對(duì)“分類討論”的再思考

李 湘

(江蘇省無錫市輔仁高級(jí)中學(xué)，214123)

法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說過:“很多時(shí)侯,我們需要把你所考慮的每一個(gè)問題,按照可能和需要,分成若干部分,使它們更易于解決.”[1]數(shù)學(xué)解題中,能否既正確又靈活地運(yùn)用分類討論的思想方法,可以較好反映數(shù)學(xué)素養(yǎng).[2]

為此,筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談一些認(rèn)識(shí)和體會(huì),供大家參考,請(qǐng)專家指正.

一、理解導(dǎo)致分類討論的原因,明確為什么分類討論

在數(shù)學(xué)解題時(shí),常見的導(dǎo)致分類討論的因素如下.

1.由概念、性質(zhì)和公式引起的分類討論

數(shù)學(xué)中的一些概念、定理、法則、性質(zhì)和公式,受到某些特殊情形的限制,在不同的條件下有不同的結(jié)論,這是引起分類討論的一個(gè)重要原因.例如直線方程的概念,零向量的概念,圓錐曲線方程概念，等等.

例1已知直線l經(jīng)過點(diǎn)Q(-2,3),且在x軸、y軸的截距相等,求直線l的方程.

分析本題條件給出的是截距,故可用截距式來設(shè)直線方程.但截距式有一定局限性,即截距必須存在且不為零,所以它不能表示過原點(diǎn)(0,0)的直線.為了數(shù)學(xué)解題的嚴(yán)密性，需分兩種情況討論.

綜上,直線l的方程為x+y-1=0和3x+2y=0.

2.由數(shù)學(xué)運(yùn)算特定要求引起的分類討論

數(shù)學(xué)中的運(yùn)算往往有其特定的限制,例如分母不為零、負(fù)數(shù)沒有平方根、指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算中其底數(shù)且a>0且a≠1，等等.解題過程中要突破相應(yīng)的限制,就要進(jìn)行分類討論.

3.由圖形位置的不確定性引起的分類討論

在研究與幾何圖形相關(guān)的問題時(shí),由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定),會(huì)引起結(jié)果出現(xiàn)多種可能,在求解相應(yīng)問題的過程中,就需要根據(jù)所有可能出現(xiàn)的圖形位置對(duì)各種情況分別進(jìn)行討論.這在立體幾何和解析幾何的問題中較為常見.

綜上,

4.由參數(shù)的變化引起的分類討論

求解某些含參數(shù)的問題,由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同,或者由于某種原因?qū)Σ煌膮?shù)取值,需要運(yùn)用不同的求解方法和策略,例如含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題,由參數(shù)值的“量變”,往往使結(jié)果發(fā)生“質(zhì)變”,這時(shí)就需要分類討論，達(dá)到分而治之、各個(gè)擊破的目的.

例4設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.

(1)討論f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)的最小值.

解(1)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于x軸上原點(diǎn)O對(duì)稱.下面分兩種情況討論:

當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2+|x|+1,易見f(-x)=f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù).

當(dāng)a≠0時(shí),f(x)為非奇非偶函數(shù).證明如下:

若f(x)為奇函數(shù),則有f(-1)=-f(1),即2+|1+a|=-(2+|1-a|),亦即|1+a|+|1-a|=-4,這樣的實(shí)數(shù)a不存在,故f(x)不是奇函數(shù).

若f(x)為偶函數(shù),則有f(-1)=f(1),即2+|1+a|=2+|1-a|,亦即|1+a|=|1-a|,解得a=0,與a≠0矛盾,故f(x)不是偶函數(shù).

綜上，f(x)為非奇非偶函數(shù).

當(dāng)然，導(dǎo)致分類討論的原因也不僅限于上述幾種情況,還有其他一些方面.例如對(duì)于有些較為復(fù)雜的、非常規(guī)的或綜合性較強(qiáng)的問題,求解的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多種情況或多種可能性.解答這類問題時(shí),往往要根據(jù)不同的情況采用相應(yīng)的不同方法和策略,從而也需要進(jìn)行分類討論.

二、掌握進(jìn)行分類討論的原則,學(xué)會(huì)分類討論的方法

在讓學(xué)生弄清楚為什么要分類討論以后,更重要的就是幫助學(xué)生掌握進(jìn)行分類討論的方法和原則.運(yùn)用分類討論的思想方法解決問題時(shí),需要遵循的原則是:分類的對(duì)象要確定,分類的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一,不重復(fù)、不遺漏.其一般步驟是:(1)明確討論的對(duì)象,確定分類的標(biāo)準(zhǔn);(2)合理有序地進(jìn)行分類,做到不重復(fù)、不遺漏;(3)進(jìn)行歸納和總結(jié),得出最終的結(jié)果.

例5求函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2的單調(diào)區(qū)間,其中a≤2,且a≠0.

分析求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,容易想到導(dǎo)數(shù)法；再由函數(shù)表達(dá)式中含有參數(shù)a,其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與a的變化有關(guān),故需要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論.

總之，運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí),要注意把好以下“四關(guān)”:一是要深刻理解基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法,把好“基礎(chǔ)關(guān)”;二是要找準(zhǔn)分類的對(duì)象與劃分的標(biāo)準(zhǔn),把好“分類關(guān)”;三是要保證層次分明和條理清晰,把好“邏輯關(guān)”;四是要根據(jù)題目中的條件進(jìn)行取舍,把好“驗(yàn)算關(guān)”.在此基礎(chǔ)上,才能實(shí)現(xiàn)分類討論題型的完美解答.

三、體會(huì)簡化分類討論的策略,提升分類討論的能力

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想,其功能是“各個(gè)擊破,分而治之”.然而有時(shí)由于難于全面把握分類的原則、標(biāo)準(zhǔn)和方法,使解題過程變得非常繁瑣.因此針對(duì)具體的問題,還需根據(jù)問題的特點(diǎn)和本質(zhì),改變思考的視角,處理好“分”和“合”的關(guān)系,巧妙地回避分類討論,通過整體處理來優(yōu)化解題的過程,提高解題的速度.[3]常用的策略有:直接回避,合理運(yùn)算,變更主元,數(shù)形結(jié)合等等.

例6設(shè)函數(shù)f(x)=x|x-a|+b,設(shè)常數(shù)b<-1,且對(duì)?x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析本題如果直接做,則需對(duì)a進(jìn)行分類討論,解題過程比較繁瑣.如果能利用分離參數(shù)的方法,一方面可以避免對(duì)參數(shù)a分類討論，簡化解題過程,另一方面也能有效地提高解題的正確性.

解當(dāng)x=0時(shí),x|x-a|<-b恒成立.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1+b,1-b).