⅱ卷理第11題）設(shè)F為雙曲線C：;-; =1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點。若|PQ|=|OF|，則C的離心率為 （; ）.

A.? 2;;;;B.? 3? C.2;;; D.? 5

分析 這是2019年全國新課標(biāo)Ⅱ卷理第11題，是一道考查圓錐曲線的綜合類小題，這類試題在高考試卷，以及各地的高考模擬題中很常見。如圖5，設(shè)PQ與x軸交于點A，由對稱性可知PQ⊥x軸，又因為|PQ|=|OF|=c，所以|PA|=; ，即PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，故|OA|=;，即P（? ， ），又點P在圓x2+y2=a2上，故; +;

=a2，即;=a2，所以e2=

;? =2。所以e= 2，故選A.

說明 幾何直觀的載體是圖形，依靠直觀，通過讓學(xué)生動手實踐，直觀分析，讓他們切身體會到幾何直觀分析對簡化解題的重要性，從而增強(qiáng)主動畫圖，用圖分析的意識，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的直觀素養(yǎng)。

例3? （2018年全國新課標(biāo)Ⅲ卷理第6題）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓（x-2）2+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是（;; ）

A.[2，6];; B.[4，8];; C.[? 2 ，3? 2? ];;D.[2? 2? ，3? 2 ]

分析 這是2018年全國新課標(biāo)Ⅲ卷理第6題，是一道平面解析幾何類小題，屬于難度中檔的試題，但是如果學(xué)生沒有掌握此類題蘊(yùn)含的“幾何”模型，而選擇用代數(shù)的方法解決時，會在運算上有困難，可能求解不出結(jié)果。所以，需要挖掘問題背后的“幾何”問題，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)摹皫缀巍蹦Ｐ汀?/p>

實際上A，B兩點是定點，即線段AB是定線段，要求△ABP的面積的取值范圍，需把握“變”量與“不變”量，盡可能的選擇“變”量少的面積公式。故構(gòu)建“點到確定直線的距離”這個“幾何”模型，借助幾何直觀使題目簡單化。

由題意易求A（-2，0），B（0，-2）則|AB|=2 2 .因為點P在圓（x-2）2+y2=2上，所以圓心Q的坐標(biāo)為（2，0），圓的半徑r= 2 ，則點Q到直線的距離h=;;;;= 2? 2，如圖6，故動點P到直線x+y+2=0的距離d∈[h-r，h+r]，即d的范圍為[? 2? ，3? 2 ] ，則S△ABP=; |AB|d=? 2 d∈[2，6] ，故答案為A.;;;;;;;;

說明 教師通過引導(dǎo)學(xué)生挖掘問題背后的“幾何”背景，利用圖形的直觀性，建立“幾何”模型，將△ABP的面積的取值范圍，轉(zhuǎn)化到求解點到直線距離的取值范圍，利用距離公式求出結(jié)果。學(xué)生通過不斷積累經(jīng)驗，就能快速“悟”出解題方法，這對于培育學(xué)生直觀想象這個核心素養(yǎng)具有關(guān)鍵的指導(dǎo)作用。

二、借助“空間想象”培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)的直觀想象案例

空間想象幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)生在會畫空間圖形的基礎(chǔ)上，能想象空間圖形之間的分解與組合，展開與折疊等，所以，立體幾何版塊的教學(xué)內(nèi)容是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)非常好的載體。

例4? （2018年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理第7題）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三圖如圖7，圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（; ）.

A.2? 17 B.2? 15;;;;C.3 ;? D.2

分析 這是2018年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理第7題，是一道立體幾何類小題，屬于難度中檔的試題。首先，學(xué)生需要通過“看”三視圖中的點A，B，“想象”它在原圖——圓柱中的位置，然后在此幾何體的表面考慮點M，N的最短路徑問題。由于幾何體表面的兩點之間距離，從立體幾何圖看是曲線，不易求解，需要學(xué)生用轉(zhuǎn)化思想，先根據(jù)幾何體“想象”怎么通過表面展開，轉(zhuǎn)化為平面問題變曲為直，利用幾何性質(zhì)求解。

通過三視圖發(fā)現(xiàn)圓柱上點M，N的位置，如圖8.幾何體表面的兩點之間距離，從立體幾何圖看是曲線，通過“想象”圓柱的特殊性質(zhì)，選擇沿過點M的母線把圓柱展開，如圖9，發(fā)現(xiàn)兩點之間線段最短，直接連接點M，N，求得MN= 22+42=2? 5 ，即為最短路徑的長度。故答案為B.

說明 許多幾何問題的背后都有一個代數(shù)模型，需要通過“想象”挖掘出其代數(shù)意義，才能使復(fù)雜問題簡單化，最終尋求解題突破。

學(xué)生通過空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能“想象”空間圖形表面的展開與還原，是培養(yǎng)想象素養(yǎng)的非常好的思維方式。

例5? （2017年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理第7題）某多面體的三視圖如圖10所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（;? ）.

A.10 ;;;; B.12;;;; C.14 D.16

分析 這是2017年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理第7題，是一道立體幾何類小題，屬于難度中檔的試題。其實，依據(jù)三視圖憑空想象此多面體的原圖解題是比較困難的，依據(jù)常規(guī)方法，對學(xué)生的空間想象能力的要求較高，如果利用常見幾何模型，從中找此幾何體就會變得較簡單。

根據(jù)三視圖還原的幾何體是個組合體，如圖11.是由三棱柱ABC-DRF和三棱錐E-FDR組成的。則該幾何體各面內(nèi)只有兩個相同的梯形，則這些梯形的面積之和為2×（2+4）×2×; =12，故選B.

說明 學(xué)生對長方體的空間認(rèn)識比其他幾何體多，利用長方體解決空間幾何體問題能有效減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷。空間幾何體的課堂教學(xué)內(nèi)容為培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)提供了素材。

例6? （人教A版必修2，P79B組第1題）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，

（1）點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A'，求證：A'D⊥EF.

（2） 當(dāng)BE=BF=; BC時，求三棱錐A'-EFD的體積.

分析 這是人教A版必修2，P79B組第1題，是一道立體幾何類大題，屬于難度中檔的試題。題目涉及到平面圖形的折疊，折疊前是平面圖形，折疊后是空間幾何體。關(guān)于折疊問題，需要學(xué)生依靠經(jīng)驗，總結(jié)出折疊前后的變量與不變量，這是解決這類問題的關(guān)鍵。;

折疊前的關(guān)系：AD⊥AE，CD⊥CF折疊后的關(guān)系：A'E⊥A'D，A'F⊥A'D。對于問題（1），因為A'E⊥A'D，A'F⊥A'D又因為A'E∩A'F=A'，A'E，A'F?平面A'EF，所以，A'D⊥平面A'EF，因為EF?平面A'EF，所以A'D⊥EF.

問題（2），因為A'D⊥平面A'EF，所以A'D是A'到平面A'EF的距離，且A'D=2.在Rt△BEF中，BE=; AB=;，BF=

BC=;? 所以EF=? BE2+BF2;=;? .在△A'EF中，A'E=; AB

=;，A'F=; BC=;? ，EF=;? ，所以△A'EF是等腰三角形，如圖14.求出△A'EF底邊的高

h=? A'F2-（;EF）2;=（; ）2-（; ）2 =;; .

可求出△A'EF的面積，S△A'EF=; EF·h=; ×; ×;

=;; 所以VD-A'EF=;? S△A'EF·A'D=;? ×;? ×2=;;的體積。又VA'-DEF=VD-A'EF，所以VA'-DEF=;; .

說明 平面圖形的折疊問題是立體幾何?？碱}型，關(guān)于折疊問題，需要學(xué)生依靠經(jīng)驗，重視分析平面圖形到立體圖形的幾何特征，位置關(guān)系，以及數(shù)量關(guān)系的變化情況，在整個解題過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題、分析了問題，最終解決了問題，提高了空間想象能力。

三、結(jié)束語

課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主要途徑之一，隨著對核心素養(yǎng)的考查力度的增加，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該讓核心素養(yǎng)，特別是直觀想象核心素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)課堂實踐中落地，更需要深挖掘出教材中蘊(yùn)含直觀想象核心素養(yǎng)的切實可行的案例在課堂上呈現(xiàn)。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

作者單位

（廣州市第八十一中學(xué);廣東;廣州;510000）