例談直覺思維在解題中的運(yùn)用

劉喜蘭

[摘? 要] 直覺思維是人類重要且常見的思維形式，在人的創(chuàng)造思維能力中占有舉足輕重的地位. 文章結(jié)合多個(gè)例題，從直覺觀察、直覺猜想和滲透思想等方面透析直覺思維的融入，具體呈現(xiàn)了解題中處處存在直覺思維，解題教學(xué)中處處可以滲透直覺思維的特點(diǎn)，希望能以微觀映射宏觀，為廣大數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提供指導(dǎo)和實(shí)踐的方法，從而提高學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)科素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 解題;直覺思維;觀察;猜想;數(shù)形結(jié)合

在課堂觀察和調(diào)查中，筆者發(fā)現(xiàn)：在解題中，教師往往更注重訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，關(guān)注學(xué)生邏輯嚴(yán)密性的培養(yǎng)，而直覺和預(yù)見的過程匆匆而過，這種教學(xué)功利性較強(qiáng)，忽視了直覺思維在解題中的頓悟作用和導(dǎo)向意義，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)動力不足，聯(lián)想和想象能力缺失，從而在一定程度上限制了學(xué)生思維能力的發(fā)展，這與新課程理念背道而馳.

所謂直覺，就是從聯(lián)想空間出發(fā)，將零碎的、單一的信息進(jìn)行關(guān)聯(lián)和組合，整合為新的有價(jià)值的信息. 數(shù)學(xué)直覺就是指擺脫固定邏輯規(guī)則的束縛，對數(shù)學(xué)對象的一種直接領(lǐng)悟或洞察. 所以直覺思維在解題中有不可低估的作用，教師在授課的同時(shí)應(yīng)注重對直覺思維的訓(xùn)練.

深入觀察，直達(dá)目標(biāo)

觀察是一種直覺活動，它是處理復(fù)雜問題時(shí)的一種感知活動，敏銳的觀察力可以幫助學(xué)生一眼看穿問題的本質(zhì)，快速形成解題路徑. 因此，在解題教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)形特征、數(shù)式特征、圖形特征等，充分運(yùn)用直覺思維，敏銳做出判斷，形成解決問題的策略.

1. 對數(shù)式特征的觀察

例1：已知一個(gè)四邊形的四條邊長依次為25，39，52，60，且該四邊形內(nèi)接于圓O，則圓O的周長為（? ）

A. 65π B. 64π

C. 63π D. 62π

分析：試題以四邊形為載體，題型為一道選擇題，表述較為簡潔，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)感，主要考查學(xué)生的直覺思維能力. 不少學(xué)生在解題時(shí)不注意觀察，讀出題意發(fā)現(xiàn)需求外接圓半徑，便經(jīng)驗(yàn)主義地從解三角形的方向進(jìn)行探究，從而導(dǎo)致思維卡殼.事實(shí)上，學(xué)生需要認(rèn)真讀題和深入觀察，借助答案所呈現(xiàn)的信息進(jìn)行思考，只有深入觀察并借助直覺思維準(zhǔn)確定位39，52，65及25，60，65分別為一組勾股數(shù)，才能得出外接圓周長為65π，故本題選A.

2. 對結(jié)構(gòu)特征的觀察

例2：如圖1，在凸四邊形ABCD中，有AB=AC=AD，∠BAD=80°，試求出∠BCD的度數(shù).

分析：在本題的探究中，一些學(xué)生難以制定準(zhǔn)確的解題策略，感到一籌莫展.實(shí)際上，此時(shí)可以不忙著答題，而是引導(dǎo)學(xué)生去觀察條件中式子的結(jié)構(gòu)，從AB=AC=AD著手，可以將A視為圓心，則有AB、AC和AD為圓A的半徑，不難得出∠DAB為圓心角，從這個(gè)現(xiàn)象中很快看出“門道”，∠BCD為280°弧所含的圓周角，則有∠BCD=■=140°.

3. 對結(jié)論特征的觀察

例3：已知P1P2=2（q1+q2），證明：方程x2+P1x+q1=0和x2+P2x+q2=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根.

分析：本題中命題結(jié)論呈現(xiàn)多種特征，要分類討論的情形太多，直接處理不太好入手，而反面只有一種情形，也就是“兩個(gè)方程都沒有實(shí)根”，從而可以通過反證法來完善解題路徑.

證明：設(shè)兩個(gè)方程都無實(shí)根，則有Δ1=P■-4q1<0，Δ2=P■-4q■<0，則Δ1+Δ2=P■+P■-4（q1+q2）<0. 據(jù)條件P1P2=2（q1+q2），可得Δ1+Δ2=P■+P■-2P1P2=（P1-P2）2<0，顯然與（P1-P2）2≥0相矛盾，則方程x2+P1x+q1=0和x2+P2x+q2=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根.

反證法的思想獨(dú)特，需要借助于直覺思維的參與，快速洞悉并形成思維路徑，同時(shí)，還可以訓(xùn)練學(xué)生逆向思維能力，有效提升思維品質(zhì).

直覺猜想，出其不意

只有全面認(rèn)識猜想與直覺之間的關(guān)聯(lián)才能準(zhǔn)確定位直覺思維在解題中的作用，從而更好地應(yīng)用. 不少學(xué)生在解題中會猜想是不是這樣的方法，或者是不是這個(gè)出發(fā)點(diǎn)，然后通過探索實(shí)踐，證實(shí)自己的猜測，從而形成解題思路和方法.通常這樣的解題過程，不僅可以更好地訓(xùn)練直覺思維，而且能提高解題能力，促進(jìn)思維發(fā)展.

1. 實(shí)驗(yàn)猜想

例4：計(jì)算■×■+1 ■的值.

分析：首先，取n=1，2，3進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并記所求值為Sn.

當(dāng)n=1時(shí)，S1=9×9+19=102;

當(dāng)n=2時(shí)，S2=99×99+199=（100-1）·（100-1）+（200-1）=1002=102×2;

當(dāng)n=3時(shí)，

S3=999×999+1999=（1000-1）·（1000-1）+（2000-1）=10002=102×3

……

從而猜想易得Sn=（10n-1）（10n-1）+2×10n-1=102n，可得Sn=102n.

從以上例題可以看出，猜想在具體解題中有著十分重要的作用，可以使不少數(shù)學(xué)題目，尤其是難于上手的數(shù)學(xué)題，通過猜想輕而易舉獲得解題思路. 而這種猜想是在直覺思維的作用中逐步培養(yǎng)起來的.

2. 條件猜想

例5：設(shè)x，y，z∈R，且各不相等，有x+■=y+■=z+■，求證：x2y2z2=1.

分析：若不能把握住條件“x，y，z∈R，且各不相等”進(jìn)行猜想，則很難找到解決本題的突破口. 事實(shí)上，通過直覺思維進(jìn)行猜想，容易想到解題過程中定會出現(xiàn)因式（x-y），（y-z），（z-x），從而根據(jù)以上因式聯(lián)想解題路徑，容易生成以下解題方法：

因?yàn)閤+■=y+■，所以x-y=■-■=■，則yz=■.

同理可得zx=■，xy=■.以上三式相乘，即可證得x2y2z2=1.

滲透思想，直達(dá)目標(biāo)

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想中最能訓(xùn)練學(xué)生直覺思維的，它借助“數(shù)”的精確來闡明“形”的屬性，或提供“形”的形象來表述“數(shù)”的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，可以化抽象為直觀，從而形成跳躍式的直覺思維，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題的目的.

例6：已知n為正實(shí)數(shù)，且a，b，c，d均為比n小的正數(shù)，求證：■+■+■+■<4n.

分析：本題若采用代數(shù)法進(jìn)行求證，學(xué)生極易思維卡殼，無法探究到解題思路.觀察本題條件，并聯(lián)想到（n-a）+a=（n-b）+b=（n-c）+c=（n-d）+d=n;與此同時(shí)，還能再聯(lián)系到“直角三角形的斜邊是左邊每個(gè)根式”的幾何意義. 在這樣的啟發(fā)下，解決本題則有了以下思考：如圖2所示，四邊形A1B1C1D1的周長與不等式左邊的幾何意義相同，有A1D=a，A1C=n-a，AB1=b，B1D=n-b，BC1=c，AC1=n-c，D1C=d，BD1=n-d. 由于四邊形A1B1C1D1的周長小于正方形ABCD的周長4n，所以■+■+■+■<4n.

圖析的過程直觀明了，借助幾何的“形”，使數(shù)學(xué)的計(jì)算脫離了形式法則與抽象定律，讓計(jì)算的每一步結(jié)果都有了顯性化的載體，賦予了每一個(gè)解題步驟合理的闡釋，解決問題的思路在幾何直觀下自然顯現(xiàn). 所以說，數(shù)形結(jié)合是一座溝通代數(shù)和幾何的橋梁，可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)部建設(shè)的直觀認(rèn)識，豐富解決問題的策略.

總之，在面向全體學(xué)生的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用直覺思維進(jìn)行思考，是一種值得提倡的策略，不僅可以提高學(xué)生的解題能力，形成數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗(yàn)，還能滿足學(xué)生終身發(fā)展的需求.在解題教學(xué)中，運(yùn)用直覺思維，首先要精心設(shè)計(jì)具有引領(lǐng)性和啟發(fā)性的典型例題，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)入深層次的思維狀態(tài)，從而自然探尋直覺解題思維策略;其次，還需引導(dǎo)學(xué)生深入觀察、直覺猜想、滲透思想，以達(dá)到舉一反三的目的;再次，還需引導(dǎo)學(xué)生形成解后反思的良好思維習(xí)慣，以達(dá)到觸類旁通之功效.