初中數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知表征

朱映紅

[摘? 要] 建模過(guò)程放在認(rèn)知的視角之下，其對(duì)應(yīng)的是：教學(xué)情境中的信息激活學(xué)生的感覺(jué)與知覺(jué)，隨后激活學(xué)生大腦中的圖式，隨著新信息的加入與聯(lián)結(jié)，會(huì)形成新的圖式，新的圖式則是所需要建立的數(shù)學(xué)模型的表征基礎(chǔ). 只要新的圖式形成，并且學(xué)生能夠用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述圖式，那數(shù)學(xué)模型的建立基本上就完成了. 這樣的思路對(duì)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)而言是非常簡(jiǎn)潔的，根據(jù)這一思路，將其與具體的教學(xué)內(nèi)容結(jié)合起來(lái)，那數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思路就會(huì)非常清晰.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;認(rèn)知表征

當(dāng)數(shù)學(xué)建模成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素之一時(shí)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)也迎來(lái)了新的思考. 固然數(shù)學(xué)建模一直是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，但是長(zhǎng)期以來(lái)一線教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解往往都停留在經(jīng)驗(yàn)層面，某種程度上講，這是一種“被迫的”選擇，因?yàn)槿粘＝虒W(xué)中由于應(yīng)試等原因，教師更多的都是經(jīng)驗(yàn)的重復(fù). 既然教育已經(jīng)來(lái)到了核心素養(yǎng)的大門(mén)之前，教師就必須努力培養(yǎng)學(xué)生的必備品格與關(guān)鍵能力，而學(xué)科教學(xué)的重心更多的落在關(guān)鍵能力上，因此很自然的就可以認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)的關(guān)鍵能力. 核心素養(yǎng)是面向?qū)W生的，因此數(shù)學(xué)建模也應(yīng)當(dāng)是面向?qū)W生的，教師超越經(jīng)驗(yàn)層面的理解，從學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程或者說(shuō)認(rèn)知過(guò)程的角度把握數(shù)學(xué)建模，就顯得非常重要. 認(rèn)知心理學(xué)是描述學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的最好理論之一，尋找初中數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知表征，可以成為教師把握數(shù)學(xué)建模的切入口.

■ 解析初中數(shù)學(xué)建模需要有認(rèn)知

視角

對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解，可以從感性與理性兩個(gè)角度進(jìn)行. 數(shù)學(xué)建模的感性認(rèn)識(shí)，可以引用愛(ài)因斯坦的一句名言：想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力包括世界的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)的源泉. 這句話最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的重大意義，這個(gè)意義體現(xiàn)在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中，具體表現(xiàn)為學(xué)生用想象力提供構(gòu)建數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的素材，同時(shí)想象力與思維力的結(jié)合，可以拓寬學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的認(rèn)識(shí). 數(shù)學(xué)建模的理性認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)在“了解數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知機(jī)制可以更好地制定數(shù)學(xué)建模的教學(xué)策略，繼而幫助中學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模的知識(shí)和方法”上. 那么認(rèn)知視角下的初中數(shù)學(xué)建模是什么樣的呢？

研究表明，在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)與思維是各成一體同時(shí)又相互對(duì)應(yīng)的：教師在創(chuàng)設(shè)情境之后，學(xué)生可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境中的信息，提取數(shù)學(xué)元素以完成數(shù)學(xué)抽象，隨后就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，這樣就得到了數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律，此時(shí)數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律就是以模型的形態(tài)存在的，隨后運(yùn)用數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律解決問(wèn)題，就可以理解為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用.

將學(xué)生的這一建模過(guò)程放在認(rèn)知的視角之下，其對(duì)應(yīng)的則是：教學(xué)情境中的信息激活學(xué)生的感覺(jué)與知覺(jué)，隨后激活學(xué)生大腦中的圖式. 現(xiàn)代認(rèn)知理論認(rèn)為，圖式（schema）是指圍繞某一主題組織起來(lái)的知識(shí)的表征和貯存方式，是認(rèn)知的建筑材料（或“組塊”），是信息加工的基本要素. 皮亞杰認(rèn)為：人的認(rèn)識(shí)的發(fā)展，不僅表現(xiàn)在知識(shí)的增加，更表現(xiàn)在認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的完善和發(fā)展，圖式的發(fā)展水平是人的認(rèn)識(shí)發(fā)展水平的重要標(biāo)志. 圖式包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是原有圖式，二是新圖式. 在激活了原有圖式之后，隨著新信息的加入與聯(lián)結(jié)，會(huì)形成新的圖式，新的圖式則是所要建立的數(shù)學(xué)模型的表征基礎(chǔ). 只要新的圖式形成，并且學(xué)生能夠用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述圖式，那數(shù)學(xué)模型的建立基本上也就完成了.

之所以強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模必須有認(rèn)知視角，是因?yàn)樽鳛閷W(xué)習(xí)規(guī)律的描述方式，認(rèn)知視角下的數(shù)學(xué)建模更能夠給教師提供模式化的思路，可以讓教師在教學(xué)的過(guò)程中，更為準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)建模的規(guī)律，從而保證其作為核心素養(yǎng)要素更好地落地.

■ 關(guān)于初中數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知表征

例析

從認(rèn)知的角度去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模，最好的辦法就是結(jié)合具體的建模教學(xué)案例來(lái)進(jìn)行，分析案例中學(xué)生數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知過(guò)程，并將其與數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知表征理論結(jié)合起來(lái)，可以讓教師更好地理解學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的認(rèn)知心理. 這里以“一元一次方程”為例來(lái)說(shuō)明.

方程的概念，初中學(xué)生并不陌生，但更多的時(shí)候只是作為一個(gè)概念，或者說(shuō)一個(gè)解題工具來(lái)理解，缺少一種模型意識(shí). 從數(shù)學(xué)建模的角度來(lái)看，這一知識(shí)的教學(xué)可以設(shè)計(jì)如下幾個(gè)環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，激活學(xué)生的已有圖式.

這個(gè)情境主要是問(wèn)題情境，如：已知甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)，沿同一平直公路向同一方向行駛，甲車(chē)的速度是70 km/h，乙車(chē)的速度是60 km/h. 如果甲車(chē)比乙車(chē)早1 h經(jīng)過(guò)B地，那么A，B兩地之間的距離是多少千米？

對(duì)于初中學(xué)生而言，第一反應(yīng)可能是列算式解決問(wèn)題. 教師可以適當(dāng)給出時(shí)間讓學(xué)生運(yùn)用一下這個(gè)方法，以激活原有的圖式. 很多時(shí)候教師認(rèn)為算術(shù)方法與方程方法沒(méi)有直接的聯(lián)系，從學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)生的角度來(lái)看，這樣的觀點(diǎn)是值得商榷的，因?yàn)榉匠谭椒ǖ男纬桑荒芤栽兄R(shí)為基礎(chǔ)而不可能憑空產(chǎn)生，因此在這里先激活學(xué)生的算術(shù)圖式非常必要. 實(shí)際上學(xué)生大腦當(dāng)中的算術(shù)圖式如果是清晰的，那就可以為后面方程圖式的形成奠定基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)二：數(shù)學(xué)抽象，促進(jìn)學(xué)生生成新的圖式.

引導(dǎo)學(xué)生從方程的視角思考這個(gè)問(wèn)題的解決，學(xué)生最直接的想法應(yīng)當(dāng)是：設(shè)所求的量為x. 但這只是新的圖式的第一步，梳理出邏輯關(guān)系，并建立起方程，才是新圖式形成的標(biāo)志.

根據(jù)題目中給出的信息，可先將甲、乙兩車(chē)的行駛時(shí)間分別表示出來(lái)，即■與■，然后得出■-■=1這樣一個(gè)關(guān)系式，于是一元一次方程也就出現(xiàn)了.

環(huán)節(jié)三：數(shù)學(xué)表征，引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)模型.

這個(gè)時(shí)候出現(xiàn)的一元一次方程，在學(xué)生的思維當(dāng)中，還不能算是一個(gè)模型，至少學(xué)生此時(shí)沒(méi)有形成模型意識(shí). 于是教師要引導(dǎo)學(xué)生去表征這個(gè)方程，具體可以讓學(xué)生回答這樣幾個(gè)問(wèn)題：這一等式有什么特點(diǎn)？它在解決問(wèn)題的時(shí)候有哪些好處？類似的有無(wú)運(yùn)用這個(gè)方法解決問(wèn)題的情形？

這些問(wèn)題的回答可以讓學(xué)生在小組合作交流的過(guò)程中進(jìn)行，而學(xué)生討論的過(guò)程，實(shí)際上就是圍繞這個(gè)等式進(jìn)行思考，然后上升為“可以運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題”的認(rèn)識(shí). 其后教師在引導(dǎo)學(xué)生從未知數(shù)的個(gè)數(shù)與次數(shù)的角度進(jìn)行表征，這樣就得出了“一元一次方程”這個(gè)模型.

在上面的過(guò)程中，情境刺激了學(xué)生的知覺(jué)，可以讓學(xué)生的知覺(jué)順利啟動(dòng)，從而也就保證了算術(shù)圖式的激活. 學(xué)生將方程思路與算術(shù)思路進(jìn)行比較，一般可以發(fā)現(xiàn)方程思路的優(yōu)點(diǎn)，從而在建立等量關(guān)系的時(shí)候進(jìn)行有傾向的選擇，這種心理傾向，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到方程思路是問(wèn)題解決的更好辦法. 其后，對(duì)“一元一次方程”的精加工使得學(xué)生從“元”與“次”上建立了對(duì)一元一次方程的理解，而且進(jìn)行了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表征，這樣一元一次方程作為一個(gè)模型就更加成熟.

■ 數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知表征是傳統(tǒng)的

創(chuàng)新

在對(duì)類似于上述案例進(jìn)行分析與綜合的基礎(chǔ)之上，再去認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行認(rèn)知表征的價(jià)值，可以發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要想辦法讓學(xué)生的知覺(jué)順利啟動(dòng)，然后激活學(xué)生原有的圖式（能夠?yàn)樾聢D式的形成提供支撐作用的圖式），再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征圖式，就可以形成模型認(rèn)識(shí). 這樣的思路對(duì)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)而言是非常簡(jiǎn)潔的，根據(jù)這一思路，將其與具體的教學(xué)內(nèi)容結(jié)合起來(lái)，那數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思路就會(huì)變得非常清晰.

從這個(gè)角度來(lái)看，數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知表征實(shí)際上是為教師提供了一種模式化教學(xué)的思路，這無(wú)論是對(duì)初上講臺(tái)的教師而言，還是對(duì)致力于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的老教師而言，可能都具有一定的啟發(fā)作用. 本質(zhì)上，初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)就是把生活、生產(chǎn)中的具體案例轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，并在建模過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力的過(guò)程. 對(duì)于初中一線教師而言，并不缺乏教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，需要努力的就是將自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)理論結(jié)合起來(lái)，對(duì)數(shù)學(xué)建模而言就是將學(xué)生建模的隱性過(guò)程，用認(rèn)知理論來(lái)表述、解釋，從而形成顯性的教學(xué)思路，這是一個(gè)超越經(jīng)驗(yàn)、走向智慧的過(guò)程，也是一個(gè)超越傳統(tǒng)、走向創(chuàng)新的過(guò)程. 無(wú)論是對(duì)教師自身的專業(yè)成長(zhǎng)而言，還是對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的目的而言，這樣的超越都是有意義的.

當(dāng)然從認(rèn)知的角度去表征數(shù)學(xué)建模，對(duì)于一線教師而言還是個(gè)不小的挑戰(zhàn)，筆者所做的努力也只是一點(diǎn)皮毛，無(wú)論是理論理解還是實(shí)踐解釋方面可能都存在疏漏，這一點(diǎn)還請(qǐng)同行批評(píng)指正.