降元法巧解雙極值點(diǎn)含參恒成立問題

孟 彪

(江蘇省南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué)，210048)

函數(shù)f(x)的雙極值點(diǎn)x1、x2的本質(zhì)是f′(x)的雙零點(diǎn),含有雙極值點(diǎn)的恒成立問題是雙變量問題．解決雙變量問題的核心思想是通過某種途徑降元,把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題．而含參的雙極值點(diǎn)問題除了兩個變量x1、x2外還有一個參數(shù),這給解題帶來巨大的困擾．對于這類雙極值點(diǎn)含參恒成立問題，通?？紤]消參或以參數(shù)為媒介構(gòu)造一個新的單變量函數(shù),研究其最(極)值．本文給出常見的幾種處理方法.

一、利用雙極值點(diǎn)存在的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的一元函數(shù)問題

此類問題的解題思路:f(x)的雙極值點(diǎn)x1、x2是f′(x)的雙零點(diǎn),利用韋達(dá)定理,把含參數(shù)a的雙變量問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)a的一元函數(shù)問題,利用新函數(shù)的單調(diào)性、最(極)值解決問題．

例1已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-lnx(a∈R),若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在兩個不同的極值點(diǎn)x1、x2,且f(x1)+f(x2)<5+ln 2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

二、以參數(shù)為橋梁，將二元問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1或x2的一元函數(shù)問題

此類問題的解題思路:抓住雙極值點(diǎn)x1、x2是f′(x)的雙零點(diǎn)這一本質(zhì),以參數(shù)a為中間變量,將二元問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1或x2的一元函數(shù)問題,以方便問題解決．

例2已知函數(shù)

f(x)=x2+2ax+2lnx(a∈R).

(1)若f(x)是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;

三、雙極值點(diǎn)x1、x2不存在等量關(guān)系時,利用消參轉(zhuǎn)化為形式,再換元化為一元函數(shù)問題

(1)若f(x)在x=0處的切線方程為y=x-1,求實(shí)數(shù)a、b的值;

(2)若f(x)在x=x1和x=x2兩處取得極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

解(1)略．

(2)0

(3)f′(x)=aex-x.由題意，aex1-x1=0,aex2-x2=0,且0

通過以上分析發(fā)現(xiàn),降元思想是解決雙極值點(diǎn)含參恒成立問題的主要方法.解題的核心是:把多變量的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)問題．但具體轉(zhuǎn)化為關(guān)于哪個變量的函數(shù),要根據(jù)題目特征做出模型識別,靈活運(yùn)用降元思想,將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的一元函數(shù)問題,研究其單調(diào)性、極(最)值即可．雙極值點(diǎn)問題的處理方法很多,本文僅從降元思想這一角度進(jìn)行探討,為多元化的含參恒成立解題教學(xué)提供一個思路.