核心素養(yǎng)視角下一道高考向量試題的探究與教學思考

摘要：主要研究一道高考平面向量試題的解題策略和背景溯源，在探究平面向量共線問題的過程中熟悉化歸思想和目標函數(shù)的處理方法，增強核心直觀想象數(shù)學素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);平面向量;試題探究

近日，在一次平面向量考試后，筆者利用智學網(wǎng)大數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)下面這道高考向量試題學生正確率很低，由此啟發(fā)了筆者對這道高考試題的解法探究與教學思考。

此道高考試題是一道選擇壓軸好題，題目設置巧妙，內(nèi)涵豐富，給人以題在書外，根在書內(nèi)的感覺，將等與不等、函數(shù)思想、消元思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等融為一體，考查了學生綜合運用平面向量的有關(guān)知識和方法，以及函數(shù)、不等式、圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系等相關(guān)知識和分析、解決問題的能力，著重對學生核心素養(yǎng)如直觀想象、建模、運算等的考查，體現(xiàn)了高考從能力到素養(yǎng)的改革方向。

一、 解法探究

數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中提出了一個解決問題表，下面就根據(jù)這個解題表結(jié)合這道高考向量試題展開解題策略探究。

平面向量兼具數(shù)與形雙重性，根據(jù)題型思路的不同，平面向量常用代數(shù)化解題策略和圖形化策略。

思路一數(shù)學運算

課程標準中指出：數(shù)學運算素養(yǎng)是指利用數(shù)學公式和運算性質(zhì)及規(guī)則對運算對象進行變換或代換演算解決問題的過程。

策略一設點坐標建立函數(shù)模型

點評：策略一通過坐標化策略將向量最值問題轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)最值問題，接著通過三種策略求出目標函數(shù)的最值，從而有效地降低了問題的求解難度。策略二通過圖形化策略，直觀簡便，能避免代數(shù)求解的復雜計算，提高解題效率，培養(yǎng)了學生直觀想象素養(yǎng)。

波利亞曾提到過：解題之后的回顧、探究和推廣與解決問題相比更重要。通過分析發(fā)現(xiàn)策略二源于教材，但又高于教材，解題過程中發(fā)現(xiàn)動點P不局限于圓上，在區(qū)域內(nèi)也可以，為什么可以脫離曲線的方程解題？帶著疑問進一步來挖掘試題的背景。

二、 背景溯源推廣

點評：本題利用常規(guī)化處理有一定難度，通過把問題轉(zhuǎn)化為OB，OC為基底，利用定理得到2m+n的函數(shù)模型，有助于學生化歸思想和直觀想象及建模等數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)。利用變換基底可以求解ax+by（ab≠0）的值、最值或取值范圍等問題，請讀者自行探究。

四、 兩點思考

（一）教學中應注重由講怎么做到講怎么想

在日常的教學中發(fā)現(xiàn)學生做題只講怎么做，不講怎么想的現(xiàn)象還是比較普遍，因此教師要注重從講怎么做轉(zhuǎn)變成講怎么想，不僅要講清怎么做，還要著重講清為什么這樣做，并指導學生怎么想的方法，引導學生對問題進行深入思考，把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，促進學生思維的形成和發(fā)展，提升學生分析解決問題的能力，而不是只會機械模仿，要學會舉一反三，切實轉(zhuǎn)變學生的學習方式。

（二）教學中應注重反思與拓展，提升數(shù)學素養(yǎng)

許多試題特別是高考題，都蘊含著潛在的價值，因此教師應突出數(shù)學核心知識，避免就題論題，要重點引導學生解題后學會反思，挖掘題目所蘊含的數(shù)學思想方法，從多角度對題目進行變式、類比與拓展，從而使學生在不斷反思再創(chuàng)造的學習過程中將所學到的新知識進行梳理和升華，在鞏固已學知識和方法的同時發(fā)散思維，提高解題能力和核心數(shù)學素養(yǎng)，增強創(chuàng)新應用意識，提高了課堂的高效性。

參考文獻：

[1]（美）G·波利亞.怎樣解題：數(shù)學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

作者簡介：

黃文汭，福建省福州市，福州外國語學校。