基于“四個理解”的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

陰瑞玲　薛亞云

摘要：本文從“四個理解”出發(fā)：理解數(shù)學(xué)，準(zhǔn)確定位課時目標(biāo)，把握極坐標(biāo)思想的內(nèi)涵與外延;理解教學(xué)，設(shè)置類比的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生親歷探索圓的極坐標(biāo)方程;理解學(xué)生，基于高二學(xué)生的知識經(jīng)驗逐步成熟，引導(dǎo)他們主動探究;理解技術(shù)，運用視頻、PPT、幾何畫板幫助學(xué)生更好的理解極坐標(biāo)方程。

關(guān)鍵詞：四個理解;圓的極坐標(biāo)方程;類比思想

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2020）12-088-1

章建躍博士提出理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)，理解技術(shù)概括為“四理解”，這就是我們教學(xué)的總指導(dǎo)。理解數(shù)學(xué)是解決“教什么”的問題，理解學(xué)生是為了解決“怎樣教”的問題，理解教學(xué)就是解決“為什么這樣教”的問題，理解技術(shù)就是要解決“用什么促進(jìn)教”的問題。

一、基于“四理解”確定教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》選講中第一講第三節(jié)的內(nèi)容，是在復(fù)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系，引入了極坐標(biāo)系，以及掌握了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)《簡單曲線的極坐標(biāo)方程》，并且學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了解析幾何與三角函數(shù)知識，對這節(jié)課的學(xué)習(xí)有一定的自主學(xué)習(xí)能力。這節(jié)在教參中的建議是2課時，本節(jié)課是第一課時?；诖?，在理解教學(xué)和理解學(xué)生的基礎(chǔ)上，圓的極坐標(biāo)方程這一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計如下。

1.知識與技能目標(biāo)

理解極坐標(biāo)系下曲線與方程的關(guān)系，會求圓的極坐標(biāo)方程，掌握圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，體會極坐標(biāo)系下求點的軌跡方程。

2.過程與方法目標(biāo)

通過教學(xué)，使學(xué)生體會類比，從特殊到一般及整體思想，進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的重要性。

3.情感態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析與推理，探究的能力以及獲取知識的學(xué)習(xí)意識，激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情，獲得積極的情感體驗。

二、基于“四理解”設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)

1.引入環(huán)節(jié)

播放百歲山礦泉水視頻，講述廣告背后蘊藏的故事情形，引出笛卡爾的心形曲線，研究方程ρ=a（1-sinθ）的結(jié)構(gòu)特征，引出課題，不僅將數(shù)學(xué)文化滲透其中而且極大地調(diào)動了學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情。

2.探究環(huán)節(jié)

（1）曲線的極坐標(biāo)方程，基于高二學(xué)生知識經(jīng)驗逐步成熟，有一定的類比歸納推理能力這一認(rèn)知特點，讓學(xué)生自己類比直角坐標(biāo)系曲線方程的概念推導(dǎo)極坐標(biāo)系下曲線的方程，并且適時給出反例ρ=θ說明兩者的不同，進(jìn)一步深刻的理解了極坐標(biāo)系下極角的多值性，從而學(xué)生自己通過類比得出了定義，很好的詮釋了波利亞所說“類比和反例是獲得發(fā)明的偉大源泉?！?/p>

（2）求曲線的極坐標(biāo)方程，學(xué)生仍然類比直角坐標(biāo)方程得出求極坐標(biāo)方程的五步，充分調(diào)動學(xué)生的主動性，切實體會極坐標(biāo)方程是曲線方程的另一種表征方式，拓寬了學(xué)生的視野。

3.應(yīng)用環(huán)節(jié)

圓的極坐標(biāo)方程

應(yīng)用1：求圓的極坐標(biāo)方程

例1：如圖，已知圓心在C（a，0），半徑為a，求圓的極坐標(biāo)方程。

學(xué)生們交流課前導(dǎo)學(xué)案的預(yù)習(xí)結(jié)果，生成了4種方法：

教學(xué)時重點突出極坐標(biāo)的思想，原理，以教材提供的資源著重演繹極坐標(biāo)思想方法。一題多解拓寬學(xué)生思維廣度，激發(fā)學(xué)生在解決問題中創(chuàng)新思維，式形結(jié)合從而達(dá)到研一題，悟一法，通一類的目的，為后面的學(xué)習(xí)在知識上和經(jīng)驗上奠定了基礎(chǔ)。

變式訓(xùn)練：若圓心坐標(biāo)為M（ρ0，θ0），圓的半徑為r，求圓的方程.

基于例1的學(xué)習(xí)學(xué)生很快就給出了結(jié)果，r2=ρ2+ρ20-2ρ·ρ0cos（θ-θ0），當(dāng)ρ0=r時，ρ=2rcos（θ-θ0）就是圓心在（r，θ0），半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程。特別的當(dāng)θ0=0，θ0=π2，θ0=π，θ0=3π2時即為我們前面研究的圓心在特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程，在這里體會由特殊到一般再由一般到特殊的研究方法。

應(yīng)用2：圓的極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化

例2：已知一個圓的方程是ρ=53cosθ-5sinθ ，求圓心坐標(biāo)和半徑。

學(xué)生們利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，化成直角坐標(biāo)系下求解圓心和半徑，強調(diào)互化中忽略自變量的范圍發(fā)生不等價變換。部分學(xué)生對極坐標(biāo)系的運算往往通過直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換來運算，對于它的應(yīng)用則淺嘗輒止，極坐標(biāo)沒有變成一個學(xué)生解決問題的工具，而變成一種負(fù)擔(dān)，這和新課標(biāo)引入極坐標(biāo)的初衷不符，所以教學(xué)中應(yīng)強化極坐標(biāo)系應(yīng)用意識，順勢引導(dǎo)學(xué)生在極坐標(biāo)系下處理問題，將原式化為ρ=10（cosθ·32-sinθ·12）=10cos（θ+π6），所以圓心為（5，-π6）半徑為5的圓。

綜上所述，在“四理解”的指導(dǎo)下，教學(xué)自然、有序、高效，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中進(jìn)一步中體會了類比，等價轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合，整體分類等數(shù)學(xué)思想，重溫多種數(shù)學(xué)思想方法的美妙，極坐標(biāo)不僅可以用另一種視覺看數(shù)學(xué)問題，開闊數(shù)學(xué)思維空間，而且提高學(xué)生對于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的認(rèn)識和理解。

[參考文獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]宮前長.新課程極坐標(biāo)方程教學(xué)困惑、解惑與感悟[J].教學(xué)參謀，2015（19）：58-62.

[3]徐小琴，趙思林.基于“四個理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（2）：5+29.

注：本文系山西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度課題“基于四理解的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的實踐研究”（編號GH-19360）階段性研究成果。

（作者單位：山西省太原市第五中學(xué)校，山西 太原 030012）