深剖空間距離，例析問題解法

汪艷

[摘? 要] 空間距離問題是立體幾何中的典型問題之一，能夠全面考查學(xué)生對(duì)空間距離的理解，以及空間幾何觀.? 空間距離問題的類型較多，垂線段法、等體積法和空間向量法是最為常用的方法，同時(shí)其方法思想具有一定的代表性，文章對(duì)空間距離問題加以探討，并結(jié)合實(shí)例探究三種方法.

[關(guān)鍵詞] 空間距離;垂線段;等體積法;向量法;思想

問題綜述

空間距離是刻畫空間中的點(diǎn)、線、面相對(duì)位置數(shù)量關(guān)系的一個(gè)重要的量，也是立體幾何部分重要的研究問題. 縱觀歷年高考，主要以求解點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面、線到線、線到面的距離為核心，空間距離的求解一般將其轉(zhuǎn)化為計(jì)算線段長(zhǎng)，問題難點(diǎn)主要集中在以下幾個(gè)方面：一是如何處理圖形特點(diǎn)與相關(guān)概念的關(guān)聯(lián)，即理解問題條件;二是如何對(duì)空間元素的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尤其是線面距離、異面直線距離;三是空間距離的求解方法較多，如何根據(jù)方法步驟來構(gòu)建轉(zhuǎn)化思路. 下面將對(duì)點(diǎn)到平面、線到平面的距離以及異面直線距離的解法舉例探究.

方法概述

求解空間距離的方法有很多，對(duì)于點(diǎn)到平面、線到平面的距離的解法可以歸為以下四種：①垂線段法，即直接作點(diǎn)或直線到平面的垂線段，問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的線段長(zhǎng)問題;②等體積法，根據(jù)立體幾何中高的定義可知，高為頂點(diǎn)或上平面到底面的距離，而對(duì)于同一幾何體，可以從不同的視角來構(gòu)建體積模型;③向量法，該方法是建立在空間坐標(biāo)系上的一種特殊方法，充分利用了向量射影長(zhǎng)的距離內(nèi)涵. 而對(duì)于異面直線距離問題，可以將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面或直線到平面之間的距離，在實(shí)際求解時(shí)需要結(jié)合具體的問題特點(diǎn)來合理選定方法，確保過程簡(jiǎn)捷，思路清晰，作答準(zhǔn)確.

舉例探究

點(diǎn)到平面、線到平面的距離是其中的難點(diǎn)問題，其方法在處理空間距離問題中具有一定的代表性，下面舉例探究垂線段法、等體積法和向量法的解析技巧和解題思路的構(gòu)建.

解法一：垂線段法

垂線段法即是從定義出發(fā)直接求距離的方法，相對(duì)于后續(xù)兩種方法較為直接，從空間距離的問題本質(zhì)來看，實(shí)則就是求空間元素之間的垂線段，因此若能直接作出垂線段，則可以采用此方法. 垂線段的作法有多種方式：①若過該點(diǎn)的直線同時(shí)垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則該直線垂直于目標(biāo)平面，就可以在該直線上截取垂線段;②也可以過直線作目標(biāo)平面的垂直平面，可得兩平面的交線，將其轉(zhuǎn)化為兩平行線之間的距離，顯然很容易獲得垂線段.

例1：如圖1所示，已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）證明：PB∥平面AEC;

（2）若AP長(zhǎng)為1，AD長(zhǎng)為■，且三棱錐P-ABD的體積為■，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

分析：第（2）問求點(diǎn)A到平面PBC的距離，分析可知只需要過點(diǎn)A作平面PBC的垂線段即可. 基本思路是確定垂直于平面PBC且過點(diǎn)A的平面，則過點(diǎn)A作兩平面交線的垂線，則垂足到點(diǎn)A的距離就為所求的垂線段.

解：已知AP=1，AD=■，三棱錐P-ABD的體積可以表示為V=■PA·AB·AD，代入可得AB=■，根據(jù)勾股定理可得PB=■=■. 由于PA⊥平面ABCD，則PA⊥AD. 又知四邊形ABCD為矩形，則AB⊥AD. 綜上可知AD⊥平面PAB，又知AD∥BC，則BC⊥平面PAB. 又知BC平面PBC，故平面PAB⊥平面PBC，過點(diǎn)A作PB的垂線，垂足為點(diǎn)H，如圖1所示，可證AH⊥平面PBC，則AH長(zhǎng)就為點(diǎn)A到平面PBC的距離. 將AH放在△PAB中，其中∠PAB=90°，由等面積可知PA·AB=PB·AH，則AH=■=■，即點(diǎn)A到平面PBC的距離為■.

解法二：等體積法

等體積法同樣適用于空間距離求解，該方法與等面積法的構(gòu)建思路是一致的，即從不同的視角來構(gòu)建幾何體的體積，利用體積相等來求解其中的線段長(zhǎng). 等體積法一般適用于規(guī)則幾何體，且高為所求距離的值. 解析時(shí)首先轉(zhuǎn)化視角確定幾何體的底面，然后結(jié)合線段長(zhǎng)來構(gòu)建代數(shù)方程.

例2：如圖3所示，正三棱柱ABC-A■B1C1的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線B1C的長(zhǎng)為10，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）求點(diǎn)B1到直線AC的距離;

（2）求直線AB1到平面C■BD的距離.

分析：（1）問求點(diǎn)到直線距離，圖中所示幾何體為特殊的正三棱柱，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，有BD⊥AC，則DB1就為所求垂線段，后續(xù)將其放在三角形求解即可.

（2）設(shè)直線BC1與B1C交于點(diǎn)E，分析可知AB1∥DE，則AB1∥平面BDC1，所以AB1到平面BDC1的距離就等于點(diǎn)A到平面BDC1的距離，同時(shí)就等于點(diǎn)C到平面BDC1的距離，后續(xù)就可以在三棱錐C-BDC1中利用等體積法求解.

解析：（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)辄c(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以有BD⊥AC，連接B1D，由三垂線定理可知B1D⊥AC，則B1D就為所求距離. 在Rt△BB1D中，已知BB1=6，BD=4■，由勾股定理可得B1D=■=2■.

（2）設(shè)BC1與B1C交于點(diǎn)E，由于AB1∥DE，則AB1∥平面BDC1，所以A到平面BDC1的距離等于點(diǎn)C到平面BDC1的距離. 對(duì)于三棱錐C-BDC1，可將其視為以點(diǎn)C為頂點(diǎn)、平面BDC1為底面的三棱錐，則V■=■hS■（h表示點(diǎn)C到底面BDC1的距離），同時(shí)可將其視為以點(diǎn)C1為頂點(diǎn)，以平面BDC為底面的三棱錐，則V■=■·CC1·S■. 由等體積可知hS■=CC1·S■，則h=■，即直線AB1到平面C1BD的距離為■.

解法三：空間向量法

向量法是求解空間幾何問題的常用方法，該方法具有簡(jiǎn)潔直觀的優(yōu)點(diǎn). 求解時(shí)可以按照空間向量的分析步驟進(jìn)行，即首先建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出關(guān)鍵點(diǎn)的空間坐標(biāo)，推導(dǎo)其中的線段向量，最后結(jié)合公式d=■ （其中點(diǎn)P為平面α內(nèi)的一點(diǎn)，n為平面α的法向量）即可確定點(diǎn)A到平面α的距離.

例3：如圖4所示，在多面體ABCDE中，平面ABD⊥平面ABC，已知AB⊥AC，AE⊥BD，DE∥AC，DE=■AC，且AD和BD的長(zhǎng)均為1，試回答下列問題.

（1）求AB的長(zhǎng);

（2）若2≤AC≤4，求點(diǎn)E到平面BCD距離的最大值.

分析：（1）略;（2）在多面體ABCDE中，無法直接確定點(diǎn)E到平面BCD的垂線段，此時(shí)可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來求點(diǎn)到平面的距離.

解：由于AD=BD，則△ABD為等腰三角形，取BD的中點(diǎn)為O，平面ABD⊥平面ABC，OD⊥平面ABC，過點(diǎn)O作AC的平行線，與BC交于點(diǎn)Y. 以點(diǎn)O為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OY，OD為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖5所示.

記AC=2a，則1≤a≤2，則A-■，0，0，B■，0，0， C-■，2a，0，D0，0，■，E0，-a，■，■=（-■，2a，0），■=-■，0，■. 可推算出平面BCD的法向量n=■，■，■. 又知■=（0，-a，0），則點(diǎn)E到平面BCD的距離可以表示為d=■=■. 其中1≤a≤2，分析可知當(dāng)a=2時(shí)，d可取得最大值■，即點(diǎn)E到平面BCD距離的最大值為■.

解后思考

1. 回歸教材基礎(chǔ)，系統(tǒng)梳理方法

空間距離是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問題，也是數(shù)學(xué)教材探討的重點(diǎn)內(nèi)容. 對(duì)該問題的探究剖析需要回歸教材，把握教材的基礎(chǔ)知識(shí)，包括線面垂直、面面垂直、線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，深刻理解空間距離中垂線段構(gòu)建的原理及思路. 空間距離問題的類型較為多樣，方法也存在差異，學(xué)習(xí)時(shí)需要對(duì)其中的典型方法進(jìn)行系統(tǒng)梳理，可以采用對(duì)比歸納的方式，對(duì)方法的原理、特點(diǎn)、優(yōu)劣、適用題型和構(gòu)建思路進(jìn)行整理，從而形成自我的解題策略. 例如上述呈現(xiàn)的三種方法適用題型有如下特點(diǎn)，其中垂線段法適用于容易作出垂線段的問題，等體積法適用于幾何結(jié)構(gòu)規(guī)則且垂線段為高的問題，空間向量法具有一般性. 對(duì)方法的梳理實(shí)則就是對(duì)問題特點(diǎn)的剖析，同時(shí)也是考題探究的必要環(huán)節(jié)，有助于提升學(xué)生的解題能力.

2. 探究方法思想，重視方法反思

空間距離問題屬于三維問題，對(duì)于學(xué)生而言較為抽象，上述方法是通過降維或轉(zhuǎn)化的方式來簡(jiǎn)化問題. 如垂線段法和空間向量法是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，等體積法是將其轉(zhuǎn)化為方程問題，其中隱含著重要的數(shù)學(xué)思想. 開展方法探究需要重視反思方法本質(zhì)，關(guān)注方法的指導(dǎo)思想，尤其是降維思想和轉(zhuǎn)化思想，這兩種思想是求解空間距離問題的關(guān)鍵，也是空間距離問題思路構(gòu)建的內(nèi)在原理. 另外，在方法反思教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行多視角剖析，對(duì)于某些問題可以采用多種方法求解，在反思過程中有必要開展一題多解，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)方法聯(lián)系，多視角理解方法思想的內(nèi)涵，最大化激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展解題思維.