一道立體幾何最值問題解法探究

曹永生 楊剛 區(qū)卓君

[摘? 要] 立體幾何板塊是高考考查的一個重要板塊，經(jīng)常出現(xiàn)在解答題第二道的位置，一般不會太難，學(xué)生往往也不會太過重視，甚至是忽略，但近年常以選填的壓軸題形式出現(xiàn)，令很多學(xué)生望而卻步，萌生放棄作答的念頭. 這就要求我們在平時的教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生對該模塊的經(jīng)典問題進行總結(jié)，形成解題套路，完善知識體系，達到解一題通一類題的目的.

[關(guān)鍵詞] 立體幾何;公垂線;向量;不等式;高考

某次測試將立體幾何題放在填空題倒數(shù)第二題的位置，學(xué)生普遍反映比較難，一是計算難，二是轉(zhuǎn)化難，三是方法難. 本文介紹這道題目的變式及多種解法，讓學(xué)生感受立體幾何板塊的綜合性，讓學(xué)生學(xué)有所思，總結(jié)一類題的解決辦法，完善自己的知識體系.

測試題的題源及變式

（測試題題源）在如圖1所示實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC，BF上移動，若CM=BN=a（0

（測試題）在如圖2所示實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC，BF上移動，則MN長度的最小值是__________.

測試題的幾種解法

這道題是求兩條異面的線段之間的距離，與異面直線的距離問題存在密切的聯(lián)系，解法較多.

解法1（如圖3）：作出公垂線段

取AB的中點G，設(shè)AC與DG交于M，BF與EG交于N.

由△DCM與△GAM相似得■=2，同理■=2，

所以MN∥DE.

又DE⊥AC，DE⊥BF（由三垂線定理易得），

所以MN是AC與BF的公垂線段，MN=■DE=■. ？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

解法2（如圖4）：函數(shù)法

在AC上任取一點M，作MP⊥AB，PN⊥BF，MP⊥AB，PN⊥BF，則MN⊥BF.

設(shè)AP=x，則MP=x，BP=1-x，PN=■.

所以MN2=MP2+PN2=x2+■=■·x-■2+■.

當(dāng)x=■時，MN的最小值為■.

解法3（如圖5）：解析法

設(shè)M（0，a，a），N（b，1-b，0），由柯西不等式

MN2=b2+（1-a-b）2+a2≥■[b+（1-a-b）+a]2=■，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=■時等號成立，

所以MN的最小值為■.

注：本質(zhì)上，解法3與下面的解法4是相同的.

解法4（如圖6）：

作MP⊥AB，NQ⊥AB.

設(shè)AP=x，BQ=y，PQ=z（當(dāng)AQPB依次排列時，z<0），則x+y+z=1，

MN2=x2+y2+z2≥■（x+y+z）2=■，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=■時等號成立，

所以MN的最小值為■.

注：解法4用到了以下公式的特殊情況（如圖7）：

MN=■，

其中θ為二面角的平面角.

解法5（如圖8）：向量法

設(shè)M（0，a，a），N（b，1-b，0），則

■=（b，1-b-a，-a），■=（0，1，1），■=（1，-1，0）.

由■·■=0得2a+b=1;

由■·■=0得a+2b=1，

解得a=b=■，即M0，■，■，N■，■，0，

所以MN=■.

若把本題改成求異面直線AC與BF的距離，則有以下解法.

解法6（如圖9）：轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點面距離

因為BF∥平面ACG，

所以異面直線AC與BF的距離即為BF到平面ACG的距離，即點F到平面ACG的距離.

由V■=V■得■×■（■）2d=■×■×1，所以d=■.

解法7（如圖10）：轉(zhuǎn)化為面面距離

所求距離為平面ACG與平面HFB的距離，此距離為正方體體對角線的■，即■.

解法8（如圖11）：向量法

■=（0，1，1），■=（1，-1，0）.

設(shè)與這兩條異面直線都垂直得法向量為n，

則n·■=0，n·■=0，可取n=（1，1，-1）.

又■=（1，0，0），

所以d=■=■.

教學(xué)反思

總體而言，上述給出的8種不同的方法，分別從公垂線段，解析法，函數(shù)法，向量法，線面距離，面面距離等角度來解答本題，可謂是靈活多變，花樣百出，能夠使學(xué)生開闊思路，把學(xué)過的知識和方法融會貫通，使用自如，大大提升分析問題和解決問題的能力. 一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生靈活、敏捷的思維能力，讓學(xué)生學(xué)會對問題進行多角度、多層次的分析，達到對問題的全面理解，進而迅速準(zhǔn)確地解決問題. 通過一題多解的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維及聯(lián)想能力，學(xué)會用不同的知識解決同一個問題，達到對多種知識的融會貫通，構(gòu)建知識體系.

結(jié)束語

這道立體幾何最值問題，筆者給出了8種不同的解法，對學(xué)生進行發(fā)散性思維訓(xùn)練. 最值問題通常跟不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)以及某些量的幾何意義有著關(guān)聯(lián)，內(nèi)容相對比較復(fù)雜，形式相對多樣，題目的綜合性也比較強. 因此，在對高三學(xué)生進行立體幾何專題復(fù)習(xí)時，除了對立體幾何板塊本身練習(xí)外，還需要給學(xué)生講解立體幾何與其他板塊的聯(lián)系，讓學(xué)生能夠在頭腦中建立相應(yīng)的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并且給予學(xué)生相應(yīng)的立體幾何板塊的綜合練習(xí)，使學(xué)生能夠從不同的角度切入問題并選擇合適自己的方法解決問題.