有趣的零點存在定理

秦志偉

(江蘇省天一中學(xué),214101)

我們教師在教學(xué)過程中常常會遇到一種情形:一些看似顯然的結(jié)果,但很難說清它的理由.比如“極限”的概念,我們教師更多的是讓學(xué)生去直觀感受,很少會用大學(xué)的“ε-δ”分析的語言來加以說明.盡管在初等數(shù)學(xué)的范圍里確實很難把一些問題講得透徹,但這并不意味著我們就能放棄這種努力.數(shù)學(xué)是講究理性精神的,而教學(xué)也應(yīng)當(dāng)進(jìn)行潛移默化的影響.當(dāng)我們放棄這種努力的同時也幾乎丟掉了數(shù)學(xué)的精神.在本文中,筆者分享自己親歷的兩個情形,嘗試踐行數(shù)學(xué)的理性精神.

一、問題的提出

在解決該題時,學(xué)生給出了如下兩種解題思路.

(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0.

(*)

由(*)式中Δ>0，得b2<3+4k2.

(**)

反思1兩種方法的答案一致.解法1比較常規(guī);解法2利用了點差法,過程比較簡潔.問題來了,解法2中,xM的范圍真的是(-2,2)嗎?換言之,橢圓內(nèi)部的任一點,都有可能成為橢圓某一條弦的中點嗎?

學(xué)生對該題的解答如下.

解考慮兩個極端情況：

情況1,若動點選定方向后再也不改變方向,則動點的終點軌跡為圓弧AB(其中圓弧半徑為20米);情況2,若動點先沿正東方向行走若干時間后再沿正北方向行走,則動點的終點軌跡為線段AB(如圖2).故大膽地猜測,動點的終點所有可能的落點區(qū)域為弓形區(qū)域AB,故不難求得此區(qū)域面積為(100π-200)平方米.

反思2學(xué)生的這個想法非常大膽,但同樣有個問題：弓形內(nèi)部的任一點都有可能成為某一種符合要求的路徑的終點嗎?

二、問題的解決

以上兩個問題的答案都是肯定的,其結(jié)果符合我們對事物的認(rèn)知,但又缺乏嚴(yán)密的說理.事實上,在高中課程內(nèi),我們是可以將其說得更清楚的.利用的工具就是函數(shù)章節(jié)中的零點存在定理——若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線,且f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點.

下面對兩個案例中的問題加以說明.

1.案例1中問題的說明

2.案例2中問題的說明

三、問題的反思

筆者引入零點存在定理,解決了案例1、2中的問題后,學(xué)生驚嘆不已.事實上,變化的過程往往可以建立一個函數(shù)的模型,連續(xù)不斷地變化,意味著函數(shù)圖象的不間斷.零點存在定理告訴我們,事物由一種狀態(tài)連續(xù)地變化至另一種狀態(tài)的過程中,必然達(dá)到中間的所有狀態(tài).

趁學(xué)生意猶未盡時,筆者適時地給出兩個練習(xí),現(xiàn)把學(xué)生的解答附上，供讀者參考.

練習(xí)1在地球的赤道上,至少存在一對對徑點,在這兩點處的溫度相同.

解在赤道上任取一組對徑點的連線AB作為x軸(如圖5),其他對徑點的連線MN與x軸的夾角為θ,θ∈(0,π).定義函數(shù)f(θ)的值為點M處的溫度與點N處的溫度之差.若A、B兩點溫度一樣,則點A、B符合要求;否則，由f(0)=-f(π)知，必有f(0)f(π)<0,根據(jù)零點存在定理知,存在θ0∈(0,π),使f(θ0)=0,即存在一對對徑點,在這兩點處的溫度相同.

練習(xí)2某人第一天在早上8點到9點的時間段從山腳A處走到山頂B處,第二天此人在早上8點到9點的時間段從山頂B處原路返回至山腳A處,那么,在早上8點到9點的時間段,必定存在某一時刻,第一天與第二天的位置相同.

解不妨設(shè)A處與B處的落差為h(h>0),設(shè)8點之后的t分鐘,第一天的位置高度為f(t),第二天的位置高度為g(t),其中t∈[0,60].令F(t)=f(t)-g(t),顯然F(0)=f(0)-g(0)=-h<0,F(60)=f(60)-g(60)=h>0.由于F(t)的連續(xù)性,由零點存在定理知,存在t0∈(0,60),使得F(t0)=0.又因為是原路返回,故當(dāng)?shù)谝惶旌偷诙焖幬恢玫母叨纫恢聲r,就意味著位置的重疊,所以必定存在某一時刻8點過后t0分鐘,第一天與第二天的位置相同.

盡管零點存在定理是函數(shù)章節(jié)中的知識,但是它揭示了變化事物的本質(zhì)屬性.而事物的變化本身就是一個函數(shù)的模型.我們教師在平時的教學(xué)中也不應(yīng)局限于涇渭分明的模塊教學(xué),如果模塊之間提供了相互佐證的機(jī)會,我們應(yīng)該不失時機(jī)地利用它.這個過程是有趣的,它加強(qiáng)了學(xué)生對知識本身的理解和應(yīng)用,提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣;同時這個過程也具有挑戰(zhàn)性,它踐行了數(shù)學(xué)理性的精神,增加了學(xué)科的魅力.