極值點偏移問題的高等數(shù)學(xué)背景探究

黨江平

(陜西省西安中學(xué)，713200)

函數(shù)極值點偏移問題是近年來高考的熱門考點.在近十年高考中共出現(xiàn)4次，在全國各地的模擬考試中也多次以壓軸題的形式出現(xiàn),很多學(xué)生對待此類問題經(jīng)常是束手無策．筆者從這一類問題的高等數(shù)學(xué)背景出發(fā),利用泰勒定理對極值點偏移問題進行研究,得到了利用函數(shù)三階導(dǎo)函數(shù)判斷極值點偏移的結(jié)論．期盼在高觀點下,深入淺出地理解極值點偏移問題,以期為讀者在處理此類問題時，提供更多的思路．

一、極值點偏移問題的定義

二、極值點偏移的高等數(shù)學(xué)背景

①

由此，我們作出了極值點偏移的判斷,并給出如下結(jié)論:

結(jié)論已知函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)只有一個極值點x0,且存在三階導(dǎo)函數(shù),f(x)在(a,b)內(nèi)存兩個零點x1、x2,且x1

若f?(x)>0,則有極大值點向左偏移，極小值點向右偏移;

若f?(x)<0,則有極大值點向右偏移，極小值點向左偏移;

若f?(x)=0,則極值點不偏移．

評注這只是一個充分性(非必要)判定結(jié)論,使用時需注意．

三、處理高考題中的極值點偏移問題應(yīng)用舉例

例1(2016年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)設(shè)x1、x2是函數(shù)f(x)的兩個零點,證明x1+x2<2.

解(1)略.

(2)由(1)知a>0,f′(x)=(x-1)(ex+2a),令f′(x)=0,得x=1.易知f(x)在區(qū)間(-∞,1)單調(diào)減，在(1,+∞)單調(diào)增，故x=1為函數(shù)的極小值點,f(1)=-e<0.又因為f(2)=a>0,所以x1<1

當x1≤0時,由于1

綜上，x1+x2<2成立,命題得證.

例2(2011年遼寧高考題)已知函數(shù)

f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(3)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸交于A、B兩點,線段AB的中點橫坐標為x0,證明f′(x0)<0.

解(1)、(2)略.

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認為:“問題是數(shù)學(xué)的心臟”．在平時的學(xué)習(xí)中,我們不能局限于解決問題,還應(yīng)當善于發(fā)現(xiàn)問題,探究問題的本源及內(nèi)在規(guī)律．這應(yīng)當比問題的解決更加重要,也應(yīng)該是我們每一個數(shù)學(xué)工作者所堅持的．