關(guān)于解析幾何“定點定值”問題的探討

廖述美

[摘? 要] “定點定值”問題是高中數(shù)學的綜合性問題，問題中呈現(xiàn)了“動”與“靜”的辯證統(tǒng)一關(guān)系，分析時存在諸多的難點，需要采用對應(yīng)的解題策略. 文章對其問題背景進行剖析，結(jié)合例題來總結(jié)解題策略，并提出相應(yīng)的教學建議.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;定點定值;向量;方程;變式

問題背景

解析幾何中的“定點定值”問題是高中數(shù)學的熱點問題，在高考中出現(xiàn)的頻次很高，問題的綜合性較強，解析過程存在一定的難度，對學生的分析思維有著較高的要求，基于問題考查內(nèi)容，有以下幾點需要關(guān)注：

1. 直線中的定點問題，實則也是考查對直線方程的變形，應(yīng)關(guān)注點斜式和斜截式方程的過定點情形.

2. 解析幾何中的定值問題實則就是解析幾何量與參數(shù)無關(guān)的過程，因此需要掌握線長、幾何面積、角度及斜率等量的代數(shù)表達方式，通過化“動”為“靜”來確定定值.

3. 部分定點定值問題也以探究的方式考查，可采用“假設(shè)—驗證”的思維方式順推求解，討論是否存在滿足條件的情形.

總之，定點定值問題不僅強調(diào)知識綜合，同時也重視思想方法的運用，關(guān)注問題考點，把握知識關(guān)聯(lián)是問題突破的基礎(chǔ).

典例引路

問題：已知橢圓的解析式為■+■=1（a>b>0），點F1和F2是橢圓的左、右焦點，點A和B是橢圓的短軸端點，連接AF1，AF2，BF1，BF2，四邊形F1AF2B為正方形，且邊長為2，回答下列問題.

（1）試求橢圓解析式中a和b的值.

（2）設(shè)點C和D分別為橢圓長軸上的左、右端點，點M為坐標系內(nèi)的一個動點，連接CM與橢圓的交點為P，若滿足MD⊥CD，試證明■·■為定值，并求出該定值.

（3）在（2）條件成立的情況下，分析坐標x軸上是否存在一點Q（異于點C），使得以MP為直徑的圓始終經(jīng)過直線DP和MQ的交點？如果存在，請求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

分析：上述是以橢圓、直線、正方形和圓為背景的解析幾何問題，設(shè)問特點鮮明.（1）問實則求橢圓解析式，考查橢圓定義;（2）問求證向量積為定值，考查平面向量中數(shù)量積的運算;（3）問探究圓過定點，綜合考查直線與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化.

解：（1）求a和b的值，核心條件是正方形F1AF2B的邊長為2，可獲得相應(yīng)的焦距長和短軸長，進而獲得長軸長，簡解可得a=2，b=■，橢圓方程為■+■=1.

（2）證明■·■為定值，顯然首先需要表示向量，然后通過數(shù)量積的運算來確定其定值，常規(guī)思路分兩步進行：第一步是設(shè)出相關(guān)點坐標，推導(dǎo)直線CM的方程;第二步是聯(lián)立直線CM與橢圓的解析式，由韋達定理求出點P的坐標，從而將向量■和■統(tǒng)一表示，并通過數(shù)量積運算化簡來確定其為定值.

分析可知點C（-2，0），D（2，0），設(shè)直線CM的解析式為y=k（x+2），點P坐標為（x1，y1），根據(jù)MD⊥CD可推得點M的坐標為（2，4k）. 聯(lián)立直線CM和橢圓的解析式，整理可得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，由韋達定理可得x1=■，結(jié)合直線CM的解析式可得點P■，■. 所以■·■=（2，4k）·■，■=■=4，即■·■為定值，且定值為4.

（3）分析以MP為直徑的圓是否經(jīng)過DP和MQ的交點，由于MP為直徑，若經(jīng)過兩線的交點，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，可得MQ⊥DP，則■·■=0，后續(xù)只需要設(shè)出點Q的坐標，求出兩向量，結(jié)合向量之積為零來構(gòu)建方程即可.

設(shè)點Q（x0，0）（x0≠-2），若以MP為直徑的圓經(jīng)過DP和MQ的交點，則有■·■=0. 由（2）問可知■=（2-x0，4k），■=■，■，所以■·■=（2-x0）·■+4k·■=0，整理可得■·x0=0，解得x0=0，即存在點Q（0，0）使得以MP為直徑的圓始終經(jīng)過直線DP和MQ的交點.

方法提升

解析幾何中的“定點定值”問題的設(shè)問形式眾多，上述例題只是其中的一種命題形式，實際解題是需要根據(jù)問題特點和條件進行分析推理，解題突破主要有兩種思路：順勢推演和倒推驗證，具體如下.

1. 定點問題的解法及思路

思路一：設(shè)出定點坐標，根據(jù)問題選定參數(shù)，建立直線或者曲線系方程，根據(jù)“方程與參數(shù)無關(guān)”來提取關(guān)于定點坐標的方程，通過解方程確定定點坐標;

思路二：把握問題中的特殊位置及特殊情形，直接提取其中的定點，然后證明定點符合題意即可.

2. 定值問題的解法及思路

思路一：設(shè)出未知量，結(jié)合問題條件進行分析、推理、計算，逐步消去其中的變量;

思路二：從問題的特殊情形入手，直接求出定值，然后證明該定值與題干變量無關(guān).

3. 探究性問題的注意點

對于探究存在性問題，一般采用“假設(shè)—驗證”的方式，假設(shè)結(jié)論成立，分析是否合理，需注意以下幾點：

（1）關(guān)注問題情形是否唯一，合理進行分類討論;

（2）根據(jù)結(jié)論來逆推可能存在的條件，確保條件合理準確;

（3）對于條件不確定的情形，適當拓展思維，選用合理方法.

變式訓(xùn)練

該類問題與幾何圖形有著一定的關(guān)聯(lián)，下面解析一道與三角形特性相關(guān)聯(lián)的探究性定點問題.

例題：已知橢圓C的解析式為■+■=1（a>b>0），離心率e=■，經(jīng)過右焦點F且與x軸相垂直的直線與橢圓C相截弦長為■，試回答下列問題.

（1）試求橢圓C的解析式.

（2）點N為橢圓的上頂點，分析是否存在直線l與橢圓相交于點P和Q，使得點F為△PQN的垂心？若存在，請求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.

解析：（1）根據(jù)題干信息可求得a=■，b=1，則橢圓C的解析式為■+y2=1.

（2）假設(shè)存在直線l與橢圓相交于點P和Q，使得點F為△PQN的垂心，設(shè)點P（x1，y1），Q（x2，y2）. 又知點N（0，1），F(xiàn)（1，0），則kNF=-1，由于NF⊥PQ，則kPQ=1. 設(shè)直線l的方程為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得3x2+4mx+2m2-2=0，由Δ>0可得m2<3，由韋達定理可得x1+x2= -■，x1·x2=■. 由于■·■=0，則■·■=（x1，y1-1）·（x2-1，y2）=2x1·x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0，即2·■-■（m-1）+m2-m=0，從而解得m=-■或m=1. 分析可知當m=1時，△PQN不存在，舍去;當m=-■時，滿足條件，此時直線l的方程為y=x-■.

評析：上述為橢圓與直線的解析幾何問題，第（2）問探究滿足條件的三角形是否存在，解析時由核心條件“F為△PQN垂心”提煉出“向量積為零”，然后通過方程聯(lián)立構(gòu)建與直線l參數(shù)相關(guān)的代數(shù)方程，通過解方程、合理性分析確定了最終的答案. 上述采用了“假設(shè)—驗證”順勢推導(dǎo)的解題策略，同時緊密把握幾何特性與向量之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建了代數(shù)方程，具有一定的參考價值.

教學建議

1. 解題教學中重視鞏固基礎(chǔ)

解題教學可以有效提升學生的思維能力，但教學中不能脫離教材基礎(chǔ)，數(shù)學的基本概念、定理是教學核心，也是解題教學中需要重點鞏固的內(nèi)容. 教學中不能單純地只讓學生進行知識回顧，而應(yīng)加強學生對基礎(chǔ)知識的理解，使學生深刻領(lǐng)悟其中的內(nèi)涵和本質(zhì). 例如上述問題中涉及了橢圓的性質(zhì)、向量積的運算、三角形垂心、曲線相交等，具體教學時應(yīng)立足知識核心，開展本質(zhì)揭示，使學生掌握轉(zhuǎn)化方法的同時領(lǐng)會其內(nèi)在意義，這對于后續(xù)的方法總結(jié)和能力提升是十分重要的.

2. 解題教學中注重培養(yǎng)思維

解題教學中需要培養(yǎng)學生的邏輯思維，提升學生的分析推理能力，這是發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的核心內(nèi)容. 教學中不僅要使學生掌握解題的方法和技巧，還要培養(yǎng)學生思維的敏捷性、靈活性和創(chuàng)新性. 以定點定值問題為例，需要深刻領(lǐng)會解題策略的內(nèi)涵，除了掌握順推和逆推的方法，對于一些特殊的問題還要掌握聯(lián)系條件和結(jié)論進行綜合構(gòu)建的方法. 解題教學中倡導(dǎo)采用一題多解、一題多變的方式，利用拓展探究來鍛煉學生的思維，拓展學生的解題視野. 課堂教學中應(yīng)以變式探究為引領(lǐng)，使學生養(yǎng)成變式思考的思維習慣.

3. 解題教學中滲透生長之道

數(shù)學具有鮮明的特征，實現(xiàn)了知識與思想的雙重融合，其中后者是其核心所在. 解題教學中需要將思想提升作為目標之一，加強學生對思想方法的理解，很多的經(jīng)典問題中富含豐富的數(shù)學思想.例如上述“定點定值”問題中，方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸轉(zhuǎn)化思想是其本質(zhì)思想，只有理解了這些數(shù)學思想的本質(zhì)內(nèi)涵才能真正掌握該類問題的解題策略，學會用數(shù)學思想來分析問題，由此真正領(lǐng)悟數(shù)學的生長之道，使學生的學科素養(yǎng)真正獲得提升.

寫在最后

總結(jié)“定點定值”問題的解題思路和方法有著現(xiàn)實的意義，可以幫助學生強化知識理解、完善知識體系，同時可以提升學生的數(shù)學思維，促進學生學科素養(yǎng)的發(fā)展. 上述屬于綜合性極強的經(jīng)典問題，教學中應(yīng)從基礎(chǔ)知識出發(fā)，引導(dǎo)學生思考，結(jié)合代表性考題來總結(jié)解題方法，同時注重拓展學生的思維，使學生真正掌握考題.