基于GeoGebra的電勢(shì)可視化研究
——由一道電勢(shì)圖像題引發(fā)的思考

陳林 桑芝芳

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215000)

“電勢(shì)”是高中物理中最為抽象的概念，學(xué)生怕學(xué)，老師怕教，為了降低教學(xué)難度，許多教師采用類(lèi)比的方法[1]，將電勢(shì)與地勢(shì)類(lèi)比．然而以上的教學(xué)往往主要是文字描述或板書(shū)講解，學(xué)生在腦海中難以形成直觀的印象．同時(shí)，對(duì)于場(chǎng)源電荷稍微復(fù)雜的情形, 電勢(shì)、等勢(shì)面也相對(duì)復(fù)雜, 尋找一種簡(jiǎn)單的方法變抽象為直觀, 是很有意義的．

文獻(xiàn)[2～4]雖然描繪出了電勢(shì)空間分布圖，但是借助的軟件都是Matlab，需要較強(qiáng)的編程能力，文獻(xiàn)[5]中雖然采用的是GeoGebra軟件，但沒(méi)有推廣到多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電勢(shì)分布中去．

GeoGebra軟件，幾乎不需要任何的編程語(yǔ)言就能將電勢(shì)的空間分布圖描繪出來(lái)，對(duì)中學(xué)教師來(lái)講非常方便，能獲得了較好的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果和教學(xué)效果．

1 例題

【題目】(2011年高考上海卷)兩個(gè)等量異種點(diǎn)電荷位于x軸上,相對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分布,正確描述電勢(shì)φ隨位置x變化規(guī)律的是圖( )

解析：正、負(fù)電荷在連線(xiàn)中點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)一正一負(fù)，故此處即坐標(biāo)原點(diǎn)處的總電勢(shì)為零．順電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)逐漸降低，因此，在坐標(biāo)原點(diǎn)左側(cè)，各點(diǎn)的電勢(shì)都大于零；在坐標(biāo)原點(diǎn)右側(cè)，各點(diǎn)的電勢(shì)都小于零，正電荷處電勢(shì)最高，負(fù)電荷處電勢(shì)最低，無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，因此選項(xiàng)A正確．

2 GeoGebra設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y，z)，點(diǎn)電荷qi所在位置的坐標(biāo)為(xi，yi，zi)，則P點(diǎn)處的電勢(shì)為

(1)

其中P為空間的任意位置，式(1)為一個(gè)三元函數(shù)，加上電勢(shì)φ共4個(gè)變量，在三維空間中無(wú)法描繪出它們的關(guān)系．所以此處只考慮平面z=zi內(nèi)的電勢(shì)分布，則點(diǎn)P在平面z=zi內(nèi)的電勢(shì)分布為

(2)

假定兩個(gè)電荷為等量異種電荷，分別位于三維坐標(biāo)(-2,0,0)和(2,0,0)上，根據(jù)式(2)，在3D繪圖區(qū)用z軸坐標(biāo)表示電勢(shì)．

xOy平面上任意一點(diǎn)的電勢(shì)可以表示為

(3)

為了便于作圖，取k=1，拖動(dòng)GeoGebra中的滑動(dòng)條，調(diào)節(jié)q1和q2使兩者互為相反數(shù)，得到如圖1所示三維圖像．

圖1 2個(gè)等量異種電荷空間電勢(shì)分布

在輸入?yún)^(qū)輸入y=0,3D繪圖區(qū)立即出現(xiàn)一個(gè)新的平面，即xOz平面，在工具欄點(diǎn)擊【相交曲線(xiàn)】工具，然后在3D繪圖區(qū)先后點(diǎn)擊兩個(gè)面，就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)面的交線(xiàn)，如圖2所示．

圖2 兩個(gè)面相交

隱藏兩個(gè)面，只保留交線(xiàn)，然后沿y軸方向觀察，就可以得到等量異種電荷連線(xiàn)上電勢(shì)分布圖像，如圖3所示．

圖3 2個(gè)等量異種電荷連線(xiàn)上的電勢(shì)分布

圖3的得到過(guò)程對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)更具說(shuō)服力與直觀性，并且比板書(shū)講解、徒手繪畫(huà)更加嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)[4,5]．

3 問(wèn)題的拓展分析

3.1 等量同種電荷的空間電勢(shì)分布

在完成等量異種電荷的空間電勢(shì)分析之后，筆者拖動(dòng)GeoGebra中的滑動(dòng)條，使q1和q2相等，便可以很方便地得到等量同種電荷的空間電勢(shì)分布，如圖4所示．

圖4 2個(gè)等量同種電荷的空間電勢(shì)分布

同理，用上述相同的方法可以得到等量同種電荷連線(xiàn)上的電勢(shì)分布，如圖5所示．

圖5 2個(gè)等量同種電荷連線(xiàn)上的電勢(shì)分布

3.2 等勢(shì)線(xiàn)的繪制

在上述繪制完成之后，在輸入?yún)^(qū)分別輸入：z=2,z=3,z=4,z=5,z=6，這幾個(gè)面相當(dāng)于等勢(shì)面，點(diǎn)擊【相交曲線(xiàn)】工具，便可繪制成如圖6所示的等勢(shì)線(xiàn)．再旋轉(zhuǎn)圖像，沿z軸俯視看下去，得到如圖7所示的等勢(shì)線(xiàn)圖，效果非常好，也與傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程的結(jié)論是一致的．

圖6 2個(gè)等量同種電荷等勢(shì)線(xiàn)的空間分布

圖7 2個(gè)等量同種電荷等勢(shì)線(xiàn)的二維平面圖

由圖6和圖7也可以清晰地看到：平面上電勢(shì)越高，在空間中的位置也越高，這可以形象地與生活中的地勢(shì)聯(lián)系起來(lái)，更好地理解電勢(shì)的物理含義．在距等量同種電荷距離越遠(yuǎn)處,等勢(shì)線(xiàn)越接近于圓形．

3.3 多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電勢(shì)分布

我們以式(3)為基礎(chǔ)，只要相應(yīng)增加等式右邊的求和項(xiàng)，就可以得到多個(gè)點(diǎn)電荷組成系統(tǒng)的電勢(shì)分布．如在2個(gè)點(diǎn)電荷的基礎(chǔ)上，再加1個(gè)點(diǎn)電荷，就得到3個(gè)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系的電勢(shì)分布圖，如圖8所示．

圖8 3個(gè)等量同種點(diǎn)電荷的空間電勢(shì)分布圖

再按照上述畫(huà)等勢(shì)線(xiàn)的方法，可以得到圖9．

圖9 3個(gè)等量同種電荷等勢(shì)線(xiàn)分布

在GeoGebra中，拖動(dòng)滑動(dòng)條，使q3的電荷量為-3.8，得到3個(gè)異種點(diǎn)電荷形成的電勢(shì)分布圖，如圖10所示．

圖10 3個(gè)點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布圖

同理，我們可以得到4個(gè)、5個(gè)等多個(gè)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系的電勢(shì)分布圖．圖11是4個(gè)位置對(duì)稱(chēng)、等量同種電荷形成的電勢(shì)分布圖．圖12是4個(gè)異種電荷形成的電勢(shì)分布圖．圖13是5個(gè)異種點(diǎn)電荷形成的電勢(shì)分布圖．

圖11 4個(gè)等量同種點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布圖

圖12 4個(gè)異種點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布圖

圖13 5個(gè)異種點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布圖

4 結(jié)束語(yǔ)

利用GeoGebra強(qiáng)大而方便的科學(xué)計(jì)算功能和繪圖能力,由一道高考電勢(shì)圖像題引發(fā)思考，分別對(duì)2個(gè)點(diǎn)電荷系和多個(gè)點(diǎn)電荷系的電勢(shì)分布進(jìn)行仿真模擬．不但可以準(zhǔn)確地描繪任意點(diǎn)電荷系的等勢(shì)面分布圖, 還畫(huà)出了電勢(shì)分布的三維立體圖．