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    導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中構(gòu)造輔助函數(shù)的方法技巧探討

    2020-09-26 11:16:35吳德滿
    關(guān)鍵詞:換元法構(gòu)造導(dǎo)數(shù)

    吳德滿

    [摘? 要] 構(gòu)造輔助函數(shù)是求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常用策略,而構(gòu)造函數(shù)的方法技巧較為眾多,需要結(jié)合具體問(wèn)題合理選用. 解題時(shí)所構(gòu)函數(shù)的形式不同,獲得的解題效果也不相同,文章對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題加以剖析,結(jié)合實(shí)例簡(jiǎn)要探討作差構(gòu)造、拆分構(gòu)造、換元構(gòu)造和特征構(gòu)造四種構(gòu)造技巧,并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

    [關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù);構(gòu)造;函數(shù);作差法;拆分法;換元法;特征法

    問(wèn)題綜述

    在近幾年的高考中,出現(xiàn)了眾多求證不等式或求參數(shù)范圍的問(wèn)題,問(wèn)題求解的核心工具是導(dǎo)數(shù)知識(shí),因此可將其歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)問(wèn)題. 該類問(wèn)題一般結(jié)構(gòu)獨(dú)特、綜合性強(qiáng),突破求解時(shí)需要采用一定的方法技巧,其中構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題最為有效的方法,既可以降低思維難度,求解思路又更為清晰. 但實(shí)際教學(xué)中,學(xué)生大多沒(méi)有完全掌握函數(shù)構(gòu)造的技巧,經(jīng)驗(yàn)匱乏,所構(gòu)函數(shù)不合理,因此十分有必要深入剖析導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中函數(shù)構(gòu)造的方法,總結(jié)常用的構(gòu)造技巧.

    技巧探討

    導(dǎo)數(shù)題目本身的形式較為多變,復(fù)雜度也不一致,因此構(gòu)造函數(shù)時(shí)需要根據(jù)題目特點(diǎn). 總體來(lái)說(shuō),函數(shù)構(gòu)造時(shí)最常用的方法有作差法、拆分法、換元法、特征法,下面結(jié)合實(shí)例加以探討.

    技巧一:作差構(gòu)造

    作差構(gòu)造法,顧名思義,通過(guò)對(duì)數(shù)式進(jìn)行作差變換來(lái)構(gòu)建函數(shù)的一種方法. 具體作差構(gòu)造時(shí)又分為多種情形,包括直接作差、變形作差,其核心內(nèi)容均是通過(guò)作差來(lái)完成函數(shù)構(gòu)造.

    例1:已知f(x)=■,試證明:對(duì)于任意的正數(shù)a,均存在正數(shù)x,使得不等式f(x)-1

    解析:題干給出了函數(shù)f(x)的解析式,求證不等式成立首先需要將解析式代入,將不等式化為■-1ln(a+1)時(shí),G′(x)>0. G(x)min=G(ln(a+1))=a-(a+1)ln(a+1). 分析可知a-(a+1)ln(a+1)<0,因此可知存在正數(shù)x=ln(a+1),使得不等式f(x)-1

    點(diǎn)撥:上述在證明時(shí)采用了變形作差的函數(shù)構(gòu)造技巧,即首先對(duì)函數(shù)f(x)-1

    技巧二:拆分構(gòu)造

    對(duì)于某些不等式證明或求值問(wèn)題,若直接構(gòu)造時(shí)較難分析,也可以采用拆分構(gòu)造的策略. 首先對(duì)不等式進(jìn)行合理拆解,將其分為多個(gè)部分,然后結(jié)合構(gòu)造思想來(lái)構(gòu)建函數(shù),完成求解. 從構(gòu)造方式來(lái)看也稱之為局部構(gòu)造.

    例2:已知函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=aexlnx+■,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2,試回答下列問(wèn)題:

    (1)試求a和b的值;

    (2)證明:f(x)>1.

    解析:(1)根據(jù)條件可知切線的斜率為e,同時(shí)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,f(1)),顯然可以根據(jù)上述兩個(gè)條件來(lái)建立方程.原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=aexlnx+■+■(x>0),則有f(1)=2,f′(1)=e,可解得a=1,b=2.

    (2)根據(jù)(1)問(wèn)可知f(x)=exlnx+■(x>0). 證明f(x)>1,等價(jià)于xlnx>xe-x-■,由不等號(hào)左側(cè)構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx,則g′(x)=1+lnx,分析可知當(dāng)x∈0,■時(shí),g′(x)<0;x∈■,+∞時(shí),g′(x)>0,所以函數(shù)g(x)在0,■上單調(diào)遞減,在■,+∞上單調(diào)遞增,從而在(0,+∞)上的最小值為g■=-■.

    由不等號(hào)右側(cè)構(gòu)造函數(shù)h(x)=xe-x-■,則h′(x)=e-x(1-x),分析可知函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,從而在(0,+∞)上的最大值為h(1)=-■.

    綜上可知,當(dāng)x>0時(shí),g(x)> h(x),從而有f(x)>1,證畢.

    點(diǎn)撥:上述第(2)問(wèn)是證明不等式成立,顯然需要利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)完成,但若直接由不等式來(lái)構(gòu)建函數(shù),求導(dǎo)后函數(shù)會(huì)過(guò)于復(fù)雜,不易分析. 因此可以采用移項(xiàng)拆分的策略,將其拆分為兩部分,分別構(gòu)造函數(shù),顯然兩個(gè)分函數(shù)的性質(zhì)更容易獲得.

    技巧三:換元構(gòu)造

    換元同樣也可以作為構(gòu)造函數(shù)的一種策略,即利用新元來(lái)替換原函數(shù)的部分或全部,使之變量化多為少,從而達(dá)到減元的目的. 通過(guò)換元構(gòu)造可以使函數(shù)的特征結(jié)構(gòu)更為清晰,該方法多用于處理多元函數(shù)問(wèn)題中.

    例3:試證明當(dāng)n>m>0時(shí),有l(wèi)nn-lnm>■-■.

    解析:上述題干給定了變量關(guān)系,求證不等式成立,可以先對(duì)不等式簡(jiǎn)單變形,可得ln■-■+■>0,顯然只需要該不等式成立即可.由于其中含有變量m和n,可以采用換元構(gòu)造的策略. 令■=x,則x>1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-■+x(x>1),其導(dǎo)函數(shù)為g′(x)=■+■+1,由于x>1,所以g′(x)>0,故g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增. 已知n>m>0,則■>1,有g(shù)■>g(1)=0,從而可證ln■-■+■>0,則原不等式成立.

    點(diǎn)撥:上述所證不等式的最顯著特征是含有兩個(gè)變量,因此需要分換元、構(gòu)造兩步進(jìn)行,即常見(jiàn)的換元構(gòu)造策略,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的一元函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題,顯然可以降低思維. 需要注意的是在完成換元后,需要根據(jù)條件來(lái)確定新元的取值范圍,確保新函數(shù)的取值有意義.

    技巧四:特征構(gòu)造

    特征法構(gòu)造函數(shù)指的是根據(jù)問(wèn)題式子的特征結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造函數(shù)的方式,可以是條件特征,也可以是結(jié)論特征. 解析時(shí)需要準(zhǔn)確把握數(shù)式的相似結(jié)構(gòu),然后結(jié)合類比思想完成函數(shù)構(gòu)造,常用于常規(guī)不等式、數(shù)列不等式問(wèn)題證明,采用特征構(gòu)造的方式往往可以使抽象問(wèn)題直觀化.

    例4:已知函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=lnx+■,m∈R,如果對(duì)于任意的b>a>0,不等式■<1始終成立,試求m的取值范圍.

    解析:本題目求證不等式成立,不等式的構(gòu)建與函數(shù)f(x)有關(guān),問(wèn)題等價(jià)于求證f(b)-b0),若要使不等式成立,則需使導(dǎo)函數(shù)h′(x)=■-■-1≤0在(0,+∞)上恒成立,從而可得m≥ -x2+x=-x-■2+■(x>0),所以有m≥■(當(dāng)x=■時(shí),等號(hào)成立). 所以m的取值范圍為■,+∞.

    點(diǎn)撥:上述是關(guān)于求解參數(shù)取值范圍的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,題干給出了條件函數(shù)及相關(guān)不等式,求解時(shí)通過(guò)對(duì)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化獲得了后續(xù)函數(shù)構(gòu)造的參照條件,采用的是根據(jù)條件特征構(gòu)造的技巧.特征構(gòu)造的方法技巧使用十分普遍,解題時(shí)需要善于觀察不等式的特征結(jié)構(gòu),總結(jié)數(shù)式規(guī)律.

    反思教學(xué)

    構(gòu)造函數(shù)是求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常用策略,上述探討的四種構(gòu)造函數(shù)技巧有著極強(qiáng)的應(yīng)用性,從函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程來(lái)看,無(wú)非就是兩步:第一步對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形,第二步根據(jù)轉(zhuǎn)化后的情形構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)加以探討. 但采用函數(shù)構(gòu)造解析問(wèn)題時(shí)不能盲目套用公式,需要學(xué)生靈活變通,下面提出幾點(diǎn)提升學(xué)生構(gòu)造能力的建議.

    1. 關(guān)注數(shù)式規(guī)律,提升學(xué)生觀察力

    從上述四道例題來(lái)看,問(wèn)題中所涉不等式的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容較為多樣,包含了分?jǐn)?shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)等內(nèi)容,構(gòu)造形式也大不相同. 在實(shí)際求解時(shí)需要學(xué)生深入分析不等式的結(jié)構(gòu)特征,從中提煉數(shù)形規(guī)律,確定合理的構(gòu)造策略,因此對(duì)學(xué)生的觀察力有著較高的要求. 在實(shí)際教學(xué)中,不能局限于指導(dǎo)解題過(guò)程,還需要注重提升學(xué)生的觀察力,可以通過(guò)設(shè)問(wèn)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生分析不等式所涉內(nèi)容、形式特點(diǎn)、含參個(gè)數(shù)、成立條件等,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)知.

    2. 積累變形方式,重視知識(shí)積累

    利用函數(shù)構(gòu)造法求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中,最為關(guān)鍵的一步是對(duì)不等式的等價(jià)變形,這是后續(xù)函數(shù)構(gòu)造的基礎(chǔ). 由于不等式的多樣性,變形處理的方法也大不相同,這就要求學(xué)生必須掌握一定的變形處理手段,包括移項(xiàng)、參數(shù)分離、去分母等. 考慮到變形手段與代數(shù)知識(shí)有著關(guān)聯(lián)性,在教學(xué)中需要立足數(shù)式性質(zhì),強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí),積累變形經(jīng)驗(yàn),提升運(yùn)算能力. 不等式變形的過(guò)程是恒等變形,因此教學(xué)中需要使學(xué)生理解數(shù)式變形的本質(zhì),深刻認(rèn)識(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想內(nèi)容.

    3. 總結(jié)函數(shù)模型,增強(qiáng)聯(lián)想思維

    利用函數(shù)性質(zhì)化解是問(wèn)題解決的重要一步,在該步中需要利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)分析問(wèn)題,化簡(jiǎn)求解. 實(shí)際上構(gòu)造函數(shù)就是構(gòu)造函數(shù)模型,利用模型的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題,因此教學(xué)中十分有必要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)基本的函數(shù)模型,如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等,并掌握復(fù)合函數(shù)的構(gòu)建技巧及求導(dǎo)方法. 同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維,使學(xué)生掌握根據(jù)數(shù)式特征構(gòu)建函數(shù)的方法. 思維的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程,教學(xué)中要結(jié)合具體的考題,采用引導(dǎo)設(shè)問(wèn)的方式促進(jìn)學(xué)生思考,逐步提升學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性.

    總之,掌握導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的函數(shù)構(gòu)造技巧是提升解題效率的關(guān)鍵,除了需要使學(xué)生理解不同構(gòu)造技巧的內(nèi)涵,還需要掌握相應(yīng)的構(gòu)造步驟. 函數(shù)構(gòu)造的過(guò)程實(shí)則是創(chuàng)造的過(guò)程,需要聯(lián)想思考,因此需要提升學(xué)生的思維品質(zhì),促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的發(fā)展.

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