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    關(guān)于解析幾何“定點定值”問題的探討

    2020-09-26 11:16:35廖述美
    數(shù)學教學通訊·高中版 2020年5期
    關(guān)鍵詞:解析幾何變式向量

    廖述美

    [摘? 要] “定點定值”問題是高中數(shù)學的綜合性問題,問題中呈現(xiàn)了“動”與“靜”的辯證統(tǒng)一關(guān)系,分析時存在諸多的難點,需要采用對應(yīng)的解題策略. 文章對其問題背景進行剖析,結(jié)合例題來總結(jié)解題策略,并提出相應(yīng)的教學建議.

    [關(guān)鍵詞] 解析幾何;定點定值;向量;方程;變式

    問題背景

    解析幾何中的“定點定值”問題是高中數(shù)學的熱點問題,在高考中出現(xiàn)的頻次很高,問題的綜合性較強,解析過程存在一定的難度,對學生的分析思維有著較高的要求,基于問題考查內(nèi)容,有以下幾點需要關(guān)注:

    1. 直線中的定點問題,實則也是考查對直線方程的變形,應(yīng)關(guān)注點斜式和斜截式方程的過定點情形.

    2. 解析幾何中的定值問題實則就是解析幾何量與參數(shù)無關(guān)的過程,因此需要掌握線長、幾何面積、角度及斜率等量的代數(shù)表達方式,通過化“動”為“靜”來確定定值.

    3. 部分定點定值問題也以探究的方式考查,可采用“假設(shè)—驗證”的思維方式順推求解,討論是否存在滿足條件的情形.

    總之,定點定值問題不僅強調(diào)知識綜合,同時也重視思想方法的運用,關(guān)注問題考點,把握知識關(guān)聯(lián)是問題突破的基礎(chǔ).

    典例引路

    問題:已知橢圓的解析式為■+■=1(a>b>0),點F1和F2是橢圓的左、右焦點,點A和B是橢圓的短軸端點,連接AF1,AF2,BF1,BF2,四邊形F1AF2B為正方形,且邊長為2,回答下列問題.

    (1)試求橢圓解析式中a和b的值.

    (2)設(shè)點C和D分別為橢圓長軸上的左、右端點,點M為坐標系內(nèi)的一個動點,連接CM與橢圓的交點為P,若滿足MD⊥CD,試證明■·■為定值,并求出該定值.

    (3)在(2)條件成立的情況下,分析坐標x軸上是否存在一點Q(異于點C),使得以MP為直徑的圓始終經(jīng)過直線DP和MQ的交點?如果存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

    分析:上述是以橢圓、直線、正方形和圓為背景的解析幾何問題,設(shè)問特點鮮明.(1)問實則求橢圓解析式,考查橢圓定義;(2)問求證向量積為定值,考查平面向量中數(shù)量積的運算;(3)問探究圓過定點,綜合考查直線與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化.

    解:(1)求a和b的值,核心條件是正方形F1AF2B的邊長為2,可獲得相應(yīng)的焦距長和短軸長,進而獲得長軸長,簡解可得a=2,b=■,橢圓方程為■+■=1.

    (2)證明■·■為定值,顯然首先需要表示向量,然后通過數(shù)量積的運算來確定其定值,常規(guī)思路分兩步進行:第一步是設(shè)出相關(guān)點坐標,推導(dǎo)直線CM的方程;第二步是聯(lián)立直線CM與橢圓的解析式,由韋達定理求出點P的坐標,從而將向量■和■統(tǒng)一表示,并通過數(shù)量積運算化簡來確定其為定值.

    分析可知點C(-2,0),D(2,0),設(shè)直線CM的解析式為y=k(x+2),點P坐標為(x1,y1),根據(jù)MD⊥CD可推得點M的坐標為(2,4k). 聯(lián)立直線CM和橢圓的解析式,整理可得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,由韋達定理可得x1=■,結(jié)合直線CM的解析式可得點P■,■. 所以■·■=(2,4k)·■,■=■=4,即■·■為定值,且定值為4.

    (3)分析以MP為直徑的圓是否經(jīng)過DP和MQ的交點,由于MP為直徑,若經(jīng)過兩線的交點,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,可得MQ⊥DP,則■·■=0,后續(xù)只需要設(shè)出點Q的坐標,求出兩向量,結(jié)合向量之積為零來構(gòu)建方程即可.

    設(shè)點Q(x0,0)(x0≠-2),若以MP為直徑的圓經(jīng)過DP和MQ的交點,則有■·■=0. 由(2)問可知■=(2-x0,4k),■=■,■,所以■·■=(2-x0)·■+4k·■=0,整理可得■·x0=0,解得x0=0,即存在點Q(0,0)使得以MP為直徑的圓始終經(jīng)過直線DP和MQ的交點.

    方法提升

    解析幾何中的“定點定值”問題的設(shè)問形式眾多,上述例題只是其中的一種命題形式,實際解題是需要根據(jù)問題特點和條件進行分析推理,解題突破主要有兩種思路:順勢推演和倒推驗證,具體如下.

    1. 定點問題的解法及思路

    思路一:設(shè)出定點坐標,根據(jù)問題選定參數(shù),建立直線或者曲線系方程,根據(jù)“方程與參數(shù)無關(guān)”來提取關(guān)于定點坐標的方程,通過解方程確定定點坐標;

    思路二:把握問題中的特殊位置及特殊情形,直接提取其中的定點,然后證明定點符合題意即可.

    2. 定值問題的解法及思路

    思路一:設(shè)出未知量,結(jié)合問題條件進行分析、推理、計算,逐步消去其中的變量;

    思路二:從問題的特殊情形入手,直接求出定值,然后證明該定值與題干變量無關(guān).

    3. 探究性問題的注意點

    對于探究存在性問題,一般采用“假設(shè)—驗證”的方式,假設(shè)結(jié)論成立,分析是否合理,需注意以下幾點:

    (1)關(guān)注問題情形是否唯一,合理進行分類討論;

    (2)根據(jù)結(jié)論來逆推可能存在的條件,確保條件合理準確;

    (3)對于條件不確定的情形,適當拓展思維,選用合理方法.

    變式訓(xùn)練

    該類問題與幾何圖形有著一定的關(guān)聯(lián),下面解析一道與三角形特性相關(guān)聯(lián)的探究性定點問題.

    例題:已知橢圓C的解析式為■+■=1(a>b>0),離心率e=■,經(jīng)過右焦點F且與x軸相垂直的直線與橢圓C相截弦長為■,試回答下列問題.

    (1)試求橢圓C的解析式.

    (2)點N為橢圓的上頂點,分析是否存在直線l與橢圓相交于點P和Q,使得點F為△PQN的垂心?若存在,請求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

    解析:(1)根據(jù)題干信息可求得a=■,b=1,則橢圓C的解析式為■+y2=1.

    (2)假設(shè)存在直線l與橢圓相交于點P和Q,使得點F為△PQN的垂心,設(shè)點P(x1,y1),Q(x2,y2). 又知點N(0,1),F(xiàn)(1,0),則kNF=-1,由于NF⊥PQ,則kPQ=1. 設(shè)直線l的方程為y=x+m,與橢圓方程聯(lián)立,整理可得3x2+4mx+2m2-2=0,由Δ>0可得m2<3,由韋達定理可得x1+x2= -■,x1·x2=■. 由于■·■=0,則■·■=(x1,y1-1)·(x2-1,y2)=2x1·x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0,即2·■-■(m-1)+m2-m=0,從而解得m=-■或m=1. 分析可知當m=1時,△PQN不存在,舍去;當m=-■時,滿足條件,此時直線l的方程為y=x-■.

    評析:上述為橢圓與直線的解析幾何問題,第(2)問探究滿足條件的三角形是否存在,解析時由核心條件“F為△PQN垂心”提煉出“向量積為零”,然后通過方程聯(lián)立構(gòu)建與直線l參數(shù)相關(guān)的代數(shù)方程,通過解方程、合理性分析確定了最終的答案. 上述采用了“假設(shè)—驗證”順勢推導(dǎo)的解題策略,同時緊密把握幾何特性與向量之間的關(guān)聯(lián),構(gòu)建了代數(shù)方程,具有一定的參考價值.

    教學建議

    1. 解題教學中重視鞏固基礎(chǔ)

    解題教學可以有效提升學生的思維能力,但教學中不能脫離教材基礎(chǔ),數(shù)學的基本概念、定理是教學核心,也是解題教學中需要重點鞏固的內(nèi)容. 教學中不能單純地只讓學生進行知識回顧,而應(yīng)加強學生對基礎(chǔ)知識的理解,使學生深刻領(lǐng)悟其中的內(nèi)涵和本質(zhì). 例如上述問題中涉及了橢圓的性質(zhì)、向量積的運算、三角形垂心、曲線相交等,具體教學時應(yīng)立足知識核心,開展本質(zhì)揭示,使學生掌握轉(zhuǎn)化方法的同時領(lǐng)會其內(nèi)在意義,這對于后續(xù)的方法總結(jié)和能力提升是十分重要的.

    2. 解題教學中注重培養(yǎng)思維

    解題教學中需要培養(yǎng)學生的邏輯思維,提升學生的分析推理能力,這是發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的核心內(nèi)容. 教學中不僅要使學生掌握解題的方法和技巧,還要培養(yǎng)學生思維的敏捷性、靈活性和創(chuàng)新性. 以定點定值問題為例,需要深刻領(lǐng)會解題策略的內(nèi)涵,除了掌握順推和逆推的方法,對于一些特殊的問題還要掌握聯(lián)系條件和結(jié)論進行綜合構(gòu)建的方法. 解題教學中倡導(dǎo)采用一題多解、一題多變的方式,利用拓展探究來鍛煉學生的思維,拓展學生的解題視野. 課堂教學中應(yīng)以變式探究為引領(lǐng),使學生養(yǎng)成變式思考的思維習慣.

    3. 解題教學中滲透生長之道

    數(shù)學具有鮮明的特征,實現(xiàn)了知識與思想的雙重融合,其中后者是其核心所在. 解題教學中需要將思想提升作為目標之一,加強學生對思想方法的理解,很多的經(jīng)典問題中富含豐富的數(shù)學思想.例如上述“定點定值”問題中,方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸轉(zhuǎn)化思想是其本質(zhì)思想,只有理解了這些數(shù)學思想的本質(zhì)內(nèi)涵才能真正掌握該類問題的解題策略,學會用數(shù)學思想來分析問題,由此真正領(lǐng)悟數(shù)學的生長之道,使學生的學科素養(yǎng)真正獲得提升.

    寫在最后

    總結(jié)“定點定值”問題的解題思路和方法有著現(xiàn)實的意義,可以幫助學生強化知識理解、完善知識體系,同時可以提升學生的數(shù)學思維,促進學生學科素養(yǎng)的發(fā)展. 上述屬于綜合性極強的經(jīng)典問題,教學中應(yīng)從基礎(chǔ)知識出發(fā),引導(dǎo)學生思考,結(jié)合代表性考題來總結(jié)解題方法,同時注重拓展學生的思維,使學生真正掌握考題.

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