HPM視角下的“基本不等式”同課異構(gòu)課例分析

趙麗紅 汪曉勤

【摘?要】運(yùn)用HPM課例分析框架，對(duì)HPM視角下“基本不等式”的兩節(jié)課進(jìn)行比較和分析。兩節(jié)課都運(yùn)用了豐富的數(shù)學(xué)史素材，這些素材符合科學(xué)性、可學(xué)性、趣味性和人文性等原則。在史料的運(yùn)用上，其中一節(jié)課采用了附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式，而另一節(jié)課只采用了前三種方式。在數(shù)學(xué)史的融入上，兩節(jié)課均體現(xiàn)了方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅和德育之效的教育價(jià)值。在融入的自然性上，其中一節(jié)課由于未采用重構(gòu)式，因而未能體現(xiàn)知識(shí)之諧，所用史料對(duì)部分教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成作用不大，未滿足有效性要求。

【關(guān)鍵詞】HPM;基本不等式;同課異構(gòu);數(shù)學(xué)文化

【作者簡(jiǎn)介】趙麗紅，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究;汪曉勤，教授，博士生導(dǎo)師，HPM工作室主持人，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項(xiàng)目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣?huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的研究（A8）

一、引言

“基本不等式”是滬教版數(shù)學(xué)教材高一上冊(cè)第2章“不等式”的第4節(jié)內(nèi)容。在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生在初中不等式知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)了一元一次不等式、一元二次不等式及其他不等式的基本性質(zhì)和解法，具備一定的代數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)。教材的引入方式是引述客觀世界中一些恒成立的不等關(guān)系，進(jìn)而直接呈現(xiàn)基本不等式，然后用作差法進(jìn)行代數(shù)證明，再用趙爽“弦圖”給出幾何解釋。這里，教材雖然運(yùn)用了數(shù)學(xué)史，但“弦圖”原本是用來證明勾股定理的，數(shù)學(xué)史上的基本不等式并非源于弦圖。因此，我們尚需運(yùn)用更恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史料，去揭示基本不等式產(chǎn)生的真正動(dòng)因，從而更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，在設(shè)計(jì)上，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與認(rèn)知起點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史料、創(chuàng)設(shè)具有歷史底蘊(yùn)的情境、揭示知識(shí)產(chǎn)生的必要性并增加知識(shí)的趣味性。在實(shí)施上，力求將數(shù)學(xué)史自然而然地融入課堂教學(xué)。在評(píng)價(jià)上，從知識(shí)維度看知識(shí)之諧和方法之美，從過程維度看探究之樂和能力之助，從情感維度看文化之魅和德育之效。隨著HPM教學(xué)理念的傳播和HPM教學(xué)案例的增多，越來越多教師對(duì)HPM產(chǎn)生濃厚的興趣，HPM視角下的同課異構(gòu)現(xiàn)象進(jìn)入人們的視野。

對(duì)于“基本不等式”這一課題，來自上海市兩所不同高中的教師A和教師B精心選擇相關(guān)的歷史素材，各自從HPM視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。本文運(yùn)用HPM課例分析框架，對(duì)兩節(jié)課在數(shù)學(xué)史料的選擇、融入方式、運(yùn)用效果等方面的異同點(diǎn)進(jìn)行比較和分析，以期為HPM課例研究提供參考。

二、基本不等式的歷史素材

（一）古希臘數(shù)學(xué)文獻(xiàn)

公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已研究過算術(shù)中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)與調(diào)和中項(xiàng)。后來，尼可麥丘和帕普斯統(tǒng)一了各類中項(xiàng)的定義。歐幾里得《幾何原本》第2卷命題5稱：將一條線段二等分，再分成不相等的線段，則由二不相等的線段構(gòu)成的矩形與兩個(gè)分點(diǎn)之間一段上的正方形之和等于原線段一半上的正方形[1]。設(shè)不等的兩條線段長分別為a和b，上述命題相當(dāng)于一個(gè)代數(shù)恒等式，即ab+b-a22=a+b22。

歐幾里得的證明思路是“將矩形化為等積的矩尺形，再將其補(bǔ)成正方形”（如圖1），由上述恒等式可得不等式：ab0，b>0，a≠b）①，ab0，b>0，a≠b）②。

公元前2世紀(jì)左右，古希臘數(shù)學(xué)家芝諾多魯斯著《論等周圖形》一書，給出了以下命題：“在邊數(shù)相同的等周多邊形中，等邊且等角的多邊形面積最大”[2]?？紤]長為b、寬為a的矩形以及與之等周的正方形，即得不等式①或②。

公元3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在同一個(gè)半圓上作出了三類中項(xiàng)。如圖2，以AB為直徑作半圓ADB，CDSymbol^A@

AB，OD為半徑，CESymbol^A@

OD，則OD、CD和DE分別為AC和CB之間的算術(shù)、幾何和調(diào)和中項(xiàng)[3]61。

（二）?中國古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)

公元3世紀(jì)，趙爽在給《周髀算經(jīng)》“勾股圓方圖”作注時(shí)，給出“大方圖”（如圖3）[3]62。設(shè)Rt△EBF的勾、股、弦分別為a、b、c，則有（a+b）2=（b-a）2+4ab，（a+b）2=2c2-（b-a）2=2（a2+b2）-（b-a）2，因此可得不等式4ab≤（a+b）2≤2（a2+b2）。

圖2

圖3

《九章算術(shù)》勾股章中設(shè)題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何?！逼浣夥ㄊ牵骸安⒐垂蔀榉?，勾股相乘為實(shí)，實(shí)如法而一，得方一步。”[4]劉徽利用出入相補(bǔ)原理證明了上述公式。如圖4，用對(duì)角線將長和寬分別為a和b的矩形分成兩個(gè)直角三角形，并用不同顏色標(biāo)記不同類型的圖形，得到“勾股容方圖”。將圖形重組，形成矩形（如圖5），即得出與直角三角形共直角的內(nèi)接正方形邊長為d=aba+b。

圖4

圖5

利用“勾股容方圖”，可以導(dǎo)出均值不等式。如圖6，延長IH交EG于點(diǎn)K，得到Rt△HKE。由三角形的相似性，易得HK=b-2aba+b，KE=2aba+b-a。由CD?>?CB，得HK?>?KE，故b-2aba+b>2aba+b-a，即2aba+b

圖6

（三）相關(guān)應(yīng)用

1471年，德國數(shù)學(xué)家雷吉奧蒙塔努斯在給愛爾福特大學(xué)羅德教授的信中提出問題——一根垂直懸掛的桿子，從地面上哪一點(diǎn)看上去它最長？[5]即“最大視角”問題，這被稱作數(shù)學(xué)史上的第一個(gè)極值問題。

16世紀(jì)，意大利建筑大師帕拉第奧認(rèn)為建筑的美產(chǎn)生于形式，他在著作《建筑四書》中指出，具有一定形式和比例的房間是優(yōu)美的[6]。他給出了優(yōu)美房間的長、寬和高所滿足的規(guī)則，其中有兩類房間的高分別等于長和寬的算術(shù)中項(xiàng)與幾何中項(xiàng)。

三、兩節(jié)課的宏觀比較

（一）教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)

兩節(jié)課共同的教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）了解數(shù)學(xué)史料，經(jīng)歷基本不等式的探究與發(fā)現(xiàn)過程;

（2）掌握兩個(gè)基本不等式及其應(yīng)用前提，并利用它們求解最值問題;

（3）通過最值的應(yīng)用，理解基本不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用與重要性。

不同之處在于，教師A注重讓學(xué)生去親歷基本不等式產(chǎn)生的過程，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)，使學(xué)生理解基本不等式的意義;教師B則著重從歷史上的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)基本不等式，領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化的思想、品味數(shù)學(xué)文化。

兩節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)也是一致的。

（1）教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的證明方法與應(yīng)用前提;

（2）教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式的幾何探究及其在最值問題中的靈活應(yīng)用。

（二）教學(xué)過程

教師A和教師?B?的教學(xué)過程主要分為情境創(chuàng)設(shè)、證明探究、新知應(yīng)用、課堂小結(jié)和布置作業(yè)五個(gè)環(huán)節(jié)，具體內(nèi)容見表?1。

從表1可以看出，教師A和教師B均從HPM的視角進(jìn)行教學(xué)，相同之處在于以學(xué)生（激發(fā)興趣）、活動(dòng)（合作探究）、方法（數(shù)形結(jié)合）、文化（中西交融）、應(yīng)用（走向生活）為著眼點(diǎn)。不同之處在于，教師A從生活的角度出發(fā)、關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，蹦床公園中的海綿池形狀改建的教學(xué)情境具有歷史文化底蘊(yùn)，引入比較自然;接著在證明探究環(huán)節(jié)，自然過渡到歐幾里得的命題，基本不等式發(fā)生與發(fā)展的過程順暢且貼切。教師B直接從歷史角度出發(fā)，用蘊(yùn)含算術(shù)、幾何中項(xiàng)的建筑引入;在證明探究環(huán)節(jié)，借助“勾股容方”問題及其解法導(dǎo)出基本不等式，整個(gè)過程散發(fā)濃郁的數(shù)學(xué)文化氣息，創(chuàng)新性較強(qiáng)。

四、兩節(jié)課的微觀比較

以下從史料的適切性、融入的自然性、方法的多樣性和價(jià)值的深刻性[7]對(duì)兩節(jié)課進(jìn)行微觀比較。

（一）史料的適切性

在?HPM?實(shí)踐中，史料的選取原則有科學(xué)性、趣味性、有效性、可學(xué)性和人文性[8]。本文按照教學(xué)環(huán)節(jié)來分析史料的適切性，見表2。

由于HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史資料共享，教師A和教師B所用的素材來自高校研究者的歷史研究，其科學(xué)性均得到保障。教師A在情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)引入蹦床公園中海綿池的改建問題，體現(xiàn)了趣味性、可學(xué)性和有效性。在證明探究環(huán)節(jié)，歐幾里得幾何圖形為引出基本不等式創(chuàng)造了條件，體現(xiàn)了可學(xué)性和有效性。在新知應(yīng)用環(huán)節(jié)，引入數(shù)史上第一個(gè)極值問題——“最大視角”問題，體現(xiàn)基本不等式的應(yīng)用，雖符合有效性和趣味性原則，但由于該問題的求解需要利用和角正切公式，不符合學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，缺乏可學(xué)性。接著用微視頻介紹趙爽的“大方圖”，引起學(xué)生好奇，富有趣味性和人文性;補(bǔ)充的證法增進(jìn)學(xué)生對(duì)基本不等式的理解，體現(xiàn)有效性。拓展作業(yè)涉及帕普斯的半圓模型，為學(xué)生提供進(jìn)一步探究基本不等式的機(jī)會(huì)，符合可學(xué)性和有效性原則。

教師B在情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)引入算術(shù)中項(xiàng)與幾何中項(xiàng)的建筑背景，體現(xiàn)了人文性;帕拉第奧“好房間”所涉及的兩類平均數(shù)，為基本不等式的探究做好了鋪墊，體現(xiàn)了趣味性和人文性。在證明探究環(huán)節(jié)，提出“勾股容方”問題，并介紹劉徽的證明方法，為基本不等式的推導(dǎo)創(chuàng)造了條件，符合可學(xué)性和人文性原則，但有效性體現(xiàn)不足。

（二）融入的自然性

要將數(shù)學(xué)史自然地融入數(shù)學(xué)教學(xué)，教師需要將知識(shí)的歷史序、邏輯序和學(xué)生的心理序有機(jī)統(tǒng)一。以下是兩位教師的教學(xué)片段與評(píng)析。

1教師A的教學(xué)片段

師：正方形海綿池與長方形海綿池有什么關(guān)系？

生：周長相等。

師：其實(shí)這就是歷史上的等周問題，古人很早就進(jìn)行了研究。從課前問卷中可看到有的古人認(rèn)為周長越長，面積就越大，你覺得古人的想法合理嗎？

生：不合理。

師：那么他們?nèi)绾翁骄窟@個(gè)問題呢？古代數(shù)學(xué)家并不會(huì)代數(shù)解法，他們其實(shí)是借助了幾何作圖。今天我們就追尋古人的足跡，進(jìn)行小組合作、利用尺規(guī)作圖截出正方形的邊長，探究長方形與正方形的面積關(guān)系。

（小組探究活動(dòng)之后，學(xué)生代表分享了作圖方法，教師A借助幾何畫板進(jìn)行直觀演示。）

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：長方形面積比正方形面積小。

師：能用簡(jiǎn)單的式子表達(dá)嗎？

生：當(dāng)a≠b時(shí)，ab

師：非常好，大家從幾何模型抽象出了這個(gè)代數(shù)表達(dá)式，那么它背后隱含的幾何意義是什么呢？

生：周長相等的矩形中正方形的面積最大。

師：對(duì)，這就是我們今天要研究的基本不等式。

評(píng)析：關(guān)于基本不等式，教材中采用的邏輯體系是從一般的不等關(guān)系、代數(shù)不等式及其解法到基本不等式。在這樣的邏輯體系中，基本不等式只是作為特殊的不等關(guān)系出現(xiàn)，因而教材無意去探求其背后的動(dòng)因。從歷史來看，等周問題是導(dǎo)致基本不等式誕生的動(dòng)因之一，教師A借助海綿池面積問題引出基本不等式，符合歷史序。關(guān)于等周長方形和正方形面積的大小關(guān)系，學(xué)生在小學(xué)和初中階段已有接觸，因此該情境符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。同時(shí)，教師A在課前問卷中介紹了古人對(duì)周長和面積關(guān)系的誤解，再加上課上提出的實(shí)際問題，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。事實(shí)上，當(dāng)教師在課堂上再現(xiàn)知識(shí)的歷史動(dòng)因時(shí)，往往就激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。另一方面，從海綿池形狀變更前后的幾何模型，學(xué)生實(shí)際上建立了長方形與正方形面積之間的恒等式，因而遵循了“從等式到不等式”的邏輯序。可見，在教師A的課堂上，數(shù)學(xué)史的融入是比較自然的，基本實(shí)現(xiàn)了邏輯序、歷史序和心理序的統(tǒng)一。

2教師B的教學(xué)片段

師：同學(xué)們知道了出入相補(bǔ)原理，接下來進(jìn)行小組合作，把“勾股容方圖”拆開來重新拼，求出正方形的邊長x。

（活動(dòng)之后，各小組展示了幾類長方形的拼圖方案。）

師：很棒，這就是古代數(shù)學(xué)家劉徽的做法。同學(xué)們求出x是多少？

生：x=aba+b。

師：這種方法非常簡(jiǎn)潔，接下來我們繼續(xù)研究“勾股容方圖”中的Rt△HKE（如前文圖6），試試看，能否求出兩條直角邊？

生：能。

師：好，請(qǐng)同學(xué)們說說思路。

（兩名學(xué)生分享了自己的做法：一名學(xué)生利用相似三角形法，另一名學(xué)生利用各邊長之間的數(shù)量關(guān)系做差求解，兩名學(xué)生都得出HK?=?b-2x，KE=2x-a。）

師：HK與KE之間有什么數(shù)量關(guān)系呢？

生：HK?>?KE。

師：為什么？

生：因?yàn)镽t△HKE與Rt△DCB相似，而CD?>?CB。

師：很好，那么大家把正方形的邊長代入HK?>?KE中，看看式子能不能化簡(jiǎn)？

生：化簡(jiǎn)得ab

師：還能發(fā)現(xiàn)什么？

生：兩邊開方，得出幾何平均數(shù)小于算術(shù)平均數(shù)。

評(píng)析：教師B從劉徽的“勾股容方圖”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生先求出直角三角形內(nèi)接正方形的邊長，然后根據(jù)直角三角形的相似性，從直角三角形兩直角邊的大小關(guān)系得出基本不等式，遵循“從幾何上的不等關(guān)系到代數(shù)上的不等關(guān)系”的邏輯序，具有創(chuàng)新性。但是，劉徽的“勾股容方圖”本身并非是基本不等式產(chǎn)生的歷史動(dòng)因，就像趙爽“弦圖”初衷也無關(guān)基本不等式一樣。如今“勾股容方圖”和“弦圖”也被用于基本不等式的證明。相比較而言，“弦圖”顯然比“勾股容方圖”更直觀。因此，雖然教師B的設(shè)計(jì)很創(chuàng)新，但從“勾股容方圖”到基本不等式，并不符合歷史序，也未能有效地揭示基本不等式產(chǎn)生的動(dòng)因，因而也不符合學(xué)生的心理序?？梢姡诮處烞的課堂上，數(shù)學(xué)史的融入在自然性上打了折扣。

（三）方法的多元性

數(shù)學(xué)史融入教學(xué)有四種方式：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式。

教師A首先從海綿池的改建方案中抽象出長方形等周問題，引導(dǎo)學(xué)生用尺規(guī)作圖法作出與長方形等周的正方形，從中探究等周正方形與長方形的面積關(guān)系;接著用代數(shù)形式來表征上述關(guān)系，得出代數(shù)恒等式;最后從恒等式中得出基本不等式。因此，教師A重構(gòu)了基本不等式的產(chǎn)生過程。學(xué)生在探究過程中所借助的幾何模型，實(shí)際上是《幾何原本》中命題所涉及圖形的改編，是數(shù)學(xué)史料的順應(yīng)式運(yùn)用。在新知應(yīng)用環(huán)節(jié)，復(fù)制式地采用了雷吉奧蒙塔努斯的“最大視角”問題。通過微視頻介紹趙爽的“大方圖”以及基本不等式的相應(yīng)證明，屬于附加式。利用帕普斯半圓模型設(shè)計(jì)探究任務(wù)，也是數(shù)學(xué)史料的順應(yīng)式運(yùn)用。

教師B結(jié)合學(xué)生課前觀看的建筑視頻，首先附加式地引出帕普斯的算術(shù)中項(xiàng)與幾何中項(xiàng)定義。接著，讓學(xué)生計(jì)算帕拉第奧“好房間”中與高相關(guān)的兩類平均數(shù)，是數(shù)學(xué)史料的順應(yīng)式運(yùn)用。然后，復(fù)制式運(yùn)用“勾股容方”問題讓學(xué)生求解。在學(xué)生交流解決方案之后，教師B介紹劉徽的原始解法，建立古今聯(lián)系，是歷史上問題與解決方法的復(fù)制式運(yùn)用。教師B借助“勾股容方圖”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究直角三角形的邊長關(guān)系，最后導(dǎo)出基本不等式，是數(shù)學(xué)史料的順應(yīng)式運(yùn)用。最后，在新知應(yīng)用環(huán)節(jié)，改編帕拉第奧“好房間”中與高相關(guān)的問題，并以等周問題為背景設(shè)置應(yīng)用題，也屬于順應(yīng)式。

可見，在教師A和教師B的課堂上，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式都是多元的，但教師A運(yùn)用了重構(gòu)式，而教師B沒有。

（四）價(jià)值的深刻性

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的教育價(jià)值主要有六種：知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅和德育之效。

1教師A的教學(xué)

在知識(shí)維度上，教師A重構(gòu)了基本不等式的發(fā)生和發(fā)展過程，構(gòu)建了知識(shí)之諧。在證明探究環(huán)節(jié)，歐幾里得的幾何方法、微視頻所呈現(xiàn)的基于“弦圖”和“勾股容方圖”的幾何證法，彰顯了方法之美。

在過程維度上，教師A綜合借鑒歷史上的等周問題以及《幾何原本》中的命題來設(shè)計(jì)探究活動(dòng);基于數(shù)學(xué)史的幾何方法有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);提供的課后拓展材料也有助于提升學(xué)生的閱讀能力，體現(xiàn)了探究之樂和能力之助。

在情感維度上，從歐幾里得作圖法到趙爽的“弦圖”、從等周問題到“最大視角”問題，既有中西文化的交融，又有數(shù)學(xué)文化對(duì)生活的啟示，展示了文化之魅[9]。探究活動(dòng)之后，教師A將學(xué)生的方法與歐幾里得方法進(jìn)行對(duì)照，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。問卷調(diào)查表明，等周問題讓學(xué)生感悟到數(shù)

學(xué)背后的理性精神。此外，數(shù)學(xué)史的融入激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，教師A借助數(shù)學(xué)史達(dá)成了德育之效。

2教師B的教學(xué)

在知識(shí)維度上，雖然教師B從建筑的角度引入，設(shè)計(jì)比較新穎，但算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定義以及兩者的關(guān)系是直接提出來，比較突兀，在知識(shí)之諧的構(gòu)建上有待改進(jìn)。在證明探究環(huán)節(jié)，教師B利用“勾股容方圖”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)基本不等式，彰顯了方法之美。

在過程維度上，“勾股容方”問題為學(xué)生提供了探究機(jī)會(huì)，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，體現(xiàn)了探究之樂和能力之助。

在情感維度上，設(shè)計(jì)的情境充滿數(shù)學(xué)文化味，既讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與建筑之間的聯(lián)系，又體會(huì)到數(shù)學(xué)背后的多元文化，展示了文化之魅。從問卷調(diào)查可知，“勾股容方圖”給學(xué)生帶來新奇的感受，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣。而且，中國古代的“勾股容方”有助于學(xué)生了解中國古代的數(shù)學(xué)文化。因此，教師B的課堂蘊(yùn)含了比較豐富的德育元素，達(dá)成了德育之效。

五、結(jié)語

綜上分析可知，教師A和教師B所用的史料都比較豐富，符合科學(xué)性、趣味性、可學(xué)性和人文性原則，但教師B所用史料的有效性不足。教師A和教師B運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式均有附加式、復(fù)制式和順應(yīng)式，教師A還運(yùn)用了重構(gòu)式。教師A重在重構(gòu)基本不等式的發(fā)生與發(fā)展過程，基本實(shí)現(xiàn)了邏輯序、歷史序和心理序的統(tǒng)一，融入較為自然;教師B注重基本不等式的幾何探究與推導(dǎo)過程，呈現(xiàn)了清晰的邏輯序，但未能兼顧歷史序和心理序。在兩節(jié)課中，數(shù)學(xué)史都體現(xiàn)了多元的教育價(jià)值，但由于教師B未采用重構(gòu)式，在追求教學(xué)設(shè)計(jì)創(chuàng)新的同時(shí)忽略了知識(shí)之諧的構(gòu)建。

通過對(duì)兩節(jié)課的比較和分析，我們得到以下啟示。

1數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，營造了不一樣的課堂。數(shù)學(xué)史為學(xué)生提供了探究的機(jī)會(huì)，為培養(yǎng)核心素養(yǎng)創(chuàng)造了條件;數(shù)學(xué)史讓課堂變得人性化，充滿文化的芬芳;數(shù)學(xué)史也為課堂注入了豐富的德育元素。因此，HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)有著廣闊的前景，必將成為一種常態(tài)。

2在將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師需要在創(chuàng)新性和有效性之間尋求平衡。發(fā)生教學(xué)法強(qiáng)調(diào)，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到新知的產(chǎn)生是源于問題解決的需要[10]。透過數(shù)學(xué)史，我們才能找到知識(shí)產(chǎn)生的動(dòng)因;課堂上運(yùn)用數(shù)學(xué)史的重要目的之一在于揭示新知的必要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。如果學(xué)生學(xué)會(huì)了一個(gè)命題的推導(dǎo)，卻不知道該命題從何而來、為何而來，那么他對(duì)于命題不可能有深刻的理解，數(shù)學(xué)史也就失去了應(yīng)有的意義。這就是為什么說有效性是教師選取數(shù)學(xué)史材料的重要原則之一。

3教育取向的數(shù)學(xué)史研究始終是教學(xué)實(shí)踐的重要基礎(chǔ)，HPM視角下數(shù)學(xué)教學(xué)是否成功與精彩，往往取決于史料本身。本文中兩節(jié)課所采用的數(shù)學(xué)史料均局限于幾何領(lǐng)域，而基本不等式本身所屬代數(shù)領(lǐng)域的史料卻付之闕如，有待深入挖掘和整理。

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