傳統(tǒng)應(yīng)用題教學之當代重建（上）

【摘?要】傳統(tǒng)應(yīng)用題教學之當代重建并非是相關(guān)傳統(tǒng)的簡單回歸，而是如何能夠依據(jù)數(shù)學教育目標的現(xiàn)代認識對此做出認真的總結(jié)與反思，并能通過新的研究做出進一步的發(fā)展。研究者以“努力提升學生的核心素養(yǎng)”作為分析的基本立足點，主張數(shù)學教育的主要任務(wù)是促進學生思維的發(fā)展，特別是幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，并能由“理性思維”逐步走向“理性精神”，從而真正成為一個具有高度自覺性的理性人。

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用題教學;理性精神;數(shù)學教育;當代重建

【作者簡介】鄭毓信，南京大學哲學系教授、博士生導(dǎo)師，國際數(shù)學教育大會（ICME-10）程序委員會委員，美國《數(shù)學評論》雜志評論員，長期從事數(shù)學哲學、科學哲學、數(shù)學教育與科學教育的專門研究。

為什么要提及“傳統(tǒng)應(yīng)用題教學之當代重建”？難道不是基于這方面的一個事實，即傳統(tǒng)應(yīng)用題因為有諸多弊病自新一輪課程改革以來已為“問題解決”（或“解決問題”，下同）所完全取代了？

相對于簡單接受這一事實而言，筆者認為，我們應(yīng)當更深入地思考兩個問題：（1）盡管應(yīng)用題教學確有不少弊端，但其作為中國數(shù)學教育教學傳統(tǒng)的組成成分是否也有一定的合理性，又是否可以被看成已由當前的“問題解決”教學得到了很好地繼承？（2）數(shù)學教育為什么應(yīng)當特別重視“問題解決”，其是否也有一定的局限性？進而，以下的事實也可被看成進一步凸顯了深入思考上述問題的重要性：傳統(tǒng)應(yīng)用題教學有不少內(nèi)容，包括基本體系已在“奧數(shù)訓(xùn)練”“一日一練”等名目下得到了沿用。但是，由于缺乏認真的總結(jié)與深入研究，傳統(tǒng)應(yīng)用題教學的弊病也在新的形式下得到了延續(xù)，甚至有所加重。

為了對上述問題做出解答，我們應(yīng)首先弄清分析的基本立場，也即我們應(yīng)當按照什么標準對傳統(tǒng)應(yīng)用題教學與“問題解決”教學各自的優(yōu)缺點做出分析。由于這兩者都應(yīng)被看成實現(xiàn)數(shù)學教育目標的具體手段或途徑，因此在筆者看來，我們應(yīng)依據(jù)數(shù)學教育的基本目標對此做出具體分析，包括很好地理解“傳統(tǒng)應(yīng)用題教學之當代重建”這樣一個含義：我們所希望的并非是相關(guān)傳統(tǒng)應(yīng)用題教學的簡單回歸，而是希望如何能夠依據(jù)數(shù)學教育目標的現(xiàn)代認識對此做出認真的總結(jié)與反思，并能通過新的研究做出進一步的發(fā)展。

在此，還應(yīng)特別提及這樣一個論點：“數(shù)學應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學建?！盵1]。因為這集中反映了新一輪數(shù)學課程改革，特別是受《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的影響，也即對“模型思想”的突出與強調(diào)。與此相對照，筆者認為，盡管應(yīng)用題的求解在一定程度上確可被看成屬于“數(shù)學建?！钡姆秶?，其相關(guān)學習也可為學生“日后進一步學習‘數(shù)學建模做好必要的準備”。但我們應(yīng)更深入地思考：究竟什么是應(yīng)用題教學的主要作用。我們應(yīng)依據(jù)數(shù)學教育的基本目標對此做出具體的分析。

以下就是這方面的一個具體工作，希望能夠引起廣大讀者的重視與思考，并能積極地參與到傳統(tǒng)應(yīng)用題教學的當代重建之中，從而能通過共同努力很好地完成這個任務(wù)。

一、研究的基本立場

我們將以“努力提升學生的核心素養(yǎng)”作為分析的基本立足點，認為數(shù)學教育的主要任務(wù)是促進學生思維的發(fā)展，特別是幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，并能由“理性思維”逐步走向“理性精神”，從而真正成為一個具有高度自覺性的理性人。我們還應(yīng)正確處理數(shù)學教育“三維目標”之間的辯證關(guān)系。思維的發(fā)展相比于其他兩個目標更加重要，我們應(yīng)當以此帶動、促進學生關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)知識與基本技能的學習，以及相關(guān)情感、態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)[2]。

正因如此，這就成為我們判斷一項具體活動（不僅是指“問題解決”和應(yīng)用題求解，也包括“數(shù)學游戲”“數(shù)學繪本”“數(shù)學折紙”等廣義的“數(shù)學活動”）是否適合數(shù)學教育的主要標準：是否有益于學生思維的發(fā)展。我們應(yīng)從這一角度進一步分析相關(guān)活動究竟有哪些優(yōu)點與不足之處，又應(yīng)如何對此做出必要的改進和發(fā)展，等等。

以下首先按照這個標準對“問題解決”對于數(shù)學教育的適合性做出簡要分析。

“問題解決”是國際數(shù)學教育界在20世紀80年代的主要口號，其基本指導(dǎo)思想是“學數(shù)學，做數(shù)學”，突出了實際參與數(shù)學活動對于數(shù)學學習的重要性，并認為學生只需通過實際參與各種數(shù)學活動就可學會數(shù)學。但是，學生是否真的只需通過實際參與各種數(shù)學活動，特別是通過“解決問題”的實踐就可學會數(shù)學，包括初步學會數(shù)學思維？

筆者的看法是，盡管“學數(shù)學，做數(shù)學”的認識具有廣泛影響，但這又恰是“問題解決”數(shù)學教育改革運動給予我們的重要啟示或教訓(xùn)：我們不應(yīng)認為學生只需實際參與各種數(shù)學活動就可學會數(shù)學。因為，數(shù)學特別是數(shù)學思維的學習，并不能被歸結(jié)為經(jīng)驗的簡單積累，而是主要依靠主體的反思與教師的必要指導(dǎo)。而且，如果缺乏自覺性，即使是“問題解決”的簡單實踐也可能出現(xiàn)各種各樣的弊病。

例如，以下就是美國數(shù)學教育界以前經(jīng)?？梢钥吹降囊粋€現(xiàn)象，并因此引發(fā)了專業(yè)人士特別是數(shù)學家的嚴厲批判，甚至在一定程度上引發(fā)了所謂的“數(shù)學戰(zhàn)爭”：教學中的學生（甚至包括教師）往往滿足于用某種方法（特別是觀察、實驗和猜測）求得問題的解答，卻沒有認識到還應(yīng)做進一步的思考和研究，甚至都未能對所獲得結(jié)果的正確性（完整性）做出必要的檢驗或證明[3]。

更進一步，我們應(yīng)清楚地看到在人們的解題行為與內(nèi)在思維活動之間的重要聯(lián)系，特別是只有圍繞以下一些問題進行認真地思考，相應(yīng)的解題行為才能被看成真正的數(shù)學活動。而這事實上也已由單純的“問題解決”過渡到了“數(shù)學思維”，即我們應(yīng)當如何從事解題活動，特別是使用怎樣的解題方法;我們又應(yīng)當如何對所得的結(jié)論做出必要的論證，包括對結(jié)論與相關(guān)方法等做出的推廣與優(yōu)化……總之，人們的解題行為完全離不開內(nèi)在的思維活動，故應(yīng)被看成數(shù)學思維的具體體現(xiàn)與直接應(yīng)用。當然，就學生而言，這主要又是一個后天的學習過程，更離不開教師的直接指導(dǎo)，而后者所發(fā)揮的則主要是“數(shù)學文化”的傳承作用。

由此可見，即使是在今天，我們?nèi)匀粦?yīng)當十分重視防止與糾正對于“問題解決”的簡單化理解，特別是認為學生只需通過實際參與各種數(shù)學活動就可學會數(shù)學，乃至將學生的數(shù)學發(fā)展歸結(jié)為基本活動經(jīng)驗的簡單積累。恰恰相反，我們應(yīng)當按照“努力促進學生思維的發(fā)展”這一目標對此做出進一步的分析與研究，包括更深入地認識數(shù)學學習活動的本質(zhì)，特別是實際活動與反思之間的關(guān)系。

那么，我們究竟應(yīng)如何看待傳統(tǒng)應(yīng)用題教學？除了“是否可以用‘問題解決完全取代”這樣一個論題，人們還經(jīng)常提及的一個疑慮是：由于算術(shù)應(yīng)用題的學習并不容易，其中有些問題更具有很大難度，但隨著方程（代數(shù)）方法的引入，這些問題的求解往往變得十分容易，只需按照一定的程序或方法就可順利解決。因此，我們似乎完全沒有必要花費如此多的時間和精力從事算術(shù)應(yīng)用題的專門教學和學習，而應(yīng)盡快離開“四則難題”引進代數(shù)方法。

不難看出，后一論點主要是從單純的“解決問題”，即如何能夠求得問題的具體解答這一角度進行分析的。但這是否就是應(yīng)用題教學的主要作用？筆者的看法是：這里的關(guān)鍵，事實上并不在于我們究竟應(yīng)當采用“應(yīng)用題”還是“問題解決”這樣一個名稱，也不在于我們是否應(yīng)當盡快離開“四則難題”去引進代數(shù)方法，而在于應(yīng)當更好地弄清相關(guān)內(nèi)容的教學對于數(shù)學教育基本目標的實現(xiàn)，即有效促進學生的思維發(fā)展究竟有什么作用。這也正是“傳統(tǒng)應(yīng)用題教學之當代重建”的主要方向。

筆者認為，應(yīng)用題教學應(yīng)當對促進學生的思維發(fā)展發(fā)揮重要的作用。也正因如此，簡單否定或完全取代的立場并不可取，恰恰相反，我們應(yīng)明確提出“傳統(tǒng)應(yīng)用題教學之當代重建”的任務(wù)，從而不僅可以對促進我國數(shù)學教育事業(yè)的深入發(fā)展起重要作用，也可以使之成為中國數(shù)學教育的一個重要特色和亮點。

在此，我們還可對“數(shù)學應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學建模”這一說法做出如下簡要分析。事實上，我們并不應(yīng)將幫助學生很好掌握“模型的思想”，包括“為日后進一步學習‘數(shù)學建模做好必要的準備”看成應(yīng)用題教學的主要目標，因為“數(shù)學建?！敝饕P(guān)注的只是模型的有效性，即我們?nèi)绾文軌蜥槍Α耙粋€個復(fù)雜的具體情境，建立一個個特定的專用數(shù)學模型，并用模型來解決非常具體的問題”。也正因如此，相關(guān)工作往往就以“（模型的）檢驗和改進”作為解題工作的最后步驟。但是，如果主要著眼于促進學生思維的發(fā)展，應(yīng)用題的教學顯然就不應(yīng)集中于如何能夠有效地解決問題，而應(yīng)更加關(guān)注我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^解決問題的具體實踐幫助學生在思維方法的學習以及思維品質(zhì)的提升上有更大的收獲，從而自然應(yīng)當以“反思”（或者說，“再認識”）作為相關(guān)學習活動的最后步驟?？傊绻浴皵?shù)學建?！钡乃枷肴ブ笇?dǎo)應(yīng)用題教學，就必然會極大地削弱學生思維發(fā)展的功能。

我們還將從同一立場對應(yīng)當如何從事應(yīng)用題教學做更加具體的分析，從而為“傳統(tǒng)應(yīng)用題教學之當代重建”指明努力的方向。這也十分有益于我們防止與糾正現(xiàn)實中看到的種種“回潮”現(xiàn)象，即如以“奧數(shù)訓(xùn)練”等名目加以包裝的機械教學和機械學習。

二、從“問題分類”到“聯(lián)系的觀點”

特別強調(diào)問題的分類與基本題型的學習是傳統(tǒng)應(yīng)用題教學的一個重要特征。然而，正是在這方面我們又看到如下的弊病，即題型區(qū)分過多、過細，分類時又往往過分強調(diào)問題的事實性內(nèi)容……更一般地說，就如以下分析所指出的那樣：“小學數(shù)學教學中，應(yīng)用題教學作為培養(yǎng)學生解決問題能力的重要載體，積累了豐富的經(jīng)驗……然而，在幾十年的演變過程中，應(yīng)用題教學的理念與價值不斷轉(zhuǎn)變，逐漸形成了一套固定的思考模式和解題模式。以至于將應(yīng)用題的類型機械地歸結(jié)為11種，解題模式由一步應(yīng)用題到兩步應(yīng)用題（復(fù)合應(yīng)用題）再到典型應(yīng)用題，形成了一種‘程式化的解題套路……使應(yīng)用題的教學陷入困境，學生的問題解決能力沒有得到切實的培養(yǎng)?！盵4]4-7

對于機械的、程式化的教學，我們當然應(yīng)持批判的態(tài)度，但又是否因此否定“問題的適當分類與辨識”的重要性？

事實上，即使就日常的認識活動而言，問題的適當分類與辨識也具有特別的重要性，因為這直接關(guān)系到我們?nèi)绾文軌蛴行У貞?yīng)用已有的知識和技能，包括經(jīng)由長期實踐獲得的經(jīng)驗去解決新的問題，而不是每次都要“從頭開始”，耗費大量的時間和精力。再者，這也是人類認識活動的一個重要特征，即特別善于按照“由特殊到一般、再由一般到特殊”規(guī)律，從事認識活動。正如著名數(shù)學家、“問題解決”現(xiàn)代研究的主要奠基者波利亞所指出的：“對于一個特例所以要進行這樣周密的描述，其目的就是為了從中提出一般的方法或模式，這種模式，在以后類似的情況下，對于讀者求解問題，可以起指引作用。”[5]

應(yīng)當強調(diào)的是，上述分析直接關(guān)系到數(shù)學的本質(zhì)：數(shù)學可以定義為“模式的科學”，因為數(shù)學并非是對真實事物或現(xiàn)象量性屬性的直接研究，而是以抽象思維的產(chǎn)物，即所謂的“模式”作為直接的研究對象，其所反映的則是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同特性[6]。顯然，從這一角度我們也可以更好地理解“問題的適當分類與辨識”的重要性，因為在此無非是將“模式”這一概念推廣應(yīng)用到“問題”之上。特別是，我們必須要超出相關(guān)特例包括其現(xiàn)實意義，并從更廣泛的角度去理解“基本題型”的意義。與此相對照，如果一個問題不具有所說的普遍意義，那么只能被看成所謂的“怪題”“偏題”，對此我們自然也就不應(yīng)予以特別的重視。

以下就依據(jù)這一認識，對我們應(yīng)當如何從事應(yīng)用題教學，特別是“問題的適當分類與辨識”的教學提出一些具體建議。

第一，應(yīng)用題教學必須“去情境”。就目前的論題而言，這是指盡管我們可以而且應(yīng)當通過適當?shù)睦?，包括現(xiàn)實性問題引出相應(yīng)的問題類型，但在教學中又應(yīng)聚焦問題中數(shù)量關(guān)系的分析，而不應(yīng)以相應(yīng)的事實性內(nèi)容作為區(qū)分題型的主要標準。

當然，上述分析并不應(yīng)被理解成完全否認典型案例的作用。事實上，如果說由具體問題向相關(guān)題型的過渡意味著由特殊上升到了一般，那么借助案例進行分析則可以看成類比聯(lián)想的直接應(yīng)用，后者當然也具有普遍的方法論意義，并可被看成為相關(guān)抽象提供了直接的基礎(chǔ)。在筆者看來，這也就是現(xiàn)代學習心理學研究特別強調(diào)“多元表征理論”，特別是典型案例在概念、理論等抽象物心理表征中有著重要地位的主要原因。

但作為問題的另一方面，我們又應(yīng)清楚地看到超出事實性內(nèi)容并集中于數(shù)量關(guān)系分析的重要性。為了清楚地說明問題，在此仍可聯(lián)系“數(shù)學應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學建?！边@樣一個觀點來進行分析，特別是“我們可以將一類情境中發(fā)生的問題給以特殊的名稱。說到底，不是我們數(shù)學教學工作者進行這樣的分類，而是客觀世界本來就有這樣的不同的情境?！盵1]149相關(guān)作者特別提到的一些典型題型，例如行程問題、工程問題、價格問題、利息問題、利潤問題、折扣問題等。在筆者看來，這又直接涉及了“應(yīng)用數(shù)學”與“純粹數(shù)學”（包括基礎(chǔ)數(shù)學）之間的重要區(qū)別：由于“數(shù)學建?！敝饕獙儆凇皯?yīng)用數(shù)學”的范圍，因而不應(yīng)被看成應(yīng)用題的本質(zhì)，或者說我們在教學中不應(yīng)過分地強調(diào)應(yīng)用題的“應(yīng)用性質(zhì)”。

顯然，我們也可按照同一標準對教學中所提到的各種“問題類型”的恰當性做出判斷，如我們是否應(yīng)當將行程問題、工程問題等看成教學中應(yīng)當特別強調(diào)的一些基本題型？另外，這也是我們在從事“數(shù)學廣角”等內(nèi)容（更一般地說，就是“問題解決”）的教學時應(yīng)特別重視的一點，即不應(yīng)停留于各個具體問題（如植樹問題、搭配問題等）的求解，而應(yīng)更加重視必要的抽象問題，也即由相關(guān)實例過渡到一般性的問題類型①。

第二，與數(shù)學概念的教學相類似，“舉三反一”和“舉一反三”也可被看成應(yīng)用題教學特別重要的環(huán)節(jié)。前者是指我們應(yīng)當通過多個實例的對照比較幫助學生很好地理解相關(guān)的抽象概念，順利地提煉出相應(yīng)的題型與解題方法，包括必要的“去情境”;后者則主要涉及問題模式的辨識與應(yīng)用，包括充分發(fā)揮案例的作用。

當然，教學中我們不應(yīng)將二者機械地對立起來，而應(yīng)清楚地看到它們之間相輔相成的關(guān)系，應(yīng)當將二者很好地結(jié)合起來：學習者若能“舉一而反三”“問一而知十”這必定是其熟悉內(nèi)在道理并能融會貫通的結(jié)果。然而“舉一反三”是建立在“舉三反一”之上的，只有經(jīng)過深入的“三番考察”“十方探究”，總結(jié)出一種客觀規(guī)律（即“舉三反一”），才能在應(yīng)用該規(guī)律時做到“舉一反三”?！币舱虼?，數(shù)學教學需要“舉三反一”，甚至有時需要“舉十反一”，能夠“舉三反一”，孺子可教也[7]。

另外，從同一角度我們也可更好地理解“變式理論”，特別是“過程性變式”對應(yīng)用題教學的指導(dǎo)作用：通過適當?shù)淖兓ㄇ榫匙兓?、問題變化、條件變化等）為學生順利理解相關(guān)抽象概念并能有效應(yīng)用相應(yīng)的問題模式和解題模式解決新的問題提供必要的基礎(chǔ)。“求變”正是為了“不變”，我們應(yīng)當通過恰當?shù)淖兓c對照比較突出其中的不變因素或本質(zhì)。

在此，特別提及上海顧亞龍老師的“題組模塊”研究，尤其是這樣一個思想：“在設(shè)計題組時，教師要有意識地把相關(guān)的各種變化有層次地引入其中，形成題組模塊。這種有層次的階梯型有助于學生在變化的題組中尋找不變的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)題目之間的本質(zhì)聯(lián)系，進而找到其中的通性解法?！盵8]41“我們主張對學習內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化設(shè)計……借助‘在題型結(jié)構(gòu)、解題方法或數(shù)學思想上基于同一數(shù)學模式的一組題構(gòu)成的訓(xùn)練模塊——題組模塊，及其結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)，促進學生先‘舉三反一……再‘舉一反三……促進學生有關(guān)聯(lián)地學，最終指向?qū)?shù)學模式的感知、理解與建構(gòu)?！盵8]34

當然，正如前面所提及的，對于問題內(nèi)在數(shù)量關(guān)系的分析應(yīng)被看成所有這些活動的共同核心。我們應(yīng)在這一層面上引導(dǎo)學生對不同實例，特別是典型案例做出對照比較，這也可被看成我們切實糾正應(yīng)用題分類過多、過濫這一傳統(tǒng)弊病提供了現(xiàn)實的可能性。

第三，“聯(lián)系的觀點”。這是從“聯(lián)系的觀點”進行分析的一個直接結(jié)論：應(yīng)用題教學的真正重點并不在于基本題型的數(shù)量，如小學應(yīng)用題的教學究竟應(yīng)當強調(diào)11種還是12種基本類型，而是如何能夠通過不同問題（題型）之間關(guān)系的分析幫助學生很好地建立整體性的認識，并能以此為基礎(chǔ)，包括總結(jié)、反思和“再認識”很好地實現(xiàn)“化多為少”這樣一個目標②。

例如，在學完了“和差問題”并進而學習“和倍問題”時，教師應(yīng)引導(dǎo)學生將兩者聯(lián)系起來加以思考，特別是注意分析它們的共同點與不同點：都包含2個或2個以上的未知數(shù)，而解決問題的關(guān)鍵又都在于如何能夠?qū)崿F(xiàn)未知數(shù)由“多”向“一”的轉(zhuǎn)變。也正因此，我們事實上就可將“和倍問題”看成“和差問題”的一個變式，并應(yīng)積極鼓勵學生通過自身努力發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的解題模式，包括進一步解決如下的問題：除“和倍問題”，“和差問題”還有哪些可能的變式？

再例如，盡管這或許可以被看成一個過高的要求，即我們?nèi)绾文軐ⅰ靶谐虇栴}”“購物問題”“運輸問題”等歸結(jié)成單一題型，但教學中仍應(yīng)注意引導(dǎo)學生對它們進行對照比較，從而清楚地認識這些問題的共同點，以此為基礎(chǔ)順利地求解各個類似的問題。具體地說，這些問題的共同點在于：它們都涉及“單位量”這樣一個概念以及“單位數(shù)×單位數(shù)=總數(shù)”這樣的數(shù)量關(guān)系。當然，教學中應(yīng)注意引領(lǐng)學生針對具體情境對它們的含義做出具體解釋。例如，“行程問題”有求速度和求總路程;“購物問題”有求單價和求總價;“運輸問題”有求單車的運載量和求運輸?shù)目偭俊硗?，我們也?yīng)注意分析各類問題的特殊之處。例如，面對“行程問題”，我們應(yīng)特別重視相應(yīng)的“行車方式”，即究竟是“相向而行”還是“同向而行”，等等。

總之，為了切實提高學生對“問題類型”的識別與應(yīng)用能力，除了圍繞題型本身進行分析，我們還應(yīng)引導(dǎo)學生從更廣泛的角度進行思考，特別是注意分析不同題型之間的聯(lián)系與區(qū)別，包括新問題與基本題型的聯(lián)系與區(qū)別。（待續(xù)）

參考文獻：

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