在變式探究中培育幾何直觀素養(yǎng)

溫暉

[摘? 要] 培育初中生的幾何直觀素養(yǎng)是值得探討的課題. 數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)應(yīng)該實現(xiàn)復(fù)習(xí)課的育人功能，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)自我效能感. 變式探究是培育學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)的有效方式. “數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題”是培育學(xué)生幾何直觀能力的重要載體.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);幾何直觀;變式探究;章節(jié)復(fù)習(xí);兩點(diǎn)距離

如何培育初中學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.”[1]

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)不是課本知識的簡單重復(fù)，應(yīng)該梳理知識形成能力，實現(xiàn)復(fù)習(xí)課的育人功能，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)自我效能感，著力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 變式探究是培育學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)的有效方式. 數(shù)軸是培養(yǎng)初中生幾何直觀的第一個核心概念. 本文以“數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題”的章節(jié)復(fù)習(xí)為例，分享筆者的實踐與思考.

教學(xué)設(shè)計

案例? 數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題

1. 教學(xué)內(nèi)容解析

教材地位：數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的核心概念. 《標(biāo)準(zhǔn)》要求：“能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，能比較有理數(shù)的大小.”“借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，掌握求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值的方法，知道|a|的含義（這里a表示有理數(shù)）.”

數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題涉及數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，具有一定的綜合性. 解決問題，要求學(xué)生利用數(shù)軸的幾何直觀，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法. 因此，數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要載體.

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題.

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題.

2. 學(xué)生學(xué)情分析

從知識基礎(chǔ)來看，剛?cè)氤跻坏膶W(xué)生在“有理數(shù)”一章（《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)》 〈人教版〉七年級上冊）的新課學(xué)習(xí)中，對用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)已有初步認(rèn)識，知道相反數(shù)與絕對值的幾何意義，能用數(shù)軸上點(diǎn)的移動解釋有理數(shù)加減運(yùn)算的結(jié)果，但利用數(shù)軸的幾何直觀處理相關(guān)問題的能力尚待進(jìn)一步提升.

從思維基礎(chǔ)來看，剛?cè)氤跻坏膶W(xué)生解決數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題是有困難的，主要表現(xiàn)在三個方面：一是問題表征有困難，這類問題需要學(xué)生選擇合適的表征形式去審清題意;二是方法選擇有困難，這類問題需要學(xué)生選擇數(shù)形結(jié)合去解決問題;三是分類討論有困難，這類問題中表示數(shù)的點(diǎn)的位置往往不確定，容易出現(xiàn)“對而不全”.

3. 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（1）通過數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題的復(fù)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值和有理數(shù)加減運(yùn)算法則的深刻理解.

（2）通過數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題的復(fù)習(xí)，進(jìn)一步提升學(xué)生的幾何直觀能力.

4. 教學(xué)策略選擇

本節(jié)課主要采用問題驅(qū)動策略和變式探究策略.

5. 教學(xué)過程設(shè)計

在設(shè)計理念上，基于“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程理念，基于數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)定位，在章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)中尋找發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方式和方法. 為此，在“有理數(shù)”章節(jié)復(fù)習(xí)中，筆者選擇數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題，力圖培育學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

在課堂操作上，本節(jié)課采用如下操作程序：復(fù)習(xí)回顧——變式探究——反饋評價——總結(jié)提煉——布置作業(yè).

教學(xué)環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)回顧

將復(fù)習(xí)內(nèi)容問題化，用4個問題引領(lǐng)學(xué)生回顧所學(xué)知識.

問題1：數(shù)軸與普通直線有何不同？怎樣用數(shù)軸表示有理數(shù)？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)軸的三要素.

問題2：設(shè)a為正數(shù)，怎樣用數(shù)軸表示-a？a與-a有何關(guān)系？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)相反數(shù)的概念，用數(shù)軸解釋一個數(shù)的相反數(shù).

問題3：設(shè)a為有理數(shù)，怎樣理解a？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)絕對值的概念，從代數(shù)與幾何兩個角度表征絕對值.

問題4：在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示數(shù)-2，3，能求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離嗎？（依據(jù)《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)》〈人教版〉七年級上冊第24頁“探究”改編）

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生計算數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，幫助學(xué)生利用有理數(shù)的減法或數(shù)軸上點(diǎn)的左右移動解決問題，為變式探究提供先行組織者.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：變式探究

變式1：在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b，則點(diǎn)A，B之間的距離AB=______（用含a，b的式子表示）.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生一般化，建構(gòu)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式.

變式2：在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)-2，點(diǎn)B表示數(shù)b，若點(diǎn)A，B之間的距離AB=5，則b=______.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，固化數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題的解決方法.

變式3：數(shù)軸上點(diǎn)M，N表示的數(shù)分別為-50，20，點(diǎn)P表示的數(shù)為x. 如果點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等，那么x的值是______.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生化歸轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合.

變式4：數(shù)軸上點(diǎn)M，N表示的數(shù)分別為-50，20，點(diǎn)P表示的數(shù)為x. 是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離之和是80？若存在，求x的值;若不存在，請說明理由.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生類比遷移，學(xué)會講清道理.

問題5：比較變式2、變式3、變式4中的已知條件和解題目標(biāo)，有何發(fā)現(xiàn)？反思變式2、變式3、變式4的解題過程，有何感悟？

設(shè)計意圖：引領(lǐng)學(xué)生解題反思，認(rèn)識數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題的結(jié)構(gòu)特征，積累解題經(jīng)驗.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：反饋評價

（1）（2017年廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)卷第1題）如圖1，數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)B表示的數(shù)為（ ? ?）

A. -6 ? ? ? ? ?B. 6

C. 0 ? ? ? ?D. 無法確定

（2）在數(shù)軸上，點(diǎn)A向左移動2個單位長度到達(dá)點(diǎn)B，再向右移動5個單位長度到達(dá)點(diǎn)C. 若點(diǎn)C表示的數(shù)為1，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（ ? ）.

A. 7B. 3C. -3 D. -2

（3）數(shù)軸上表示數(shù)-14和表示數(shù)5的兩點(diǎn)之間的距離為______.

（4）已知x為整數(shù)，且-2

設(shè)計意圖：引領(lǐng)學(xué)生自我評價.

教學(xué)環(huán)節(jié)4：總結(jié)提煉

問題6：本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么，同學(xué)們有何感悟？

設(shè)計意圖：引領(lǐng)學(xué)生歸納總結(jié)，提煉數(shù)學(xué)思想方法.

教學(xué)環(huán)節(jié)5：布置作業(yè)

（1）綜合運(yùn)用：七年級數(shù)學(xué)上冊第51頁第2題;七年級數(shù)學(xué)上冊第52頁第10題.

（2）拓廣探索：數(shù)軸上點(diǎn)M，N表示的數(shù)分別為-50，20，點(diǎn)P表示的數(shù)為x. 若點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N、點(diǎn)O（原點(diǎn)）的距離之和是80，求x的值.

設(shè)計意圖：引領(lǐng)學(xué)生變式訓(xùn)練，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化和分類討論等思想方法.

教學(xué)實錄

教學(xué)片段1：變式探究

師：將問題4一般化，可得變式1.（投影）

變式1：在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b，則點(diǎn)A，B之間的距離AB=______（用含a，b的式子表示）.

生1：AB=a-b.

生2：AB=b-a.

師：正確！為何有兩個表達(dá)式？

生3：因為a-b和b-a互為相反數(shù)，所以它們的絕對值相等.

師：深刻！a-b的幾何意義是什么？

生4：a-b是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到表示數(shù)b的點(diǎn)之間的距離.

師：類似地，a+b是數(shù)軸上哪兩個點(diǎn)之間的距離？

生5：a+b是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到表示數(shù)-b的點(diǎn)之間的距離.

生6：a+b是數(shù)軸上表示數(shù)b的點(diǎn)到表示數(shù)-a的點(diǎn)之間的距離.

師：很好！下面交換問題4的條件與結(jié)論，可得變式2.（投影）

變式2：在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)-2，點(diǎn)B表示數(shù)b，若點(diǎn)A，B之間的距離AB=5，則b=______.

學(xué)生獨(dú)立思考后作答.

生7：b=3.

師：確定嗎？點(diǎn)B在數(shù)軸上的位置確定嗎？

生7：應(yīng)該是b=-7或b=3. 因為AB=5，點(diǎn)B的位置不確定，所以點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊或右邊，所以b的值為-2-5=-7或者-2+5=3.

師：正確！點(diǎn)A把數(shù)軸分成了左、右兩部分，點(diǎn)B落在哪個部分不確定，需要分類討論！

師：將變式2中的已知條件稍作變更，可得變式3. （投影）

變式3：數(shù)軸上點(diǎn)M，N表示的數(shù)分別為-50，20，點(diǎn)P表示的數(shù)為x. 如果點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等，那么x的值是______.

師：能畫數(shù)軸示意圖表示已知條件嗎？哪位同學(xué)來畫一下.

生8主動在黑板上畫圖，但畫好后又擦掉了.

師：你已畫了3次，但都擦掉了，有何疑惑？

生8：我不知道要不要標(biāo)注單位長度.

師：注意到單位長度，非常好！你覺得有必要把所有單位長度標(biāo)出來嗎？

生9：沒有必要，因為只畫示意圖，把點(diǎn)的相對位置表示清楚就可以了.

在黑板上畫圖的學(xué)生還是猶猶豫豫，教師請生9協(xié)助生8畫圖，得到了如下示意圖（圖2）：

緊接著，生9講道理.

生9：因為MN的長度為70，除以2得到35，所以把點(diǎn)M向右平移35個單位長度，可得點(diǎn)P表示的數(shù)為-15.

師：為什么取70的一半？為何把點(diǎn)M向右平移？移動點(diǎn)N怎樣？

生9：因為數(shù)軸上點(diǎn)P滿足PM=PN，所以點(diǎn)P一定在點(diǎn)M、點(diǎn)N的中間位置，所以PM=MN=35. 把點(diǎn)M向右平移35個單位長度，可得點(diǎn)P表示的數(shù)為-15.

生10：把點(diǎn)N向左平移35個單位長度，也可得點(diǎn)P表示的數(shù)為-15.

師：非常棒！伸出你的雙手.

全班學(xué)生熱烈鼓掌.

師：停！將變式3中的已知條件再作變更，可得變式4.（投影）

變式4：數(shù)軸上點(diǎn)M，N表示的數(shù)分別為-50，20，點(diǎn)P表示的數(shù)為x. 是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離之和是80？若存在，求x的值;若不存在，請說明理由.

師：類比變式3的解法，能解決變式4嗎？

生眾：應(yīng)該可以.

學(xué)生動筆畫數(shù)軸示意圖.

教師巡堂后，請學(xué)生11在黑板上畫出如下示意圖（圖3、圖4）：

師：你為何畫了兩個示意圖？

生11：點(diǎn)P的位置不確定. 由于PM+PN=80，MN=70，所以點(diǎn)P不可能落在線段MN上，只能落在線段MN之外.

師：很好！點(diǎn)M和點(diǎn)N把數(shù)軸分成了三個區(qū)域，先確定點(diǎn)P落在哪個區(qū)域. 由示意圖知，點(diǎn)P在點(diǎn)M的左邊，或者點(diǎn)P在點(diǎn)N的右邊，能求得點(diǎn)P表示的數(shù)嗎？

生12：點(diǎn)P表示的數(shù)為-55或者25.

師：為什么？能講清道理嗎？

生12：因為PM+PN=80，MN=70，所以點(diǎn)P在點(diǎn)M的左邊，或者點(diǎn)P在點(diǎn)N的右邊.

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的左邊時，如圖3，由PM+PN=PM+PM+MN=80，得PM=5，所以點(diǎn)P表示的數(shù)為-50-5=-55.

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右邊時，如圖4，由PM+PN=MN+PN+PN=80，得PN=5，所以點(diǎn)P表示的數(shù)為20+5=25.

師：非常棒！掌聲響起來.

全班學(xué)生熱烈鼓掌.

師：停！這是一道存在性問題，怎樣作答？

生眾：數(shù)軸上存在點(diǎn)P，使PM+PN=80，點(diǎn)P表示的數(shù)為-55或者25.

師：正確！接下來，請思考問題5（投影）：

問題7：比較變式2、變式3、變式4中的已知條件和解題目標(biāo)，有何發(fā)現(xiàn)？反思變式2、變式3、變式4的解題過程，有何感悟？

生13：變式2給出數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，已知一個點(diǎn)表示的數(shù)，求另一個點(diǎn)表示的數(shù).

生14：變式3給出數(shù)軸上點(diǎn)到兩個點(diǎn)之間的距離相等，已知兩個點(diǎn)表示的數(shù)，求另一個點(diǎn)表示的數(shù).

生15：變式4給出數(shù)軸上點(diǎn)到兩個點(diǎn)之間的距離之和，已知兩個點(diǎn)表示的數(shù)，求另一個點(diǎn)表示的數(shù).

師：變式2、變式3、變式4都是數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題.

生16：變式2、變式3、變式4的解題過程都是先畫數(shù)軸示意圖，再求點(diǎn)表示的數(shù).

生17：變式3、變式4的解題過程都是先轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離，再求點(diǎn)表示的數(shù).

師：求解數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題要注重數(shù)形結(jié)合、分類討論.

教學(xué)片段2：總結(jié)提煉

師：（投影問題6）本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？有何感悟？

生18：學(xué)習(xí)了“數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題”.

生眾：求解“數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題”，要注重數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化.

師：數(shù)軸是初中學(xué)習(xí)的第一個數(shù)形結(jié)合模型，同學(xué)們要學(xué)會用數(shù)軸處理問題！正如數(shù)學(xué)家華羅庚所說，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.

教學(xué)反思

“數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題”的復(fù)習(xí)教學(xué)，注重發(fā)揮數(shù)軸的幾何直觀作用，學(xué)生經(jīng)歷了解決問題的過程，在變式探究中提升了初一學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng). 主要亮點(diǎn)如下：

1. 注重問題引領(lǐng)

本節(jié)課以6個問題引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，較好地體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用. 問題1、問題2、問題3將復(fù)習(xí)內(nèi)容問題化，有利于學(xué)生回顧所學(xué)知識;問題4引導(dǎo)學(xué)生計算數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，幫助學(xué)生利用有理數(shù)的減法或數(shù)軸上點(diǎn)的左右移動解決問題，為變式探究提供先行組織者;問題5引導(dǎo)學(xué)生解題反思，旨在引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識變式問題的結(jié)構(gòu)特征;問題6旨在引領(lǐng)學(xué)生積累解題經(jīng)驗. 在處理這6個問題中，學(xué)生較好地彰顯了主體地位. “問題引領(lǐng)”正是數(shù)學(xué)教學(xué)實現(xiàn)學(xué)生與教師“雙中心”的一個十分有效的手段[2].

2. 注重變式探究

變式探究是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效方式. 本節(jié)課用變式1、變式2、變式3和變式4引領(lǐng)學(xué)生變式探究. 變式1基于問題4的一般化，建構(gòu)了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離與兩個數(shù)差的絕對值的聯(lián)系;變式2基于問題4的逆向探求，固化了解決數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問題的方法，強(qiáng)化了學(xué)生對有理數(shù)減法的幾何表征，學(xué)生認(rèn)識到分類討論的重要性;變式3基于變式2條件的變更，引領(lǐng)學(xué)生化歸轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化了數(shù)軸的直觀作用;變式4基于變式3的解題經(jīng)驗，旨在促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會類比遷移. 這樣的變式探究對培育學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)是富有成效的.

3. 注重講清道理

初中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重數(shù)學(xué)思考，特別是在突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的過程中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生講清道理. 例如，本節(jié)課中的變式3是教學(xué)重點(diǎn). 在變式3的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了處理“數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離問題”的思考過程. 首先，引導(dǎo)學(xué)生畫出表示PM=PN的示意圖并講清道理;其次，引導(dǎo)學(xué)生將PM=PN轉(zhuǎn)化為PM=35，從而解決問題.

又如，變式4是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)（也是教學(xué)重點(diǎn)）. 在變式4的教學(xué)中，用啟發(fā)性提示語——“類比變式3的解法，能解決變式4嗎”，引領(lǐng)類比遷移，讓學(xué)生主動建構(gòu)解決問題的方法. 首先，讓學(xué)生畫數(shù)軸示意圖，學(xué)生在畫數(shù)軸示意圖中感悟分類討論思想;其次，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生將題設(shè)條件PM+PN=80轉(zhuǎn)化為PM=5或PN=5;最后，引導(dǎo)學(xué)生講清道理，從而解決問題.

4. 注重提高學(xué)生的自我效能感

初中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重提高學(xué)生的自我效能感. 研究表明，數(shù)學(xué)自我效能感是影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平的重要心理因素，數(shù)學(xué)自我效能感水平與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平呈正相關(guān)[3]. 在數(shù)學(xué)課堂中，數(shù)學(xué)自我效能感水平較高的學(xué)生，積極參與數(shù)學(xué)活動，自主探究問題，自我評價意識較強(qiáng)，善于反思提煉. 具有較高的數(shù)學(xué)自我效能感對于學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常有幫助的. 因此，為了增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)自我效能感，在課堂教學(xué)中教師要鼓勵學(xué)生積極參與、自主糾錯、主動建構(gòu)，要引導(dǎo)學(xué)生回顧反思、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，要強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機(jī)，要讓學(xué)生體驗到學(xué)習(xí)成功的快樂.

幾何直觀是初中數(shù)學(xué)教學(xué)要著力培養(yǎng)的核心素養(yǎng)之一，培育學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)是值得深入探究的課題.

參考文獻(xiàn)：

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[2]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育的“問題導(dǎo)向”（續(xù)）[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（11）.

[3]孫思雨，朱雁. 初中生數(shù)學(xué)自我效能感及其校準(zhǔn)性的調(diào)查研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（06）.