“三維切割法”巧助三視圖還原幾何體

【摘?要】三視圖是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體，是高考命題的熱點。通過三視圖的學習，學生對于三視圖有一定的認識，但由于空間想象力不足，導致如何根據(jù)三視圖還原幾何體成為學生學習的難點。研究者對此進行了深入研究，通過多媒體技術(shù)進行處理，將抽象的數(shù)學問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的、直觀的問題，幫助學生進行理解，激發(fā)學生學習的興趣。

【關(guān)鍵詞】信息技術(shù);三視圖;深度融合

【作者簡介】羅宇軍，中學高級教師。

【基金項目】廣西教育科學“十三五”規(guī)劃2019年度課題“信息技術(shù)與數(shù)學課堂深度融合的策略研究”（2019B144）

數(shù)學學科獨有的形式化抽象特征，如精深的數(shù)學概念、煩瑣的演算過程、復雜的數(shù)形關(guān)系和多變的幾何位置關(guān)系等，往往由于教與學手段的限制而令人?“望而卻步”。運用學科軟件進行數(shù)學教學，能改變?“重形式定義，輕意象表征”的教學模式。數(shù)學教學從整合走向融合，需要建立圖形圖像、符號表達與數(shù)值處理間的多元表征聯(lián)系，需要嚴謹、精確和形式化的數(shù)學活動過程描述，需要構(gòu)建與數(shù)學研究相適應(yīng)的、豐富的探索性認知環(huán)境[1]。

三視圖是學生學習立體幾何的基礎(chǔ)，也是學生建立空間觀念的開始。學生從初中開始接觸三視圖，到了高中階段加以學習，其對于三視圖已有一定的認識，但由于空間想象力不足，根據(jù)三視圖還原幾何體成為學生學習的難點。

一、問題的提出

（2014·全國Ⅰ卷，理12）如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）

A.62B.6C.42D.4

圖1

這道題目是2014年高考理科數(shù)學全國Ⅰ卷選擇題的第12題，難度不低。筆者在一次測試中發(fā)現(xiàn)，所教的高三年級其中一個班66人中只有7人做對，這一結(jié)果讓筆者感到非常震驚，于是找了一些學生進行訪談，發(fā)現(xiàn)學生由于空間想象力不足，無法還原出原來的幾何體。在實際教學中，筆者發(fā)現(xiàn)很多教師在講授這部分知識的時候通常感到“力不從心”。因此，筆者對此進行了專題研究，結(jié)合信息技術(shù)的優(yōu)勢，利用玲瓏畫板的3D和“任意切割”功能，根據(jù)三視圖的特點，總結(jié)出用“三維切割法”還原三視圖。

二、實驗過程

1.實驗前測

筆者充分利用課堂派軟件互動性功能進行了實驗前測。課前呈現(xiàn)2014年高考理科數(shù)學全國Ⅰ卷選擇題第12題，并給學生3分鐘時間獨立完成，然后利用手機進入課堂派平臺進行提交。教師在課堂派平臺上進行統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，35人的實驗樣本中只有3人答對，說明學生對該題的解題能力尚有欠缺。由此，筆者設(shè)置本節(jié)課的問題情境：三視圖如何還原幾何體？

2.教學過程

根據(jù)三視圖的定義，三視圖的形成主要是由三束不同方向的光照射形成的。筆者制作了如圖2～4的動畫圖形，展示三視圖的形成過程。通過展示，學生不僅理解了三視圖，而且也理解了為什么三視圖是這樣排列的。與此同時也帶給我們解決問題的靈感：三個維度的面圍成一個長方體（或者正方體），是不是就可以以一個長方體（或者正方體）作為“基礎(chǔ)幾何體”，把“三個方向照射”類比為“三個方向切割”，即“三維切割法”還原三視圖。

研究發(fā)現(xiàn)，既然三視圖的形成主要是由三束不同方向的光照射形成的，要得到滿足條件的幾何體，必須是正視圖、側(cè)視圖、俯視圖全部滿足才可以，下文以問題1為例進行說明。

問題1：如圖5，是某幾何體的三視圖，該幾何體直觀圖的最大面是什么形狀？

步驟一：構(gòu)造基礎(chǔ)幾何體（如圖6），然后利用玲瓏畫板按照圖7的位置進行切割（正面切割），得到幾何體（如圖8-a）。此時，可以使用系統(tǒng)的“三視圖”功能進行驗證，發(fā)現(xiàn)其中的正視圖和原來的吻合（如圖8-b）。

步驟二：在步驟一得到的幾何體（如圖9）基礎(chǔ)上，再按照圖10的位置進行切割（側(cè)面切割），得到幾何體（如圖11-a）。此時，可以使用系統(tǒng)的“三視圖”功能進行驗證，發(fā)現(xiàn)其中的正視圖與側(cè)視圖和原來的都吻合（如圖11-b）。

步驟三：在步驟二得到的幾何體（如圖12）基礎(chǔ)上，再按照圖13的位置進行切割（俯面切割），得到幾何體（如圖14-a）。此時，可以使用系統(tǒng)的“三視圖”功能進行驗證，發(fā)現(xiàn)其中的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖和原來的全部吻合（如圖14-b）。由此可知，所探求的幾何體就是圖14-b中的透視圖，從而輕松解決三視圖還原幾何體的問題。

雖然利用信息技術(shù)與數(shù)學教學的深度融合，比較輕松地解決了三視圖還原幾何體的問題，也清晰地展示了還原的全過程，但是，在學生沒有電腦的前提下如何進行教學呢？通過課題組的討論與探索，筆者發(fā)現(xiàn)可以讓學生通過用鉛筆畫圖，然后用橡皮擦實現(xiàn)模擬“三維切割法”完成上述過程。在教學過程中可以以教師一邊演示，學生一邊用橡皮擦模擬切割的方式進行教學，教師巡堂進行個別指導。隨后由學生進行小組合作探究以下問題。

問題2：如圖15，是某幾何體的三視圖，且該幾何體的體積是3，則正視圖中x的值是（）

A.2B.92C.32D.3

學生利用手機通過課堂派軟件提交答案。發(fā)現(xiàn)學生通過用橡皮擦模擬切割的方法可以輕松地解決這個問題。然后教師通過玲瓏畫板幫助學生進行驗證（如圖16～17），還可以通過課堂派軟件反饋的信息，提問學習有困難的學生。

3.實驗后測

由學生獨立解決本文開始提出的問題，發(fā)現(xiàn)少數(shù)學生在“第二維切割”時存在困難（由于正視圖三角形中間有一條線，直接切割并不能得到所需正視圖）。此時教師可以引導學生進行思考：能否打亂順序進行切割，即能否先切割出俯視圖。最后，教師進行實驗加以驗證（如圖18～20），發(fā)現(xiàn)同樣能夠還原幾何體。

此時學生雖然知道了幾何體的形狀，但是其中的線面與基礎(chǔ)幾何體之間的關(guān)聯(lián)并不是很清楚，這時，教師可以通過系統(tǒng)的“幾何體恢復”功能，進行下面的操作。

步驟四：先把所得到的幾何體更換顏色（主要目的是要區(qū)別于切割出來的其他幾何體）（如圖21），然后利用玲瓏畫板的“平移復原”功能，得到原來的基礎(chǔ)幾何體（如圖22）。和之前不一樣的是，三視圖還原出來的幾何體與基礎(chǔ)幾何體的關(guān)系已經(jīng)非常清楚地反映在圖形中，此時問題就可以迎刃而解了。

三、實驗結(jié)果分析

對于本文開始提出的問題，筆者用課堂派軟件統(tǒng)計了35名學生實驗前和實驗后的答題情況，統(tǒng)計結(jié)果如圖23。

根據(jù)數(shù)據(jù)表明，實驗前和實驗后，學生答題的正確率差異還是比較明顯的，充分說明了通過實驗，大多數(shù)學生都掌握了運用“三維切割法”還原三視圖的方法。

統(tǒng)計結(jié)果見表1。

由此看出，“三維切割法”能夠顯著提升學生三視圖還原幾何體的能力。

四、結(jié)語

運用信息技術(shù)有助于將教學難點簡化，增強學生的理解能力。在高中數(shù)學教學過程中，一些知識比較抽象，難以理解，教師可以將這些內(nèi)容通過多媒體技術(shù)進行處理，將抽象的數(shù)學問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的、直觀的圖文或者試聽材料，幫助學生進行理解，激發(fā)學生的學習興趣，達到化繁為簡、由淺入深、事半功倍的教學效果?[2]。

值得注意的是，課堂派軟件使用了手機進行技術(shù)融合，由于學生的自控力不足，筆者建議在教學中，教師要引導學生正確使用手機。本文把實驗過程和具體步驟進行了詳細闡述，教師參照進行相對應(yīng)的教學，將起到一定的引領(lǐng)和示范作用。

參考文獻：

[1]張志勇.用與不用不一樣：信息技術(shù)與數(shù)學教學走向深度融合的途徑與策略[J].中小學信息技術(shù)教育，2016（1）：63-65.

[2]張守杰.?信息技術(shù)與高中數(shù)學課堂教學深度融合教學法的五大優(yōu)勢[J].?考試周刊，2018（6）：95.