培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)例談

高嘉

[摘? 要] 學(xué)生的知識(shí)獲取與思維發(fā)展于其終身發(fā)展來說一樣重要，教師在傳授知識(shí)的過程中同樣要關(guān)注學(xué)生思維過程的發(fā)展，使學(xué)生獲得更多啟迪與針對(duì)性的訓(xùn)練并實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)一步深化和發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思維能力;形象思維能力;直覺思維能力;邏輯思維能力

皮亞杰對(duì)單純向?qū)W生傳授知識(shí)的教學(xué)行為是極力反對(duì)的，近年來的高考試題對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的考查也愈發(fā)明顯，以思維能力為核心并對(duì)各種能力進(jìn)行考查是數(shù)學(xué)高考的宗旨，因此，單純掌握現(xiàn)有公式、定理的理念已經(jīng)過時(shí)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中掌握科學(xué)的思維方法才是重中之重. 一般而言，學(xué)生的解題過程表現(xiàn)為獲取信息、啟動(dòng)思維、遞進(jìn)思維、深化思維這四個(gè)環(huán)節(jié)，教師指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)應(yīng)在明確目標(biāo)、弄清概念、運(yùn)用規(guī)律和設(shè)疑點(diǎn)撥上進(jìn)行并因此促成其思維能力的發(fā)展.

培養(yǎng)形象思維能力

從認(rèn)識(shí)過程的角度來分析，直觀就是學(xué)生的大腦在客觀事物的作用下形成感性認(rèn)識(shí)的過程. 雖然直觀為學(xué)生建立的只是感性認(rèn)識(shí)，但作為思維起點(diǎn)的直觀卻是學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)向理性認(rèn)識(shí)的開端，學(xué)生只有在這一起點(diǎn)與開端的基礎(chǔ)上才能對(duì)空洞的概念、公式和定理形成興趣并產(chǎn)生求知欲. 脫離興趣的支撐，積極思維自然只能是空談. 憑借形象進(jìn)行思維并因此獲得從具體到抽象、從感性到理性的思維的過程才能令學(xué)生的思維處于活躍狀態(tài)之中.

1. 借助典故、趣聞、信息的引入以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.數(shù)學(xué)名人軼事在課堂教學(xué)中的引入能使學(xué)生充分感受到他們勤奮上進(jìn)的學(xué)習(xí)精神，使學(xué)生激發(fā)出更加強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望與興趣并在學(xué)習(xí)中表現(xiàn)得更為積極.

2. 直觀教具的運(yùn)用激發(fā)學(xué)生的空間想象.教具的使用不可或缺，比如，橢圓概念的教學(xué)中，教師利用教具演示可以使學(xué)生在生動(dòng)的橢圓形成的過程中建立感性認(rèn)知并形成概念. 比如，教室里的黑板、天花板、地面、日光燈等等都可以運(yùn)用進(jìn)線線、線面、面面關(guān)系的教學(xué)中，使學(xué)生在實(shí)物的位置關(guān)系的體會(huì)中理解空間圖形的線線、線面、面面關(guān)系并因此獲得空間觀念和空間想象力的發(fā)展.

3. 數(shù)形結(jié)合以促進(jìn)問題的轉(zhuǎn)化.圍繞數(shù)與形的抽象、演變與發(fā)展而進(jìn)行的數(shù)學(xué)研究奠定了數(shù)與形的基本地位，每個(gè)幾何圖形中所蘊(yùn)藏的數(shù)量關(guān)系都能夠在圖形的直觀中得到形象的描述，因此，通過數(shù)形之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換并使問題解決是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要途徑.

從初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)上進(jìn)行提高與引申的高中數(shù)學(xué)，雖然在內(nèi)容上看有很多相似，但其形式和要求卻相對(duì)復(fù)雜很多. 比如學(xué)生往往感覺無從下手的一些二次函數(shù)問題，這是一個(gè)需要進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練的知識(shí)點(diǎn).

例1：假如函數(shù)f（x）=4x-x2-a剛好有三個(gè)零點(diǎn)，那么a=______.

解：令f（x）=0，則4x-x2=a.

如圖1所示，首先作出y=4x-x2的圖像，接著將x軸下方的圖像翻轉(zhuǎn)至x軸上方，y=a過拋物線頂點(diǎn)時(shí)正好存在三個(gè)交點(diǎn)，因此可得a=4.

變式：若函數(shù)不存在零點(diǎn)，那么a應(yīng)等于多少？存在兩個(gè)零點(diǎn)、四個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a又應(yīng)該如何取值？

數(shù)形結(jié)合思想在具體解題中的運(yùn)用能夠幫助學(xué)生逐步獲得轉(zhuǎn)化聯(lián)想能力、觀察能力的提升，學(xué)生思維的深刻性、創(chuàng)造性也會(huì)因此獲得更好的發(fā)展. 不過，教師也須注意：第一，數(shù)形轉(zhuǎn)化前后的問題始終必須具有等價(jià)性;第二，“數(shù)”的精確性與“形”的全面性是解題過程中必須注意的. 比如判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)這類問題的解決，只有圖形轉(zhuǎn)化后的“數(shù)”的精確性才能保障正確結(jié)論的獲得. 數(shù)形轉(zhuǎn)化中的有些圖形或許并不唯一，具體解決中應(yīng)根據(jù)不同情況作出相應(yīng)圖形并進(jìn)行討論和求解.

培養(yǎng)直覺思維能力

數(shù)學(xué)直覺是人腦對(duì)數(shù)學(xué)問題做出的一種直接的領(lǐng)悟、洞察、類比與聯(lián)想，這種直接反映數(shù)學(xué)對(duì)象結(jié)構(gòu)關(guān)系的心智活動(dòng)形式在具體運(yùn)用中應(yīng)得到適當(dāng)?shù)募庸?，將大腦中貯存的和當(dāng)前問題相似的板塊在知識(shí)運(yùn)用、直覺運(yùn)用中進(jìn)行聯(lián)結(jié)與領(lǐng)悟. 學(xué)生在解決新問題時(shí)對(duì)結(jié)論做出的迅速的領(lǐng)悟其實(shí)就是其具備數(shù)學(xué)直覺的具體表現(xiàn)，一般來講，數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力需要做到以下幾個(gè)方面：

1. 有目的地設(shè)計(jì)直覺時(shí)段. 根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與需要設(shè)計(jì)直覺時(shí)段能使學(xué)生順著知識(shí)發(fā)展的過程進(jìn)行直覺想象和猜想，然后根據(jù)直覺想象和猜想進(jìn)行邏輯驗(yàn)證、合理推理與證實(shí)，學(xué)生在切實(shí)感受創(chuàng)新與成就的過程中往往能夠感受到振奮、愉悅的情感.

2. 引導(dǎo)學(xué)生猜想. 鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中大膽猜測并因此養(yǎng)成猜想的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，能幫助學(xué)生根據(jù)自己的直覺感受進(jìn)行猜想、推理和驗(yàn)證.

3. 注重教學(xué)的直觀性. 教學(xué)中提高直觀性能使學(xué)生在觀察、分析、推理中不斷訓(xùn)練和發(fā)展能力.

4. 凸顯問題原型. 幫助學(xué)生在問題分析中凸顯問題原型并促使“原型問題”獲得衍生，能鍛煉與提升學(xué)生的創(chuàng)造能力.

例2：已知函數(shù)f（x）=1+x-■+■-■+…+■，g（x）=1-x+■-■+■-…-■，設(shè)F（x）=f（x+3）·g（x-3），且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)都在區(qū)間[a，b]（a

分析：很多學(xué)生面對(duì)此題都覺得難度太大而無法突破，對(duì)分母與分子的字母的指數(shù)進(jìn)行觀察，憑直覺發(fā)現(xiàn)，化簡f（x）與g（x）必須建立在求導(dǎo)的基礎(chǔ)之上，利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷并得出零點(diǎn)所在的范圍，這正是數(shù)學(xué)直覺思維能力參與后產(chǎn)生的結(jié)果.

解：f′（x）=1-x+x2-x3+…+x2010.

當(dāng)x≤1時(shí)，f′（x）=（1-x）+x2（1-x）+…+x2008（1-x）+x2010≥0，當(dāng)x>1時(shí)，f′（x）=1+（-x+x2）+（-x3+x4）+…+（-x2009+x2010）>0，因此f（x）為增函數(shù)，g′（x）=-f′（x）≤0為減函數(shù). 又f（-1）=1-1-■-■-■-… -■<0，f（0）=1>0，f（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0）內(nèi). g（0）=1>0，g（1）=（1-1）+■-■+…+■-■>0，g（2）=（1-2）+■-■+…+■-■<0，g（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi).

因此，f（x+3）的零點(diǎn)在區(qū)間（-4，-3）內(nèi)，g（x-3）的零點(diǎn)在區(qū)間（4，5）內(nèi)，因此函數(shù)F（x）的零點(diǎn)都在區(qū)間[-4，5]之內(nèi)，因此b-a的最小值是9.

培養(yǎng)邏輯思維能力

經(jīng)常啟發(fā)學(xué)生動(dòng)腦筋、想問題能幫助其更好地養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好習(xí)慣和推理的意識(shí)，并因此使其更好地掌握推理的方法，使其邏輯思維能力不斷得到發(fā)展的同時(shí)獲得分析問題、解決問題能力的不斷發(fā)展. 一般說來，培養(yǎng)途徑不外乎以下幾個(gè)方面：

1. 比較和對(duì)照. 有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在比較和對(duì)照中進(jìn)行分析和推理，能使學(xué)生在不斷的實(shí)踐中獲得區(qū)別能力和聯(lián)系能力的發(fā)展.

2. 抽象和概括. 幫助學(xué)生學(xué)會(huì)抽象和概括能使其更好地獲得從特殊到一般的歸納與概括能力.

3. 分析和綜合. 教會(huì)學(xué)生分析和綜合，能使其在正向思維和逆向思維的實(shí)踐中獲得思維提升.

4. 判斷和推理. 引導(dǎo)學(xué)生在判斷和推理中進(jìn)行觀察、分析和思考，能使其邏輯思維能力和表達(dá)能力獲得同步發(fā)展.

例3：請(qǐng)比較0.20.3和0.30.2的大小.

學(xué)生面對(duì)此題一般都會(huì)聯(lián)想介值法，由0.20.3<0.20.2，0.20.2<0.30.2可得0.20.3<0.30.2.

例4：請(qǐng)比較nn+1和（n+1）n（n∈Z+）的大小.

分析：在此題的比較中，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)運(yùn)用介值法行不通了，對(duì)其進(jìn)行直接比較明顯難度更大，因此，首先可以進(jìn)行特例的考察. n=1，2，3時(shí)，有12<21，23<32，34>43，無法判斷. 繼續(xù)考察n=4，5時(shí)，分別有45>54，56>65，繼而猜想nn+1>（n+1）n（n≥3）成立，此時(shí)對(duì)猜想的正確與否進(jìn)行證明. 學(xué)生聯(lián)想數(shù)學(xué)歸納法證明此猜想，很快便有了結(jié)果.教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，看是否有其他證明方法，師生共同努力，發(fā)現(xiàn)通過證明n>■■（n≥3）成立也能證明此猜想.

右邊=1+■■=1+C■■+C■■+…+C■■<1+■+■+…+■.

容易證明n！>2n（n>3），因此右邊<1+■+■+…+■<3-■<3（n>3），得證.

也有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，證明（n+1）lnn>nln（n+1）一樣可行. 因?yàn)閚≥3，因此只要證明■>■即可.

繼續(xù)觀察可知，證明函數(shù)f（x）=■為[3，+∞）上的減函數(shù)也是可行的. f′（x）=■<0在[3，+∞）上明顯是成立的，因此原命題得以證明解決. 總之，教師在傳授知識(shí)的過程中同樣要關(guān)注學(xué)生思維過程的發(fā)展，深入研究數(shù)學(xué)活動(dòng)與數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)和規(guī)律，做到立足通法，兼顧巧法，使學(xué)生獲得更多啟迪與針對(duì)性的訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)一步深化和發(fā)展.