“等比數(shù)列的前n項和”公式 推導的多樣化教學設計與對比分析

楊孝斌 李光偉 包艷

【摘 要】為解決用“錯位相減法”推導等比數(shù)列的前n[WBZ]項和公式過程中存在的思維上的困難，文章通過對“等比數(shù)列的前n項和”的公式推導環(huán)節(jié)進行不同的教學設計，在對三種教學設計的教學路徑和對學生難以理解之處進行對比分析的基礎上，討論了每一種教學設計落實“三教”（教思考、教體驗、教表達）理念的具體情況。

【關鍵詞】等比數(shù)列;多樣化教學設計;教思考;教體驗;教表達

“同課異構”是教學研究中經常采用的模式。在“等比數(shù)列的前n項和”公式推導環(huán)節(jié)，常常有教師反映用錯位相減法推導公式存在著思維上的困難，很難向學生說清楚為什么要對式子S.n=a.1+a.1q+a.1q2+…+a.1qn-2+a.1qn-1兩邊同時乘q[WBZ]。本文將對此問題采取三種不同的教學設計，分析各自存在的難點，并從“教思考、教體驗、教表達” （以下簡稱“三教”）等方面對比分析三種教學設計各自的優(yōu)勢與不足，以期為一線教師提供參考。

一、“等比數(shù)列的前n項和”公式推導的多樣化教學設計

（三）三種教學設計的“三教”理念分析

貴州師范大學呂傳漢教授提出了用“教思考、教體驗、教表達”的教育理念來引領課堂教學、培育學生核心素養(yǎng)的觀點?！叭獭崩砟?，是呂傳漢教授及其團隊經過長期的理性思考與實踐探索，在回顧、反思十余年的基礎教育課程改革經驗的基礎上提出來的。該理念的提出，是對學科教育理念的高度概括。[2].

所謂“教思考”，首先，教師要重視對學生問題意識的培養(yǎng)，這在呂傳漢教授和汪秉彝教授提出的“中小學數(shù)學情境—提出問題”教學實驗研究中有詳細的論述;其次，教師在教學中應幫助學生厘清知識的邏輯脈絡，找出解決問題的思維線索，引導學生在數(shù)學活動中領悟比較、分析、抽象、概括、歸納、類比、演繹等數(shù)學思想方法;最后，教師應在數(shù)學解題、數(shù)學探究、應用數(shù)學知識解決實際問題等的反思過程中提高學生的辯證思維能力和批判能力。

“教體驗”是指教師以具體的數(shù)學知識和數(shù)學技能的教學為載體，引導學生在數(shù)學活動過程中經過不斷思考、領悟而獲得對數(shù)學思想方法的理解與把握，并進一步上升為對科學研究方法的理解，同時獲得對知識學習和科學研究的情感體驗。

“教表達”既包括提高學生的口頭表達能力，也包括提高學生的書面表達能力。對于數(shù)學教學而言，培養(yǎng)學生用數(shù)學語言（包括口頭語言、文字語言、圖形語言、符號語言以及邏輯語言）來討論數(shù)學、表述數(shù)學問題、表達數(shù)學結論的能力是非常重要的。

根據(jù)以上關于“三教”理念的簡要闡述，結合三種不同的“等比數(shù)列的前n項和”公式推導的教學設計，分別將它們在“三教”方面的落實情況列表（見表1）。

承前所述，“三教”是對課堂教學本質屬性的高度概括，是一個有機的整體，沒有很明顯的界限，表1中列出來的也只是大致的劃分。從表1可以看出，上述三種不同的“等比數(shù)列的前n[WBZ]項和”公式推導的教學設計都從不同的角度啟發(fā)了學生的數(shù)學思考，落實了“教思考”的理念。

三種不同的教學設計分別蘊涵了數(shù)學建模思想、分類討論思想、從特殊到一般、觀察法、錯位相減法、提公因式法、代入法、化歸思想、不完全歸納法等數(shù)學思想方法和科學研究方法的運用，讓學生在“等比數(shù)列的前n[WBZ]項和”公式的發(fā)現(xiàn)學習過程中，獲得對數(shù)學思想方法、科學研究方法的理解與把握，以及對知識學習和科學研究的情感體驗，落實了“教體驗”的理念。同時，三種不同的教學設計都要求學生根據(jù)等比數(shù)列的定義，對S.n=a.1+a.2+a.3+…+a.n-1+a.n重新表述為S.n=a.1+a.1q+a.1q2+…+a.1qn-2+a.1qn-1，同時引導學生對公式發(fā)現(xiàn)中的過程結論和最終結論進行正確的表述，促使學生在數(shù)學的口頭語言、文字語言、符號語言之間進行自由轉換（這節(jié)課不涉及圖形語言），落實了“教表達”的理念。

三、結束語

上述關于“等比數(shù)列的前n項和”公式推導的不同教學設計，各自采取了不同的教學路徑。它們從不同的角度啟發(fā)了學生的思考，蘊涵了或相同或不同的數(shù)學思想方法和科學研究方法，均引導了學生對公式引導中的過程結論和最終結論進行正確的表述，在不同角度和不同程度上都體現(xiàn)了“教思考、教體驗、教表達”的教育理念。

正所謂“教學有法，但無定法”，只要教師善于思考、善于創(chuàng)新，對同一知識點均可以進行多樣化的教學設計，采取不一樣的引入方式，設置不同的數(shù)學問題，以適應不同學情的教學需要。

參考文獻：

[1]陳飛融入歷史數(shù)學名題的教學嘗試[J]數(shù)學通訊，2016（20）：1-18.

[2]楊孝斌，呂傳漢論數(shù)學教育對中小學生核心素養(yǎng)的培育[J]興義民族師范學院學報，201（5）：74-79.

（責任編輯：羅小熒）

【作者簡介】楊孝斌，博士，教授，主要從事數(shù)學教育、民族數(shù)學文化等研究;李光偉，二級教師，主要從事高中數(shù)學教學與研究;包艷，一級教師，主要從事高中數(shù)學教學與研究。

【基金項目】貴州省“卓越教師教育培養(yǎng)計劃（凱里學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)）”項目;凱里學院創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育課程建設“數(shù)學教師資格證考前輔導系列課程”