聚焦圓錐曲線的交匯性問題

劉 娟

(山東省淄博第十一中學(xué)，255086)

縱觀近幾年的高考試題,高考對圓錐曲線的考查,出現(xiàn)一些與其它知識交匯的題目.如與平面向量交匯、與三角函數(shù)交匯、與不等式交匯、與導(dǎo)數(shù)交匯等等.下面列舉幾例,供同學(xué)們參考.

一、與圓錐曲線幾何性質(zhì)及平面向量的交匯

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

評注本題求解的關(guān)鍵是能夠運(yùn)用直線與拋物線方程的聯(lián)立,通過韋達(dá)定理、焦半徑公式及向量運(yùn)算構(gòu)造等量關(guān)系，考查拋物線的幾何性質(zhì)、平面向量知識與弦長公式的綜合應(yīng)用.

二、與不等式及數(shù)列的交匯

①

(2)由題意得F(1,0).設(shè)P(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)，可得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.

設(shè)該數(shù)列的公差為d,則

三、與立體幾何的交匯

例3如圖1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn),若P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是( ).

(A)直線 (B)圓

(C)雙曲線 (D)拋物線

解顯然,點(diǎn)P到直線C1D1的距離就是點(diǎn)P到點(diǎn)C1的距離,由此,易知點(diǎn)P到C1的距離等于P到BC的距離,由拋物線的定義,應(yīng)選D.

評注本題是一道以立體幾何與解析幾何交匯點(diǎn)為背景的綜合試題,是非常有特色的創(chuàng)新型的好題.在近年的高考試題中有一類熱點(diǎn)問題——以空間圖形為背景的軌跡問題,這類問題情景新穎脫俗,構(gòu)思巧妙,充分體現(xiàn)了“以能力立意命題”、“多考一點(diǎn)怎樣想,少考一點(diǎn)怎樣算”的命題原則.

四、與三角函數(shù)的交匯

(A) 2sin 40° (B) 2cos 40°

五、與函數(shù)問題的交匯

(1)求直線AP斜率的取值范圍;

(2)求|PA||PQ|的最大值.

解(1)由P(x,x2),可得

(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程，得

評注在涉及最值、范圍問題時,往往與不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等相結(jié)合.基本解題思路是構(gòu)建不等式,創(chuàng)造應(yīng)用基本不等式的條件;構(gòu)建函數(shù)關(guān)系,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值等.

數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性決定了數(shù)學(xué)知識之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系. 這里的聯(lián)系,即包括各部分知識在各自發(fā)展過程中的縱向聯(lián)系,又包括各部分知識之間的橫向聯(lián)系.知識的縱橫聯(lián)系必然形成知識網(wǎng)絡(luò)的交匯,近年來“強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)、能力立意、在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計試題”已經(jīng)成為最近幾年高考試題的主要特色.因此,我們在復(fù)習(xí)中,應(yīng)該關(guān)注并研究數(shù)學(xué)交匯問題的求解,以開拓視野,進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)的思維能力.