論數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢與應(yīng)用

朱強

[摘? 要] 宏觀看待高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，我們發(fā)現(xiàn)盡管不少知識間存在著必然聯(lián)系，但大多數(shù)知識具有抽象和難懂的本質(zhì)特征，學(xué)生在理解的過程中仍存在著些許難度. 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的優(yōu)勢不僅僅局限于可以幫助學(xué)生理清知識內(nèi)容，最大的優(yōu)勢在于可以為學(xué)生打開解題思路，提高學(xué)生的思維能力. 文章從三角問題、與方程的解有關(guān)的問題、復(fù)數(shù)問題以及解析幾何問題方面著手，談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢與應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;思想方法;解題;思維能力

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)意識形成的“催化劑”，更是靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識技能的源泉.高考中，幾乎每個“把關(guān)題”都離不開數(shù)學(xué)思想的參與. 因此，教師需要在解題教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生時時總結(jié)、常常反思，在解題的過程中不斷提煉“精髓”，使數(shù)學(xué)思想自然形成，使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力在數(shù)學(xué)思想的浸潤下逐漸提升.

數(shù)形結(jié)合是一種獨具特色的信息轉(zhuǎn)化思想，它也是解決數(shù)學(xué)問題的一個有效工具，將這一方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，能將直觀圖形和抽象數(shù)學(xué)有機地串聯(lián)起來，這樣的處理能夠使學(xué)生的數(shù)學(xué)感知與數(shù)學(xué)思維相融合，使學(xué)生的思維過程簡化，從而達到提高解題效率的目的. 下面筆者就從學(xué)生解題的角度著手，探討以下數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

關(guān)注數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應(yīng)用

縱觀歷年高考試卷，三角函數(shù)是高考的熱點問題，是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科類的基石，也是解決實際生產(chǎn)問題的依據(jù)，突破這一重要知識的思想方法有很多，數(shù)形結(jié)合思想就是其中之一. 這就要求教師在解題教學(xué)中以此作為處理三角問題的重要思想方法，從而達到優(yōu)化解題途徑的目的.

例1：設(shè)函數(shù)f（x）的圖像與直線x=a，x=b及x軸三者所構(gòu)圖形的面積是函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在0，■上的面積為■（n∈N*）.

（1）試求出y=sin3x在0，■上的面積.

（2）試求出y=sin（3x-π）+1在■，■上的面積.

分析：需由本題中的條件“函數(shù)y=sinnx在0，■上的面積為■（n∈N*）”類比y=sin3x在0，■上的面積和y=sin（3x-π）+1在■，■上的面積來解決本題. 那么，此處則需從題設(shè)中的面積定義和所給出的函數(shù)面積出發(fā)，以此找尋相似性.而考慮這里的已知條件，尤其需關(guān)注此處條件所給出的是半個周期的面積，而很顯然，第（1）問中n=3時，一個周期面積為■;而第（2）問是求由y=sin3x平移和翻轉(zhuǎn)后y=sin（3x-π）+1一個半周期的面積. 如圖1，畫出y=sin（3x-π）+1在■，■的圖像即可得出答案π+■.

評注：筆者認為，在利用數(shù)形結(jié)合解決三角問題的過程中，畫圖和讀圖是最關(guān)鍵的兩步，先根據(jù)函數(shù)解析式畫出符合要求的圖像，再以形助數(shù)即可在解決問題的時候做到游刃有余. 值得注意的是，在繪制圖像時，需準確反映圖像中的相應(yīng)數(shù)量關(guān)系，這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，還能簡化求解過程.

關(guān)注數(shù)形結(jié)合在與方程的解有關(guān)問題中的應(yīng)用

在解題中，巧妙地通過數(shù)形結(jié)合這個載體來將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為曲線的交點問題，深刻挖掘出數(shù)形結(jié)合的價值，旨在簡化問題的解決策略，意在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識這一核心素養(yǎng).

例2：已知關(guān)于x的方程x2-4x+5=m有4個不等實根，試求實數(shù)m的取值范圍.

分析：本題由關(guān)于x的方程開始，交代了根的個數(shù)，與方程的根的具體值毫無關(guān)聯(lián)，若是直接求解，過程自然是煩瑣和困難的. 經(jīng)過思考，學(xué)生容易想到方程根的個數(shù)問題一般情況下可與“求兩條曲線交點的個數(shù)問題”相溝通，此處以數(shù)形結(jié)合思想進行引領(lǐng)，體現(xiàn)了命題者重視數(shù)學(xué)思想對學(xué)生素養(yǎng)的提升.

解：方程x2-4x+5=m根的個數(shù)也就是函數(shù)y=x2-4x+5與y=m圖像交點的個數(shù).首先，作拋物線y1=x2-4x+5（x≥0）的圖像;接著，作關(guān)于y軸對稱的圖像，即得y=x2-4x+5的圖像;然后，作直線y=m（如圖2所示）. 當1

評注：可以說，解決方程解的問題的方法多數(shù)都源于數(shù)形結(jié)合.首先，我們應(yīng)從圖形出發(fā)，借助它的直觀性，巧妙作出與題意相切合的圖像，從圖像中找尋解題的思路，從而為此類問題的突破奠基.然后有效溝通方程和函數(shù)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想展開探究，使問題的解決更簡捷、更合理.

關(guān)注數(shù)形結(jié)合在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用

在探求復(fù)數(shù)問題時，若以得數(shù)及其運算的幾何意義的載體去繪制圖形，可使問題直觀具體，從而迅速獲解.數(shù)形結(jié)合思想運用于復(fù)數(shù)題，尤其是選擇題和填空題中，其優(yōu)越性尤為明顯.

例3：設(shè)z1=5，z2=2，z1-z2=■，則■的值是__________.

分析：本題巧妙地用復(fù)數(shù)模及四則運算的幾何意義通過數(shù)形結(jié)合這一載體來求解，深刻挖掘出幾何圖形的價值，意在關(guān)注學(xué)生數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識. 學(xué)生經(jīng)過思考，形成以下多種解題策略：

解法1：如圖3，設(shè)復(fù)數(shù)z1所對應(yīng)向量為■，復(fù)數(shù)z2所對應(yīng)向量為■，那么■1所對應(yīng)向量為■，■2所對應(yīng)向量為

據(jù)圖3，可得■=■，∠AOD=∠BOC，據(jù)余弦定理，可得

cos∠AOD=■=■，

所以■=■■±■i=2±■i.

解法2：設(shè)z1=5（cosθ1+isinθ1），z2=2（cosθ2+isinθ2），

那么z1-z2=（5cosθ1-2cosθ2）+（5sinθ1+2sinθ2）i=■=■，

所以cos（θ1+θ2）=■，sin（θ1+θ2）=±■，

所以■=■=■[cos（θ1+θ2）-isin（θ1+θ2）]=■■±■i=2±■i.

評注：本題通過數(shù)形結(jié)合探究，充分展示了共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)及復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運算的幾何意義等，這是一種創(chuàng)新嘗試，將數(shù)形結(jié)合的生動、形象體現(xiàn)得淋漓盡致. 命題者以這種智慧啟迪我們，可以借助數(shù)形結(jié)合中各具特點的多種解題活動來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

關(guān)注數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何開創(chuàng)了數(shù)形結(jié)合的研究方法的先河，它完美展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，深刻演繹了數(shù)形結(jié)合的精髓.在解析幾何的探究過程中，不僅會經(jīng)歷代數(shù)問題幾何化的過程，還會經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程.

例4：若實數(shù)x和y滿足等式x2+y2-4x+1=0，試求出■的最大值.

分析：本題從表面材料來看，是一道關(guān)于方程和不等式的代數(shù)問題，不少學(xué)生以此思路直接求解，而求解過程甚是艱難，或者說毫無頭緒. 命題者的本意為了凸顯數(shù)形結(jié)合這一方法，將等式x2+y2-4x+1=0轉(zhuǎn)化為（x-2）2+y2=3，由此可以自然聯(lián)想到圓C，而■剛好是點（x，y）與原點連線的斜率，如此一來，問題就有了“形”. 原題可以轉(zhuǎn)化為：如圖4，圓C上有一動點P（x，y），試求出直線OP斜率的最大值.觀察可知，點P位于第一象限，且OP與圓C相切時有PC⊥OP，則直線OP斜率最大值tan∠POC=■=■.

評注：對于題目中的表象材料，學(xué)生應(yīng)當充分剖析，在夯實基本解題方法的同時掌握數(shù)學(xué)思想方法，從樸素中扎實，從創(chuàng)新中領(lǐng)悟，既需把握樸素方法，還需注重技巧化訓(xùn)練，讓學(xué)生的解題策略在基本數(shù)學(xué)思想這一載體的滲透下，引領(lǐng)學(xué)生積極探究，促進“高階”思維的培養(yǎng).

總之，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的有效滲透，可以將抽象思維洗盡鉛華轉(zhuǎn)化為具體的形象思維，有利于準確把握問題本質(zhì)，鍛煉和培養(yǎng)解題能力，并且獲得各方面能力的提升.