淺談對數(shù)學(xué)統(tǒng)一美的探索與運(yùn)用

錢美芹

[摘? 要] 面對新課程改革的挑戰(zhàn)，教師需善于挖掘數(shù)學(xué)本身所特有的美，以數(shù)學(xué)美去感染和啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生從靈感和頓悟中深刻感受到數(shù)學(xué)之美. 數(shù)學(xué)美包括多個方面，文章著重結(jié)合實(shí)例，從數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)結(jié)論、研究過程等方面，談?wù)勱P(guān)于數(shù)學(xué)統(tǒng)一美的一些淺顯的見識.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)方法;數(shù)學(xué)結(jié)論;研究過程;統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)具有抽象性的特征，不少學(xué)生感受不到數(shù)學(xué)的美，可以體驗(yàn)到的是它的枯燥無味. 事實(shí)上，世界上缺乏的不是美，而是對美的鑒賞. 數(shù)學(xué)學(xué)科不僅孕育著前人對生活中奧秘的探究，還蘊(yùn)含著人類觀察社會的心智和對美的不斷追求. 數(shù)學(xué)的美無處不在，如抽象美、對稱美、符號美等，這些多姿多彩的美和諧建構(gòu)為一個統(tǒng)一體，因此，統(tǒng)一是數(shù)學(xué)的本質(zhì)和歸宿. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)和藝術(shù)的眼光觀察和發(fā)現(xiàn)，充分挖掘其中的數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，點(diǎn)燃熱愛數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)和綜合素質(zhì)，以實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的有效踐行. 本文對挖掘蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)教與學(xué)過程中的統(tǒng)一美這一命題進(jìn)行分析和探究，結(jié)合教學(xué)片段談?wù)勛陨淼囊稽c(diǎn)拙見.

數(shù)學(xué)方法的和諧與統(tǒng)一

在浩瀚無邊的數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)常用的解題方法多種多樣，如消元法、圖像法、代入法等，它們都是十分重要的解題方法，同時有著廣泛的應(yīng)用性. 當(dāng)然，對于具體數(shù)學(xué)問題的解決可以有特殊的解決方法，而對于一類數(shù)學(xué)問題，則更強(qiáng)調(diào)的是通法，通過數(shù)學(xué)方法的和諧與統(tǒng)一，達(dá)到以一法通一類的效果，如，我們可以通過消元法將兩元或兩元以上的方程問題轉(zhuǎn)化為一元方程問題進(jìn)行解決. 讓學(xué)生掌握解決這一類問題的方法，從而找到打開這一類問題大門的“鑰匙”，形成一類問題的解題思路，真正做到心中有數(shù)地學(xué)習(xí). 同時，教師還需關(guān)注到一題多解的訓(xùn)練，以此激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題思路中的統(tǒng)一性，不僅有助于探尋到多個不同的解題思路和方法，感受到數(shù)學(xué)方法的和諧與統(tǒng)一，還有利于學(xué)生的思維從發(fā)散向著創(chuàng)新推進(jìn)，富有個性地解決數(shù)學(xué)問題.

案例1？搖 如圖1，請?jiān)囍?jì)算五邊形ABCDE的內(nèi)角和.

學(xué)生經(jīng)過思考，形成了以下多種多樣的解法：

方法1：如圖2所示，可將這個五邊形劃分為三個三角形，進(jìn)而計(jì)算出內(nèi)角和為540°;

方法2：如圖3所示，在該五邊形內(nèi)任意取一點(diǎn)O，即可將五邊形劃分為五個三角形，進(jìn)一步求和即可得出內(nèi)角和為540°;

方法3：如圖4所示，在該五邊形的一條邊AB上取任意的一點(diǎn)P，即可將其劃分為四個三角形，進(jìn)一步求和即可得出內(nèi)角和為540°.

通過以上3種解法，學(xué)生進(jìn)一步歸納和概括得出以下統(tǒng)一特征：①均轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和進(jìn)一步求解;②均通過頂點(diǎn)與其他點(diǎn)的連接來解決. 通過以上的概括，教師還可以提出以下高質(zhì)量的問題：若這一任意一點(diǎn)在該五邊形外側(cè)，那是否一樣可以求出該五邊形的內(nèi)角和呢？通過高階思維的引領(lǐng)，使其成為培養(yǎng)學(xué)生理性精神和創(chuàng)新能力的催化劑，讓學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中感受數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)一美.

評注? 在解決一道數(shù)學(xué)問題時，往往有著各種各樣的數(shù)學(xué)方法，這些方法之間又都具有一定的統(tǒng)一性. 上例中的一題多解就是方法統(tǒng)一性與多樣性的體現(xiàn)，讓學(xué)生通過探究得到解決問題的多個路徑，并對具體方法進(jìn)行概括和總結(jié)，幫助學(xué)生真正理解問題本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)思維的鍛煉和深化，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，這樣的思維過程遠(yuǎn)比教師直接灌輸而獲得的能力更重要.

數(shù)學(xué)結(jié)論的和諧與統(tǒng)一

和諧與統(tǒng)一是數(shù)學(xué)美的最高境界. 若將數(shù)學(xué)比作一座金碧輝煌的宮殿，那統(tǒng)一美就是這座宮殿的建筑特色，不管是從其局部還是從整體入手觀察，都可以感受到它的渾然一體和相互呼應(yīng)的美感. 在自然科學(xué)中，人們一直都未停止過對統(tǒng)一結(jié)論的追求，這對于數(shù)學(xué)學(xué)科來說更是顯而易見的. 結(jié)論的統(tǒng)一是數(shù)學(xué)家們從未放棄的追求，數(shù)學(xué)中的公式和定理皆是一類問題的統(tǒng)一結(jié)論，更是對其高度的總結(jié)和概括，如，在數(shù)的概念中，從自然數(shù)延伸到無理數(shù)，再生長到復(fù)數(shù)，數(shù)的概念的研究不斷擴(kuò)充，不斷延伸，從而進(jìn)行統(tǒng)一的概念性規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.

案例2？搖 從定理“平行四邊形的對角線相互平行”延展談起.

問題1：圖5中共有多少條不同的線段？

問題2：圖6中一共有多少個小于180°的不同角？

問題3：足球場上一共有n支足球隊(duì)在比賽，采用的是單循環(huán)制，那么共需比賽的場數(shù)是多少？

問題4：一大型聚會共有n人參加，見面后每兩個人都需握手一次，那么一共需握手的次數(shù)是多少？

......

評注? 觀察以上問題，不難看出這些問題的背景皆不相同，內(nèi)容也毫無關(guān)聯(lián)，但均有著驚人的統(tǒng)一——結(jié)論的統(tǒng)一，也就是■. 課堂教學(xué)是師生交流和生生互動的場所，若是教師能有意識地挖掘，在教學(xué)中靈活巧妙地安排好每一個教學(xué)環(huán)節(jié)，指導(dǎo)好學(xué)生的歸納和理解，就能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)理解的層面上感受到數(shù)學(xué)的魅力，真正意義上感受到美的熏陶，進(jìn)而感受到數(shù)學(xué)帶來的趣味性和美的享受，讓學(xué)生在美的熏陶中學(xué)好數(shù)學(xué).

研究過程的和諧與統(tǒng)一

數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美不僅強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)結(jié)論的統(tǒng)一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中還應(yīng)著力剖析數(shù)學(xué)研究過程的和諧與統(tǒng)一，如一些幾何圖形的研究過程都需經(jīng)歷“定義—性質(zhì)—識別—應(yīng)用”的研究階段. 解題過程中的統(tǒng)一美從未停止過，在理解中感受解題過程的統(tǒng)一性，可以進(jìn)一步優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升關(guān)鍵性能力.

案例3? 如圖7，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（10，0）. 以O(shè)A為直徑，在第一象限內(nèi)作半圓，且點(diǎn)B為該半圓的圓周上的一動點(diǎn)，連接OB，AB，并延長AB至點(diǎn)D，使得DB=AB. 再過點(diǎn)D作x軸的垂線，與x軸和直線OB分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，E為垂足，連接CF.

（1）當(dāng)∠AOB=30°時，試求出弧AB的長度.

（2）當(dāng)DE=8時，試求出線段EF的長.

（3）隨著點(diǎn)B的不斷運(yùn)動，是否存在以點(diǎn)E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形相似于△AOB？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，請闡明原因.

解：（1）略

（2）①如圖8，當(dāng)交點(diǎn)E在A，C之間時，連接OD.

因?yàn)镈B=AB，OB⊥AD，所以O(shè)A=OD=10.

又DE=8，所以O(shè)E=6，所以AE=4.

又△FOE～△ADE，所以EF ∶ AE=OE ∶ DE，從而解得EF=3.

②如圖9，當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O左側(cè)時，連接OD.

因?yàn)镈B=AB，OB⊥AD，所以O(shè)A=OD=10.

又DE=8，所以O(shè)E=6，所以AE=16.

又△FOE～△ADE，所以EF ∶ AE=OE ∶ DE，從而解得EF=12.

（3）略.

評注? 從上述解題過程可以看出，盡管第（2）問中的兩種情形在圖形和結(jié)論上都表現(xiàn)出較大的差異性，但在解題過程中卻能做到基本統(tǒng)一，讓學(xué)生在感受統(tǒng)一性的同時，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的突破.

伽利略曾說過：數(shù)學(xué)總是美的，數(shù)學(xué)是美的科學(xué). 數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美可以消除學(xué)生枯燥乏味的成見，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是一個五彩斑斕的美的世界. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美不僅表現(xiàn)在以上三個方面，而且存在于教學(xué)的多個環(huán)節(jié)之中，需要我們廣大數(shù)學(xué)教師融合藝術(shù)與數(shù)學(xué)進(jìn)行挖掘與提煉，建構(gòu)學(xué)生崇尚真理的情感與精神力量，使其感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力，由此才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的價(jià)值.