基于補(bǔ)缺 瞻前望遠(yuǎn)

【摘 要】基于補(bǔ)缺的意識，研究者通過回顧已研究的直角三角形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在邊與角的關(guān)系研究不足，由此引發(fā)進(jìn)一步的研究。文章借助三角形的相似性，構(gòu)建直角三角形任意兩邊的比值，發(fā)現(xiàn)這些比值和其中的銳角形成了一種函數(shù)關(guān)系，在六個函數(shù)的對比中發(fā)現(xiàn)只需要學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切三個函數(shù)即可;然后以小練習(xí)內(nèi)化這些函數(shù)概念，發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)之間及互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系，在問題解決遇到阻礙時，對下節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行展望，并在師生互動中構(gòu)建直角三角形的性質(zhì)結(jié)構(gòu)圖;最后從“立足完善，自然生長”“完整函數(shù)，整體構(gòu)想”兩個視角對教學(xué)設(shè)計做出反思。

【關(guān)鍵詞】銳角三角函數(shù);章起始課;整體構(gòu)想

一、教學(xué)分析

人教版數(shù)學(xué)九年級下冊第二十八章第一節(jié)“銳角三角函數(shù)”，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。銳角三角函數(shù)反映的不是數(shù)值與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，而是角度與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，這種突破常規(guī)的對應(yīng)關(guān)系，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了挑戰(zhàn)。銳角三角函數(shù)可以看作是函數(shù)“變量說”向“對應(yīng)說”的過渡，是一架引橋，其重要性很明顯;另外，通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生才會對直角三角形的概念有較全面、完整的認(rèn)識與理解。因此，本章的學(xué)習(xí)有完善直角三角形學(xué)習(xí)的目的，是一節(jié)系統(tǒng)終端起始課[1]。

這部分內(nèi)容的教學(xué)一般安排六個課時，第一課時學(xué)習(xí)正弦概念，第二課時學(xué)習(xí)余弦、正切的概念，然后依次進(jìn)行細(xì)碎安排，教學(xué)進(jìn)展一般會比較順利，但容易出現(xiàn)“見木不見林”的問題，導(dǎo)致學(xué)生對銳角三角函數(shù)的認(rèn)識不全面。基于此，筆者對教材做了統(tǒng)合，依據(jù)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，將銳角的正弦、余弦、正切概念同時給出，使學(xué)生整體認(rèn)識，而不是零敲碎打，逐一呈現(xiàn)，這種全局意識易于凸顯概念的本質(zhì)，便于學(xué)生掌握。在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生明確在一個銳角大小確定的前提下，研究直角三角形任何兩邊的長度之比，整體感知各種情況。

悉數(shù)登場，再通過對比發(fā)現(xiàn)兩兩成倒數(shù)關(guān)系，由此引出研究“正弦、余弦、正切”的必要性。雖然一節(jié)課的內(nèi)容很多，但由于洞察了它們的本質(zhì)及邏輯關(guān)系，知識的內(nèi)在生長順理成章， 降低了外部認(rèn)知負(fù)荷，構(gòu)建起了知識體系，學(xué)生學(xué)習(xí)起來并不費力。恰如章建躍博士所說，這樣處理知識能使學(xué)生在整體認(rèn)知的基礎(chǔ)上進(jìn)行主動地和有意義地進(jìn)入學(xué)習(xí)過程。

二、章起始課規(guī)劃

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.整體認(rèn)識直角三角形三邊構(gòu)成的六個銳角三角函數(shù)，理解銳角三角函數(shù)的意義，并掌握其直接運(yùn)用的方法;

2.經(jīng)歷從直角三角形角角關(guān)系、邊邊關(guān)系到邊角關(guān)系的探究，體驗探究正弦、余弦和正切概念的必要性，理解知識內(nèi)在結(jié)構(gòu)的發(fā)展和函數(shù)概念的本質(zhì);

3.經(jīng)歷從特殊到一般、從猜想到論證探究直角三角形邊角關(guān)系的過程，積累數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)活動的基本經(jīng)驗，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用價值。

（二）教學(xué)重難點

教學(xué)重點是銳角三角函數(shù)概念形成的本質(zhì)探究、整體認(rèn)知和整體構(gòu)建。

教學(xué)難點是對銳角三角函數(shù)概念本質(zhì)屬性的理解。

（三）教學(xué)過程設(shè)計

1.溫故引新

通過對三角形構(gòu)成元素關(guān)系的分類，學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)元素間的空缺，打通三角形各元素之間的關(guān)系，以填補(bǔ)空缺，使新知成為舊知的自然延伸和完善，在溫故中獲得新生，在完善中凝成整體。

師：三角形是最基本、最重要的封閉圖形，請同學(xué)們回顧一下，三角形一般研究什么？

生：研究三角形邊、角、重要線段等元素。

師：是的。那三角形各式各樣，你認(rèn)為哪種三角形是最基本的？為什么？

生：直角三角形。因為所有三角形都有高，也就是都能化成直角三角形。

師：這位同學(xué)的認(rèn)識很到位。對于直角三角形，我們已經(jīng)研究過它的哪些性質(zhì)？

生：邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系。

師：很棒。除了這兩類關(guān)系，我們還知道直角三角形的什么結(jié)論？

生：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

師：很好，這樣認(rèn)識直角三角形就相對全面了，這個結(jié)論體現(xiàn)了誰與誰的關(guān)系？

生：角和邊之間的特殊關(guān)系。

師：非常好。但若從完善的角度思考，哪類關(guān)系的研究仍不足？說說你的理由。

生：邊與角之間的關(guān)系。因為邊與邊的關(guān)系（兩邊之和大于第三邊等）已經(jīng)研究了，角與角的關(guān)系也研究了內(nèi)角、定理及兩銳角互余等，而邊與角的關(guān)系只研究了一個關(guān)于30°角的特殊關(guān)系，所以研究不足。

…….

【設(shè)計意圖】通過溫習(xí)舊知，循循誘導(dǎo)，教師從特殊到一般引出課題：對一般的銳角而言，邊與角之間到底有怎樣的特定關(guān)系？當(dāng)角變化時，又會帶來怎樣的變化？

2.概念形成

問題：在Rt△ABC中（如圖1），∠C=90°，∠A的對邊長為a，鄰邊長為b，斜邊長為c。結(jié)合前面的交流，遵循前面的思路思考，可以提出什么問題？

預(yù)設(shè)學(xué)生提出的問題：

（1）∠A（或∠B）所在的直角三角形的三條邊可以構(gòu)成幾組不同的兩線段之比？這些比是什么？

（2）當(dāng)∠A不變，直角三角形大小改變時，這些比值變化嗎？

（3）當(dāng)∠A變化時，這些比值變化嗎？

【設(shè)計意圖】教師通過三個問題引導(dǎo)學(xué)生用概念解決問題。問題1既從水平認(rèn)知層面落實概念，又為下一環(huán)節(jié)鋪墊。問題2通過判斷對錯加深學(xué)生對概念的理解，顯化角度與比值的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步滲透函數(shù)思想。其中，（1）凸顯cosA不是“cos”與“A”的乘積，而是一個整體;（2）sin[WBX]A[WBZ]是線段之間的比值，無單位;（3）一個銳角的正弦值與邊的大小無關(guān)，只與銳角的大小有關(guān)，角度一旦確定，正弦值隨之確定;（4）通過反例讓學(xué)生明確，欲求銳角三角函數(shù)值需要將銳角置于直角三角形中，即公式的對邊指銳角所在直角三角形所對的直角邊。問題3是（4）的延伸，把任意一個銳角置于網(wǎng)格，而不在直角三角形中，以此說明銳角三角函數(shù)值與這個銳角是否在直角三角形中無關(guān)，只與銳角的大小有關(guān)，但求解需要構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)一步凸顯用定義求銳角三角函數(shù)值的條件。

4.拓展提高

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)并將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生用多種數(shù)學(xué)語言（文字、符號、圖形）表達(dá)世界，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，彰顯銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)的必要性和價值性。另外，用非特殊角引起認(rèn)知沖突，為學(xué)習(xí)下節(jié)課做鋪墊，至此，一章的整體概貌就有了。

6.瞻前望遠(yuǎn)

通過師生互動，學(xué)生立足知識框圖的生長，形成結(jié)構(gòu)圖（如圖12）。

【設(shè)計意圖】對照已學(xué)課程，對直角三角形已有性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)，并不斷完善，借助知識框圖清晰脈絡(luò)，梳理直角三角形的性質(zhì)，并突出重點——銳角三角函數(shù)（邊角關(guān)系）。這樣，關(guān)于直角三角形性質(zhì)的整體結(jié)構(gòu)圖自然而然地展現(xiàn)出來，有點睛之筆的效果。

三、反思與評價.

（一）立足完善，自然生長.

對于邏輯關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的數(shù)學(xué)教學(xué)來說，一定意義上皆基于舊知識的再探索、再研究，是一個舊知向新知的過渡過程，是一個利用舊知探尋新知的過程，是一個不斷完善和擴(kuò)充學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。其中遷移規(guī)律發(fā)揮著重要作用，我們知道新知與舊知之間存在著一定距離，這段距離即認(rèn)知發(fā)展區(qū)，因此，教學(xué)實際上就是消除舊的認(rèn)知發(fā)展區(qū)，實現(xiàn)新舊知識的無縫對接，然后出現(xiàn)新的認(rèn)知發(fā)展區(qū)的動態(tài)過程。根據(jù)認(rèn)知發(fā)展區(qū)的特點，選擇合適的先行組織者至關(guān)重要。若從新舊知識的關(guān)聯(lián)來看，無非有三類，即并列型、遞進(jìn)型、相交型，如有理數(shù)與無理數(shù)、整式與分式等均為并列型，它們的并行不斷完善著知識體系。若抓住這些特點組織教學(xué)，能幫助學(xué)生構(gòu)建知識的大廈，是一種優(yōu)化補(bǔ)闕的美學(xué)意識。本節(jié)課的引入，是將“直角三角形的已學(xué)性質(zhì)”作為先行組織者，是基于對其邊邊關(guān)系、角角關(guān)系以及邊與特殊角關(guān)系的梳理，在這些邊與角的關(guān)系中只是認(rèn)識了邊與特殊角的關(guān)系，這樣就留下一個缺口：邊與任意角（一般角）有沒有確定的關(guān)系？如此并列式、完善性的思考就是順乎其然的自然生長。正如李祎教授所說，學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)新知識的過程，就是從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取與新知識有聯(lián)系的舊知識，對新知識加以“固定”或“歸屬”的動態(tài)過程。教師在設(shè)計新知的導(dǎo)入時，可以依照教材本身內(nèi)在的邏輯關(guān)系，設(shè)計出既能聯(lián)系舊知又能提示新知的導(dǎo)語，從而使新舊知識通過有機(jī)聯(lián)系和相互作用，最終形成一個相互關(guān)聯(lián)的有序整體[2]。

（二）完整函數(shù)，整體構(gòu)想.

章建躍博士指出，要想改進(jìn)我們的教學(xué)，就必須加深教學(xué)內(nèi)容的理解。因此，筆者對每一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容都進(jìn)行深度探究，并把教學(xué)內(nèi)容置于整個知識系統(tǒng)內(nèi)、整個課程長軸上，以保障教學(xué)內(nèi)容的整體性、有效性。初中階段研究了正弦、余弦和正切的概念，但這只是銳角三角函數(shù)的一部分，課堂上學(xué)生自然會產(chǎn)生是否還有其他比值（如鄰邊比對邊、斜邊比對邊、斜邊比鄰邊）的疑惑。緣于此，本教學(xué)設(shè)計沒有回避這個問題，而是把六種關(guān)系呈現(xiàn)出來。通過比較，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)它們呈三類特定的倒數(shù)關(guān)系，由此只研究三類體現(xiàn)了數(shù)學(xué)趨簡的本色。作為章起始課，把三個銳角三角函數(shù)概念作為一個整體進(jìn)行教學(xué)，突出整體性、系統(tǒng)性，有益于學(xué)生完整認(rèn)識銳角三角函數(shù)，形成和建立完整的知識結(jié)構(gòu)。這樣可以讓學(xué)生清晰地認(rèn)識到三個概念的相同點和個體差異，從而更好地掌握。這種集成型的教學(xué)方法，規(guī)避了教材的零敲碎打，有益于獲取知識的結(jié)構(gòu)化，達(dá)到學(xué)生全面認(rèn)識銳角三角函數(shù)概念的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]邢成云整體化教學(xué)：課堂直指學(xué)生思維發(fā)展[N]中國教育報，2019-12-11（10）.

[2]李祎另眼看導(dǎo)入[J]數(shù)學(xué)通報，2018（8）：13-16

（責(zé)任編輯：羅小熒）

【作者簡介】邢成云，正高級教師，全國“萬人計劃”教學(xué)名師，全國“雙名工程”領(lǐng)航人選，主要研究方向是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

【基金項目】山東省濱州市名師工作室專項課題“全息教學(xué)論下初中數(shù)學(xué)章起始課的教學(xué)研究”（BZMZZX18-31）;山東省社科聯(lián)人文社會科學(xué)課題（基礎(chǔ)教育專項）“‘快慢相宜的整體化教學(xué)模式之延伸研究”（16-ZX-JC-37）