基于問題鏈的數(shù)學(xué)微專題設(shè)計

【摘?要】在數(shù)學(xué)微專題中融入問題鏈教學(xué)的理念，通過對“認知沖突鏈”“思維導(dǎo)向鏈”“內(nèi)化提升鏈”“拓展深入鏈”的有序設(shè)計，進而推動傳統(tǒng)課堂的轉(zhuǎn)型，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)從“想學(xué)”到“學(xué)會”“會學(xué)”“樂學(xué)”的跨越。

【關(guān)鍵詞】問題鏈;微專題;兩邊夾

【作者簡介】呂增鋒，中學(xué)正高級教師，研究方向為數(shù)學(xué)教育、微課開發(fā)。

【基金項目】浙江省2019年度重點規(guī)劃課題“精準·自主·深度：基于‘學(xué)歷案的高中數(shù)學(xué)微專題教學(xué)實踐研究”（2019SB051）

數(shù)學(xué)微專題教學(xué)一般運用于高三復(fù)習(xí)課，雖然與傳統(tǒng)的大專題教學(xué)相比，微專題教學(xué)具有“因微而準、因微而細、因微而深”的優(yōu)點，但從本質(zhì)層面分析，微專題其實就是傳統(tǒng)習(xí)題集或復(fù)習(xí)材料的“濃縮版”或“精華版”。微專題教學(xué)還是依賴于“教師講，學(xué)生練”的陳舊形式，它無法從根本上促使傳統(tǒng)課堂的轉(zhuǎn)型與學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

引入“問題鏈”可以有效彌補微專題的不足。一方面，問題鏈為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的框架，使學(xué)生能夠通過問題鏈獲得較高水平的數(shù)學(xué)知識;另一方面，問題鏈中問題間的跨度又為學(xué)生的高水平思維提供了無限的可能[1]。在數(shù)學(xué)微專題設(shè)計中，如果能夠把問題鏈有機地融入其中，學(xué)生就可以通過問題鏈驅(qū)動學(xué)習(xí)的進程，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的自主探究與思維的自主建構(gòu)。下面以“兩邊夾”解題策略微專題為例，淺談基于問題鏈的數(shù)學(xué)微專題設(shè)計。

一、設(shè)計“認知沖突鏈”，讓學(xué)生想學(xué)

數(shù)學(xué)微專題教學(xué)不僅能鞏固和強化學(xué)生已有的解題經(jīng)驗，而且還能讓學(xué)生獲得新的解題技巧，優(yōu)化解題思維。但由于高三學(xué)生已經(jīng)初步具備了一套“行之有效”的解題策略，如何讓已經(jīng)深受思維定式影響的學(xué)生愿意學(xué)習(xí)并接受新的解題方法是數(shù)學(xué)微專題設(shè)計中首先需要考慮的問題?？梢酝ㄟ^制造“認知沖突”來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機。人都有解決認知沖突的本能，學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)那些“行之有效”的方法不好用或不能用時，就會促使他們?nèi)で笮碌慕忸}方法。

“認知沖突鏈”的設(shè)計可以按照“回憶—嘗試—評價—激發(fā)”的邏輯主線展開。在學(xué)生面對相對陌生的問題時，教師可以先讓學(xué)生回憶問題的類別，引導(dǎo)學(xué)生從已有的認知結(jié)構(gòu)中尋找解題方法，借助已有的解題經(jīng)驗去嘗試解題，再對解題過程進行評價，分析原有方法存在的不足，激發(fā)學(xué)生進一步探索的欲望。

例1?已知函數(shù)f（x）=x2-2x-t（t∈R）在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則實數(shù)t的值為?。

【回憶】教師讓學(xué)生思考這道題目屬于哪類問題，以前是否接觸過類似的題目，可以用什么方法來解決。

【嘗試】這是一道求函數(shù)最值問題的題目，這個函數(shù)是由二次函數(shù)外加絕對值構(gòu)成的，其圖像呈現(xiàn)“W”型，一般可以通過圖像來確定其最值。

學(xué)生在解題時需要考慮函數(shù)的最大值在什么情況下取得，以及如何確定t的值。

結(jié)合圖像，其最大值只有在f（0）=t，f（1）=t+1，f（3）=t-3處取得，然后通過逐一驗證以確定t的值。

①當fmax（x）=f（0）時，即t=±2，

t=2f（1）=3>2，t=-2f（3）=5>2，所以t=±2不符合題意。

②當fmax（x）=f（1）時，即t=1或t=-3，

t=1f（0）=1，f（3）=2，符合題意;t=-3f（0）=3>2，f（3）=6>2不符合題意。

③當fmax（x）=f（3）時，即t=1或t=5，

t=5f（0）=5>2，f（1）=6>2不符合題意。

綜上所述，t=1。

【評價】此題涉及分類討論，解題過程相對煩瑣。解題結(jié)束后，教師讓學(xué)生思考“能否想到這種解法”“對這種解法有什么看法”。

【激發(fā)】教師先肯定學(xué)生的解題成果，再針對解題過程存在的弊端，激發(fā)學(xué)生進一步探究的欲望。

二、設(shè)計“思維導(dǎo)向鏈”，讓學(xué)生學(xué)會

費賴登塔爾認為：“教學(xué)過程中所教的東西，要讓學(xué)生感覺一切都是當著學(xué)生面發(fā)生的，而不是以教條形式灌輸?shù)摹！辈ɡ麃喴矎娬{(diào)：“要讓學(xué)生懂得學(xué)習(xí)的途徑，學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn);教師不要立即吐露你的全部秘密，盡量讓學(xué)生自己找出來。”因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的過程其實就是引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的過程。數(shù)學(xué)微專題教學(xué)不應(yīng)該只是關(guān)注解題技巧、方法的落實，而是應(yīng)該重在通過設(shè)計“思維導(dǎo)向鏈”使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，從而實現(xiàn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的目的。

“思維導(dǎo)向鏈”的設(shè)計可以按照“提示—回歸—遷移—歸納”的邏輯主線展開。首先，通過提示性的語句打破學(xué)生的思維定式，讓學(xué)生知道還存在更好的解題方法;然后，讓研究的視角轉(zhuǎn)向?qū)W生熟悉的、相對簡單的題目上，?從而使學(xué)生的思維回歸到問題的起點，進而發(fā)現(xiàn)新的解題思路;接著，嘗試把解題思路遷移到對復(fù)雜問題的解決過程中;最后，經(jīng)過總結(jié)分析，歸納解決問題的核心思想方法。

【提示1】如何把“函數(shù)f（x）=x2-2x-t（t∈R）在區(qū)間[0，3]上的最大值為2”用不等式表示出來？如何去掉絕對值？

（該問題等價于x2-2x-t≤2。去絕對值一般有兩種方法：一是兩邊平方，但這樣做運算量比較大;二是根據(jù)絕對值的定義直接展開，即-2≤x2-2x-t≤2。）

【提示2】能否把參數(shù)t表示出來？

（參數(shù)分離后，得到x2-2x-2≤t≤x2-2x+2。）

【提示3】不等式x2-2x-2≤t≤x2-2x+2具有什么內(nèi)在的意義？

（這是一個表示“恒成立”的不等式。）

【回歸】若不等式x2-2x-2≤t在區(qū)間[0，3]上恒成立，如何求t的取值范圍？

（問題歸結(jié)為求函數(shù)g（x）=x2-2x-2在[0，3]上的最大值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖1，很容易求出gmax（x）=g（3）=1。）

【遷移】如何通過不等式x2-2x-2≤t≤x2-2x+2求t的值？

圖1

（maxx2-2x-2≤t≤minx2-2x+2，借助圖像，如圖1，得到t=1。）

【歸納】解決這個問題的關(guān)鍵是什么？需要用到哪些思想方法？

（去絕對值把問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值問題，通過數(shù)形結(jié)合思想“夾出”參數(shù)的值。）

三、設(shè)計“內(nèi)化提升鏈”，讓學(xué)生會學(xué)

不經(jīng)歷深度思考，不經(jīng)歷“內(nèi)化”的解題充其量就是低層次的重復(fù)訓(xùn)練，是無法達成“解一題懂一法，會一類通一片”的目標的。內(nèi)化的過程正是自我反思、自我提高、自我升華的過程。只有經(jīng)歷這個過程才能真正形成屬于學(xué)生自己的數(shù)學(xué)思想方法體系，才能實現(xiàn)從“學(xué)會”到“會學(xué)”的跨越。

“內(nèi)化提升鏈”在微專題中處于核心地位，可以按照“運用—優(yōu)化—提煉—強化”的邏輯主線展開。首先，讓學(xué)生把初步獲得的解題方法大膽地運用到解題中;然后，在實際操作中通過優(yōu)化解題方法來化解遇到的思維障礙;接著，反思積累解題經(jīng)驗，使解題方法得到進一步的提煉;最后，在教師的激勵下逐步形成適用性強、靈活多樣的解題策略，強化解題的一般思路。

例2

設(shè)a∈R，若x>0時均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則實數(shù)a的取值為。

【運用】這道題目能否利用上述的解題思路進行解答呢？

圖2

問題等價于[a-（1+1x）][a-（x-1x）]≤0在x>0時恒成立，根據(jù)“兩邊夾”思想，實數(shù)a的取值“夾在”曲線y=1+1x與y=x-1x之間（如圖2），所以a=32。

例3?已知函數(shù)f（x）=2x-ax-b（a，b∈R），對任意的x∈[1，2]，均有f（x）≤m，則實數(shù)m的最小值為。

【優(yōu)化1】此題與例1和例2比較有何不同？

（題目中包含多個參數(shù)。）

【優(yōu)化2】對于包含多個參數(shù)的式子如何變形比較合理？

（2x-ax-b≤m-m≤2x-ax-b≤m2x-m≤ax+b≤2x+m①。）

【優(yōu)化3】如何利用“兩邊夾”思想求①式的m值？

（①式可理解為“兩曲線夾一直線”，如圖3，設(shè)M（1，2-m），N（2，1-m），則直線MN的方程為y=-x+3-m，當直線MN與曲線

y=2x+m相切時m的值最小，聯(lián)立方程

y=2x+my=-x+3-m

x2+（2m-3）x+2=0，由Δ=0m=3+222。）

圖3

【提煉】經(jīng)過例3的解答，你有什么收獲？

（不等式變形是解題的關(guān)鍵，尤其是對包含多個參數(shù)的不等式，雖然其變形有多種形式，但要遵循熟悉以及容易作圖的原則，最后通過圖像“夾”出來。）

【強化】已知f（x）=x2+x-a-3在x∈[-1，1]上的最大值為2，則實數(shù)a的值為?。

此題雖然包含了兩個絕對值，但萬變不離其宗，依然可以用“兩邊夾”的思想解決。

四、設(shè)計“拓展深入鏈”，讓學(xué)生樂學(xué)

哲學(xué)家卡爾·波普爾認為，愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發(fā)新問題。通過對微專題中問題鏈的探求，學(xué)生學(xué)會了一種解題方法，會利用相關(guān)的思想方法解決一類數(shù)學(xué)問題，但這并不是微專題教學(xué)的終極目標。隨著問題鏈的不斷拓展和深入，學(xué)生在“發(fā)現(xiàn)問題—解決問題—再發(fā)現(xiàn)問題”的過程中，思維逐漸走向縱深，形成完整的、具有聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識體系。

“拓展深入鏈”可以圍繞著“情境拓展”與“方法拓展”兩個層面進行。“情境拓展”旨在通過改變問題的條件、結(jié)論與類型，讓學(xué)生進一步感受解題方法的普適性;“方法拓展”是對已有的思想方法作適當?shù)母倪M以適應(yīng)新的題型，讓學(xué)生體會解題方法的靈活性。“拓展深入鏈”能夠為學(xué)生帶來成就感，使學(xué)生從“會學(xué)”走向“樂學(xué)”。

例4?已知二次函數(shù)滿足f（1）=2，對于x∈R都有-x-1≤f（x）≤2x2+3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式。

該題看似與前面的含絕對值的最值問題不是同一類題目，但當把x=-1代入不等式-x-1≤f（x）≤2x2+3x+1后，得到0≤f（-1）≤0，這顯然就是“兩邊夾”思想的直接應(yīng)用。然后利用f（1）=2，f（-1）=0聯(lián)立方程即可求出函數(shù)f（x）的解析式。

【情境拓展】已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對x，y∈R都有f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2，若f（1）=2019，則f（2019）=。

兩組不等式f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2方向相反，可以利用“兩邊夾”思想建立兩個不等式之間的等量關(guān)系。

由f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2得，f（x）≥f（x+3）-3f（x+1）≥f（x+4）-3≥f（x+2）-1≥f（x）+1;

f（x）≤f（x+2）-2f（x+1）≤f（x+3）-2≤f（x）+1，所以f（x+1）=f（x）+1，f（2019）=f（2018）+1=f（2017）+2=…=f（1）+2018=4037。

【方法拓展】設(shè)函數(shù)f（x）=x-ax-b，a，b∈R，若對任意實數(shù)a，b，總存在實數(shù)x0∈[0，4]使不等式f（x0）≥m成立，求實數(shù)m的取值范圍。

該題雖然與前面的例題存在相似之處，但無法直接用前面“兩邊夾”的解題步驟，需要對“兩邊夾”思想進行改進。

因為絕對值的幾何意義表示“距離”，所以f?（x）=x-ax-b可以看作函數(shù)f1（x）=x與f2（x）=ax+b圖像上橫坐標相同的兩點之間的距離，令fmax（x）=M，則M的取值應(yīng)該“夾在”f1（x）與f2（x）之間（如圖4）。不難發(fā)現(xiàn)M≥12-02=14，所以m≤14。

圖4

問題是數(shù)學(xué)的心臟，這是人們對數(shù)學(xué)發(fā)展史的高度概括，以及對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻認識[2]。數(shù)學(xué)微專題中引入問題鏈不僅能夠促進學(xué)生的數(shù)學(xué)知識體系在不斷地發(fā)現(xiàn)矛盾和解決問題、尋找缺陷和補證不足中逐步走向成熟，而且眾多的問題鏈構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的方法鏈、思維鏈、探究鏈，通過問題鏈的導(dǎo)航最終實現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)從“想學(xué)”到“學(xué)會”，再到“會學(xué)”“樂學(xué)”的跨越。

參考文獻：

[1]吳丹紅，唐恒鈞.基于問題鏈的“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)探索[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2016（5）：7-9.

[2]黃光榮.問題鏈方法與數(shù)學(xué)思維[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003（2）：35-37.