對一道融合拋物線的動點幾何問題的探究

江 田

[摘? 要] 研讀全國各地中考試題，以函數(shù)為背景的動態(tài)幾何問題常作為壓軸題出現(xiàn)，能夠突出考查學(xué)生對概念、思想方法和知識綜合的掌握情況，文章對一道融合拋物線的動態(tài)幾何問題進(jìn)行思路探索，總結(jié)歸納該類問題的解法策略，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;動點;動態(tài)幾何;靜態(tài);轉(zhuǎn)化;變式

問題引入

近幾年中考壓軸題逐步向數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、知識探究等方向發(fā)展，其中以拋物線為背景融合動態(tài)幾何是命題的熱點. 除了需要學(xué)生掌握常用的分析方法，具備相應(yīng)的推理能力外，還需具有一定的空間觀念，能夠在“運動”與“靜態(tài)”視角中自如切換，下面進(jìn)行深入探究.

引例呈現(xiàn)

例題? 直線l的解析式為y=-x+3，與x軸的交點為A，與y軸的交點為B，拋物線y=-x2+2mx-3m的頂點為D，并經(jīng)過點A，與x軸的另一交點為C，現(xiàn)連接BD，AD和CD，如圖1所示.

（1）試求拋物線的解析式以及點A，C，D的坐標(biāo);

（2）設(shè)點P以每秒2個單位長度的速度，沿著BD，從點B向點D運動，同一時間點Q以每秒3個單位長度的速度，沿著CA，從點C向點A運動，而當(dāng)其中一點達(dá)到終點停止運動時，另一點也立即停止運動. 設(shè)運動過程中的時間為t秒，PQ與線段AD的交點為E，回答下列問題.

①試求當(dāng)∠DPE=∠CAD時t的值;

②過點E作BD的垂線，垂足為點M，再過點P作PN⊥BD，交線段AB或者AD于點N，試求當(dāng)PN=EM時t的值.

思路探索

本題為以拋物線為背景的雙動點幾何問題，主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用與幾何性質(zhì). 設(shè)問分為兩個小問，下面對其解題思路進(jìn)行探索.

1. 待定系數(shù)求式

第（1）問屬于基礎(chǔ)問題，并不涉及動點分析，只需要求出其中點A和點B的坐標(biāo)，然后將點A坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出m的值，進(jìn)而推知點C和D的坐標(biāo).

點A和B是直線l與坐標(biāo)軸的交點，直線l的解析式為y=-x+3，則可以求得點A（2，0），B（0，3）. 將點A的坐標(biāo)代入y=-x2+2mx-3m中，從而可解得m=3，所以拋物線的解析式為y=-x2+6x-9，對其變形可得y=-（x-4）2+3，則點D（4，3），點C（6，0）.

評析? 求拋物線的解析式和交點坐標(biāo)相對簡單，但需要強調(diào)的是要確保答案準(zhǔn)確，因此求出結(jié)果后需要對其進(jìn)行驗證，這也是確保后面兩小問正確解答的條件，可以采用交點法或兩根法來加以驗證.

2. 化“動”為“靜”求解

第（2）問分為兩個小問，其中引入了動點P和Q，隨著兩點的運動，直線PQ的斜率也會發(fā)生變化，設(shè)問均與幾何圖形有關(guān)，因此需要聯(lián)系幾何性質(zhì)來探索. 但突破的關(guān)鍵依然是合理進(jìn)行“動”與“靜”的視角轉(zhuǎn)化，找到幾何元素與動態(tài)條件之間的關(guān)聯(lián).

第①問解析：該問求∠DPE=∠CAD時t的值，其中的動態(tài)條件是時間t，可以聯(lián)合運動速度來構(gòu)建關(guān)于線段長的函數(shù)，即BP=2t，CQ=3t，從而完成動態(tài)條件的靜態(tài)轉(zhuǎn)化. 后續(xù)求解時只需要建立等角與等線之間的關(guān)系即可.

由第（1）問可知BD=AC=4，根據(jù)題意可知0≤3t≤4，解得0≤t≤. 由于點B（0，3），D（4，3），則BD∥OC，由平行線的性質(zhì)可得∠CAD=∠ADB，當(dāng)∠DPE=∠CAD時有∠DPE=∠ADB. 由點A，B和D的坐標(biāo)可得AB=AD=，所以∠DPE=∠ABD（等邊對等角），則PQ∥AB，從而可知四邊形ABPQ為平行四邊形，必然有AQ=BP，即2t=4-3t，可解得t=，所以當(dāng)∠DPE=∠CAD時t的值為.

評析? 該問是分析等角與時間t之間的關(guān)聯(lián)，上述分析動態(tài)元素時引入了與時間t相關(guān)的線段函數(shù)，這是利用了函數(shù)的動態(tài)特性，將問題轉(zhuǎn)化為分析等角與線段長之間的關(guān)聯(lián)，從而有利于幾何特性的介入.

第②問解析：該問構(gòu)建了兩條垂直線段，需要注意的是：隨著點P的運動，點N的位置會發(fā)生變化，其可能位于線段AB上，也可能位于線段AD上，因此需要對兩種情形加以討論. 聯(lián)系點A，D和點P的運動速度可知，當(dāng)0≤2t≤2時，點N位于AB上;當(dāng)2<2t≤4時，點N位于AD上. 后續(xù)只需要結(jié)合條件PN=EM以及幾何性質(zhì)來構(gòu)建關(guān)于時間t的方程即可.

（i）當(dāng)N位于AB上時，0≤2t≤2，解得0≤t≤1. 連接NE，分別延長PN和ME，與x軸相交于點F和點H，如圖3所示.

結(jié)合垂直關(guān)系和線段等長條件可知OF=BP=2t，PF=OB=3，進(jìn)一步可知FQ=OC-OF-QC=6-5t，點N位于直線AB上，可將其坐標(biāo)表示為（2t，-3t+3）. 當(dāng)PN=EM時，NE∥FQ，則△PNE與△PFQ相似，由相似性質(zhì)可得=，則FH=NE=·FQ=6t-5t2. 直線AD的解析式為y=x-3，則點E的坐標(biāo)可以表示為（4-2t，-3t+3），由于OH=OF+FH，從而有4-2t=2t+6t-5t2，可解得t=1-或t=1+（舍去）.

（ii）當(dāng)N位于AD上時，2<2t≤4，解得1

綜上可知，當(dāng)PN=EM時t的值有兩個，分別是1-和.

評析? 該問分析等線段長時時間t的值，需要建立關(guān)于時間t的線段長的方程，突破的關(guān)鍵同樣是處理其中的“動態(tài)”條件. 上述解法結(jié)合了物理上求運動距離的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，后續(xù)只需要結(jié)合幾何性質(zhì)分析問題. 另外，求解時還充分運用了分類討論的思想方法，通過對問題情形進(jìn)行分類降低了思維難度，避免了漏解，這也是動點幾何問題常用的解析策略.

總結(jié)歸納

1. 考查的知識點

以拋物線為背景的動點幾何問題所考查的內(nèi)容眾多，其中有以下幾大重要知識點.

（1）融合特殊四邊形，如正方形、平行四邊形、菱形等，考查幾何特性;

（2）以動點、動線為基礎(chǔ)構(gòu)建三角形，探究與三角形相關(guān)的知識，例如相似、全等、面積函數(shù)等;

（3）以探究的方式進(jìn)行存在性分析，考查“假設(shè)——驗證”方法的運用.

2. 問題突破策略

融合拋物線的動點幾何問題可以根據(jù)相應(yīng)的問題條件采用如下策略分析：

（1）動點以速度、時間參數(shù)的形式呈現(xiàn)——結(jié)合對應(yīng)公式轉(zhuǎn)化為含參線段;

（2）涉及菱形、等腰三角形等特殊圖形——觀察圖形結(jié)構(gòu)，提煉出圖形所具備的特性;

（3）探究相似三角形——采用分類討論的策略，畫圖探究，利用相似性質(zhì)得出相似比構(gòu)建方程;

（4）與動點相關(guān)的幾何面積——分析圖形結(jié)構(gòu)，構(gòu)建面積模型，利用面積公式轉(zhuǎn)化為與運動參數(shù)相關(guān)的面積函數(shù).

教學(xué)思考

動點問題一般具有較高的難度，學(xué)生在求解時需要解決諸多問題，包括如何處理動點條件、提取等量關(guān)系等，學(xué)生的分析能力與教師的教學(xué)指導(dǎo)有著密切的關(guān)聯(lián)，因此教師需要在解題教學(xué)中深入分析解題難點，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題方法.

1. 化動為靜，常規(guī)轉(zhuǎn)化

動點問題一般與運動要素相關(guān)，在分析問題時需要明確其中的運動對象、方向、速度、終點等，然后結(jié)合相應(yīng)的運動公式呈現(xiàn)運動距離，從而將運動問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的幾何問題，實現(xiàn)“動點”靜化. 例如本題中給出了點P和Q的運動要素，此時就可以利用公式s=vt得到BP=2t，CQ=3t等，然后以此為基礎(chǔ)來分析其中的幾何關(guān)系，逐步使問題思路變得清晰.

2. 數(shù)形結(jié)合，特定分析

動點問題一般以點動為表象來考查幾何與函數(shù)等知識，其中隱含了數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程等思想. 問題突破時需要引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖像來分析動態(tài)幾何的不同狀態(tài). 無論是求證等角、等線問題，還是分析幾何面積、極值問題，均需要合理處理運動變量，將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的形式. 教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生合理利用數(shù)形結(jié)合方法對圖像進(jìn)行分類或者分割，從中提取相應(yīng)的幾何圖形，利用圖形特性構(gòu)建方程. 例如上述在第（2）②問求解時根據(jù)點N的位置構(gòu)建了兩類圖像，從中提取了平行四邊形、等腰三角形和直角三角形等特殊圖形，通過定性分析逐個擊破.

3. 變式訓(xùn)練，拓展思維

運動問題屬于重點問題，教學(xué)中需要加強變式訓(xùn)練. 變式訓(xùn)練可以使學(xué)生強化理解，磨煉技能，同時拓展思維. 對于本題的變形，我們可以從以下三個方面進(jìn)行.

（1）試問當(dāng)t為何值時，四邊形ABPQ為平行四邊形？

（2）分析在點P的運動過程中△PBN的面積，試問t為何值時△PBN的面積為？

（3）點P運動過程中，△PNE能否為等腰直角三角形？若可以，求出t的值;若不可以，請說明理由.

上述第（1）和（3）問是分析運動過程中的特殊圖形，只需要把握特殊圖形的特殊條件，聯(lián)系運動要素進(jìn)行分析即可. 而第（2）問要分析三角形的面積，只需要結(jié)合面積公式將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于時間t的函數(shù)，然后構(gòu)建方程求解即可.